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1、第二节 多元函数的极限与连续,(也称为二重极限),当点,则称 A 为函数,都有,定义2.1 设,一、二元函数的极限,多元函数极限与一元函数极限有很多共性：,“”运算；,极限的变量代换；,夹逼准则。,有界变量与无穷小的乘积是无穷小.,初等函数的极限；,若当点,趋于不同值或有的极限不存在，,解:设 P(x,y)沿直线 y=k x 趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.,则可以断定函数极限,则有,k 值不同,自变量趋于原点的路径也不同，极限也不同!,在(0,0)点极限不存在.,以不同方式趋于,不存在.,例2.2 讨论函数,函数,例 求：,解:这里,的定义域为D=(x,y)|x0,yR,点P0(0,
2、2)为D的聚点,由极限运算法则得,二、多元函数的连续性,定义2.2 设 n 元函数,定义在 D 上,如果函数在 D 上各点处都连续,则称此函数在 D 上,如果存在,否则称为不连续,此时,称为间断点.,则称 n 元函数,连续.,连续,例如,函数,在点(0,0)极限不存在,又如,函数,上间断.,故(0,0)为其间断点.,在圆周,结论:初等函数在定义区域内连续.,定理2.2（最大值和最小值定理）,一点P2，使得f(P1)为最大值而f(P2)为最小值，即对于,在有界闭区域 D上的连续函数，在 D上一定有,最大值和最小值这就是说，在 D上至少有一点P1及,一切PD,有,定理2.3（介值定理）,在有界闭区域D上的多元连续函数，必取得介于,最大值和最小值之间的任何值,推论 有界闭区域 D上的连续函数一定有界,内容小结,例6 求,解:函数,是初等函数，,解:原式,例7.求,例8+.求函数,的连续域.,解:,
