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1、第二节、二重积分的性质,假设以下各积分存在,性质1,k为常数,性质2,性质3（可加性）,（除分界线）,性质4 如果,性质5(不等式性)如果在D上,特别的:,性质6(估值性)设,性质7(积分中值定理)设f(x,y)在闭区域D,上连续,则至少存在一点,证明：,由闭区域连续函数的介值定理,至少存在一点,三、举例,例2、设区域D:,是变量y的奇函数,X,Y,O,解：,是变量x的偶函数,注：上述性质，称为二重积分的奇偶对称性对于一般函数也成立,例3、估计下列积分值,（2）求D上的最大最小值,X,Y,o D,解：,Ep4:,其中D由x=0,y=0及x+y=1围成,解：,Ep5：,解：,第二节 二重积分的计
2、算方法（1）,一、区域的类型及表示,1、X-型区域：穿过区域D的内部且平行于 D的 边界相交至多两点,a,a,a,x,x,x,b,b,b,x,x,x,y,y,y,o,o,o,2、Y-型区域：穿过区域D的内部且平行于x轴的,直线与D的边界相交至多两点,3、其它类型 如图,非X-型，非Y-型区域,x,y,y,c,d,o,o,x,y,例1、闭区域D由,所围成，使用联立不等式表示区域D,解：法一、D是X型区域 则,法二、D是Y-型区域且,二、利用直角坐标计算二重积分,解：一方面：,曲顶柱体的体积,另一方面：利用平行截面为已知的立体体积计算,设：区域D为X-型,得截面面积,一般的,综上：,类似的，若D为
3、Y-型区域,称为先x后y的二次积分,情形仍成立,关键，步骤如下：,第一步：画区域D的图形,第二步：确定类型，求投影曲间，穿入、穿出,线方程，并用联立不等式表示区域,第三步：将二重积分写成二次积分,例2、计算,其中区域D是由,解：画图 求出交点（-1，1）,及（4，2）,(4,2),(-1,1),法一 D是X-型区域，且,法二 D是Y-型区域，且,(4,2),(-1,1),例3、计算,，其中D由,所围成,解：D是X-型区域,又 D是Y-型区域,无法积分,这说明此积分先x后y的顺序的方法失效,注：上述两例说明，在化二重积分为二次积分,时，为了计算简便，需要恰当的选择二次积分,的顺序。这时，既要考虑
4、积分区域D的形状，又,要考虑被积函数f(x,y)的特性。,例4、改变二次积分,的积分次序,均为X-型，画出区域D如图,视,为Y-型区域,解：,则原式=,例5、计算由曲面,所围立体的体积,解：立体如图，,且在xoy面上投影区域,第二节 二重积分的计算方法（2）,三、利用极坐标计算二重积分,对于某些二重积分，利用直角坐标计算往往,是很困难的，而在极坐标系下计算则比较简单。,如：积分区域为圆形，被积函数为,时，,可考虑极坐标系下计算。,方法如下,1、化,为极坐标系下的二重积分，,由定义,且将区域D,放在极坐标系中,第一步 分割:用两族曲线,r=常数同心圆,=常数射线,任意分割区域D为n个小区域,除含边界的小区域外，其它小闭区域面积,第二步 取,且对应的直角坐标系为,则,从而,其中,为极坐标系下的面积元素,注:相当于二重积分作了变量代换,因而换元就要,换限,2、,化为二次积分,情形（1）极点在D的外部,情形（2）极点在D的边界上,D,情形（3）极点在D内,D,例1：计算,D是由曲线,解：,例2、将,化为极坐标系下的,二次积分,解：,在极坐标系下,例3、求球体,被圆柱面,所截得的（含在圆柱面内部的）,立体的体积。,解：由对称性,体积,在极坐标系下,故,
