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8.6 多元函数的极值,一 极值二 条件极值,一 极值,定义1,（或）,（或极小值），,例如（1）,定理1,设,在点,处取极值，且偏导数,存在，则,定理2,记,则,取极大值；,例1 求,的极值。,解,令,在点,处取极大值,例2 求,的极值。,解,令,在点,处取极大值,二 条件极值,拉格朗日（Lagranger）乘数法：,令,（Lagranger函数）,由,解得,，,也称为驻点。,说明：Lagranger乘数法可以推广到多个自变量,和多个约束条件的情形。,Lagranger函数：,例3 设长方体的体积为,，问怎样选择长、宽、高,才能使长方体的表面积最小。,解,设长、宽、高分别为,则长方体,的表面积,而且,满足条件,令,则由,得驻点,据实际问题可知：此问题的最小值是存在的。,且最小值是,解,记,而且,满足条件,令,则由,得驻点,因为,例5 求,在闭区域,上的最大值和最小值。,解,由,得到,在,内部,的驻点,令,由,得到,在,的边界,上的驻点,和,因为,所以,在闭区域,上的最大值是46，最小值是1.,
