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1、二、线性变换的简单性质,4 特征值与特征向量,一、特征值与特征向量,二、特征值与特征向量的求法,三、特征子空间,四、特征多项式的有关性质,设是数域P上线性空间V的一个线性变换，,则称为 的一个特征值，称为的属于特征值,一、特征值与特征向量,定义：,若对于P中的一个数存在一个V的非零向量,使得,的特征向量.,几何意义：特征向量经线性变换后方向保持,由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的，,注：,若 是 的属于特征值的特征向量，则,也是 的属于的特征向量.,但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即,若且，则,若 都是 的 属 于特 征 值的特征向量，,设 是V的一组基，,线性变换在这组基下的矩阵
2、为A.,下的坐标记为,二、特征值与特征向量的求法,分析：,设是的特征值，它的一个特征向量在基,则 在基下的坐标为,而 在基下的坐标是,于是,又,从而,又,即 是线性方程组 的解，,以上分析说明：,所以它的系数行列式,从而有非零解.,若是的特征值，则,反之，若满足,则齐次线性方程组有非零解.,若是一个非零解，,特征向量.,则向量就是的属于的一个,设 是一个文字，矩阵称为,称为A的特征多项式.,1.特征多项式的定义,A的特征矩阵，它的行列式,（是数域P上的一个n次多项式）,矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值,注：,而相应的线性方程组 的非零解也就,称为A的属于这个特征值的特征向量.,i)在
3、V中任取一组基 写出 在这组基下,就是的全部特征值.,ii)求A的特征多项式 在P上的全部根它们,2.求特征值与特征向量的一般步骤,的矩阵A.,iii)把所求得的特征值逐个代入方程组,并求出它的一组基础解系.(它们就是属于这个特征值,的全部线性无关的特征向量在基 下的坐标.),则,就是属于这个特征值 的全部线性无关的特征向量.,而,（其中，不全为零）,就是的属于 的全部特征向量.,如果特征值 对应方程组的基础解系为：,对皆有,所以，V中任一非零向量皆为数乘变换K的特征向量.,例1.在线性空间V中，数乘变换K在任意一组基下,的矩阵都是数量矩阵kE，它的特征多项式是,故数乘变换K的特征值只有数k，
4、且,解：A的特征多项式,例2.设线性变换在基 下的矩阵是,求特征值与特征向量.,故的特征值为：（二重）,把 代入齐次方程组 得,即,它的一个基础解系为：,因此，属于 的两个线性无关的特征向量为,而属于 的全部特征向量为,不全为零,因此，属于5的一个线性无关的特征向量为,把 代入齐次方程组 得,解得它的一个基础解系为：,而属于5的全部特征向量为,例3 证明：若 是矩阵A的特征值，是A的属于,的特征向量，,则,(1),(3)当A可逆时，,已知3阶方阵A的特征值为：1、1、2，,例4,三、特征子空间,定义：,再添上零向量所成的集合，即,设 为n维线性空间V的线性变换，为,的一个特征值，令 为的属于的
5、全部特征向量,则 是V的一个子空间,称之为的一个特征子空间.,注：,的解空间的维数，且以方程组(*)的基础解系为坐标的,若在n维线性空间V的某组基下的矩阵为A，则,即特征子空间 的维数等于齐次线性方程组,(*),全部线性无关的特征向量就是 的一组基.,四、特征多项式的有关性质,1.设 则A的特征多项式,由多项式根与系数的关系还可得,A的全体特征值的积,称之为A的迹,记作trA.,注：,有相同特征多项式的矩阵未必相似.,它们的特征多项式都是，但A、B不相似.,多项式.,因此,矩阵A的特征多项式也说成是线性变换的特征,由定理6线性变换的特征值与基的选择无关.,如,2.(定理6)相似矩阵具有相同的特
6、征多项式.,求x,例 已知矩阵A与B相似，其中,设 为A的特征多项式,则,证:设 是 的伴随矩阵，则,3.哈密尔顿凯莱（HamiltonCaylay）定理,都是的多项式，且其次数不超过n1.,又的元素是的各个代数余子式，它们,因此，可写成,其中，都是 的数字矩阵.,再设,比较、两式，得,以依次右乘的第一式、第二式、,、第n式、第n1式，得,把的n1个式子加起来，即得,4.设为有限维线性空间V的线性变换，是,的特征多项式，则,例3.设求,解：A的特征多项式,用去除得,练习1：已知为A的一个特征值，则,（1）必有一个特征值为;,（2）必有一个特征值为;,（3）A可逆时，必有一个特征值为;,（4）A可逆时，必有一个特征值为.,（5）则 必有一个特征值为.,
