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1、1,第八讲二维 Poisson 方程的并行求解算法,2,主要内容,二维 Poisson 方程的差分离散 差分方程的 Jacobi 算法 串行算法 并行算法 红黑排序的 GS 算法,3,二维Poisson方程,二维 Poisson 方程,其中=(0,a)(0,b)，为边界,1 2 3 4,1 2 3 4,4,0 1 2 3.m,0 1 2 3.n,蓝色为内点,黑色为边界点,5,6,二维Poisson方程,离散后的差分方程为,整理后可得,i=1,.,m-1,j=1,.,n-1,边界条件：,其中,7,Jacobi 迭代,求解该差分方程组的 Jacobi 迭代格式为,i=1,.,n-1,j=1,.,m
2、-1,k=0,1,2,.,8,程序示例,例：取,串行程序：jacobi.f,此时 Poisson 方程的解析解为,9,并行算法,并行求解的基本思想：区域分解,采用区域分解技术：假设使用 np 个进程并行求解，则将整个求解区域分解成 npx npy 个子区域，其中 npx npy=np,每个进程负责求解一个子区域,相邻两个子区域有一个网格步的重叠：便于子区域间的数据传递,每个子区域包含的网格点大致相等,以 3 3 的区域分解为例,10,蓝色为内点,黑色为边界点,0,1,2,3,4,5,6,7,8,11,蓝色为内点,黑色为边界点,0,1,2,3,4,5,6,7,8,12,并行算法,程序中使用的一些
3、参数：,13,并行算法,子区域,网格点：(0:nlx,0:nly)内点：(1:nlx-1,1:nly-1)“边界点”：(0,1:nly-1)(nlx,1:nly-1)(1:nlx-1,0)(1:nlx-1,nly),14,并行算法,几个关系式：,myidx,myidy 与 myid 的关系式：,nlx 与 nx 的关系式：,myidx=myid%npxmyidy=myid/npxmyid=myidx+myidy*npx,nlx=,(nx-1)/npx+2,(myidx rx)(nx-1)/npx+1,(myidx rx),其中：rx=(nx-1)%npx,nly 与 ny 的关系式类似,15,并行算法,子区域中的原点(0,0)在整个网格中的坐标,x0=myidx*(nx-1)/npx+min(myidx,rx)y0=myidy*(ny-1)/npy+min(myidy,ry),其中：,rx=(nx-1)%npxry=(ny-1)%npy,并行计算程序：jacobi_mpi.f,16,上机作业,将 Jacobi 迭代改为 红黑排序的 Gauss-Seidel 迭代,红点:i+j=2k黑点:i+j=2k+1,红黑排序 GS 算法：先更新红点的值 再更新黑点的值 依次类推，不断循环,17,(x0,y0),(i,j)?,红、黑?,
