动态几何问题 .docx

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1、动态几何问题动态几何形成的最值问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的最值问题，双（多） 动点形成的最值问题，线动形成的最值问题，面动形成的最值问题.本专题原创编写单动 点形成的最值问题模拟题.在中考压轴题中，单动点形成的最值问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行 分类和选择正确的解题方法.y = 3 x - 3原创模拟预测题1.如图，已知直线4 与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C （0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB.则PAB面积的最大值是（）P2117A. 8B. 12 C. 2 D. 2【答案】C.【解析】y = 3 x - 3试题分析：.直线 4

2、与x轴、y轴分别交于A、B两点，.A点的坐标为（4, 0），B点的坐标为（0，-3），3x 4y-12 = 0，即OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5，.|3 x 0 - 4 x-12| 16点C （0，1）到直线3X-4y -12 = 0的距离是*+ 42 = 5，.圆c上点到直线3 16 21121 21y = x - 31 + x 5 x4 的最大距离是5 = 5 .PAB面积的最大值是25 = 2，故选C.考点：圆的综合题；最值问题；动点型.原创模拟预测题2.菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B （2, 0）， ZDOB=60，点P是对角线OC上一个动点，E （0

3、，- 1），当EP+BP最短时，点P的坐标 为.【答案(诲-3,【解析】试题分析：连接如图,I：点殍的对称也是点:.DP=BP? :.ED即为序TP最短，.-.四边形一疝口是菱形，顶点占2?叫点D的坐标为后),二点的坐标为(E击),.可得直线。C的解析式为:y = gx,. 点的坐标为(-L。)，上可得直线切的解析式为：丁二。十J5)x1,.点尹是直线。和直曲的交点.点尹的坐标为方程组-=8*的解解方程组得:尸以；所以点尸的坐标为*。十右虹12 =-捎(23-3, 2-右)，古攵答案为：(2-3, 2- ).考点：菱形的性质；坐标与图形性质；轴对称-最短路线问题；动点型；压轴题；综合题. 原创

4、模拟预测题3.如图，已知抛物线=ax2+bx+(a o0)的对称轴为直线x=1 且抛物线经过A (1, 0), C (0, 3)两点，与x轴交于点B.(1) 若直线 =心+ n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；(2) 在抛物线的对称轴x = 1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最 小，求出点M的坐标；(3) 设点P为抛物线的对称轴x = 1上的一个动点，求使 BPC为直角三角形的点P的坐 标.【答案】（1）=x+3, =*22x+3；（2）m（-1,2）；（3）p的坐标为（一i,一3 + v173 - v172）或（一1, 4）或（一1,2）或（一1,2 ）.【解析】试

5、题分析：（1）先把点A, C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b, c的关系式，再根 据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a, b, c的 值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线 =m + n ,解方程组求出m和n 的值即可得到直线解析式；（2）设直线BC与对称轴x = -1的交点为M,则此时MA+MC的值最小.把x =-1代入 直线=X + 3得y的值，即可求出点M坐标；(3 )设 P (- 1 , t),又因为 B ( - 3 , 0 ) , C ( 0 , 3 ),所以可得 BC 2 =18 ,PB2=(-1 + 3)2 + 技=4 +12,

6、 PC2 = (-1)2 +(t-3)2 = t2 - & +10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标.J -12a a + b + c = 0C = 3试题解析：（1）依题意得:，解之得:.抛物线解析式为y = x2 2 x + 3,对称轴为x= 1,且抛物线经过A (1, 0),.B (-3, 0),把B (-3, 0)、C (0, 3)3m + n = 0m = 1分别代入直线y = mx + n，得：1n = 3，解之得：b = 3，.直线y = mx + n的解析式为y = X + 3 ； （2）设直线BC与对称轴x=-1的交点为M,则此时MA+MC的值最小.把x

7、= 1代 入直线=X + 3得，y=2,M (1, 2).即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为(一1, 2)；(注：本题只求M坐标没说要证明为何此时MA+MC的值最小，所以答案没证明MA+MC的值最小的原因)(3)设F I、又 B (-3, 0)C(0, 3):.BC2=12蹄=(-1+3珍+F=4+已 尹萨=(-建+(?3) = P 6f+10 若点月为直角顼点，则BC2FB2=PC2?即：1&-1& + 4 + F=F6F + 1L解之得：f = L 若点C为直角顶点则BC2PC2 = PB即：18十F 一由十10 = 4十解之得：，二矿 若点P为直角顼点，则尹驴+气即；

8、4 + F+尸一6f+10 = 18,解之得；户兰叵 f综上所述，的坐标为-L F或If或侦)或一*考点：二次函数综合题；最值问题；动点型；压轴题；分类讨论.原创模拟预测题4.如图，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线时的一点，且 DG=AD，动点M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿着A-CG的路线向G点匀速运 动(M不与A，G重合)，设运动时间为t秒，连接BM并延长AG于N.(1) 是否存在点M,使 ABM为等腰三角形？若存在，分析点M的位置；若不存在，请 说明理由；(2) 当点N在AD边上时，若BNHN，NH交ZCDG的平分线于H，求证：BN=HN；(3) 过点M分别作AB，AD的

9、垂线，垂足分别为E，F，矩形AEMF与ACG重叠部分 的面积为S，求S的最大值.BC【答案】(1)答案见试题解析；(2)证明见试题解析；(3)当t=秒时，S的最大值为【解析】试题分析:(1) 当点M为AC中点时，有血妙剂域 则为等腰三角形；当点意与点C重合时，A8=8旌 则&籍*为等腰三角形！当点M在AC且X奸2时，心如，则皿M为等腰三角形5(2) 证明：在R雷上取点拓 使咒*心,连接尽.mD, BKA.B-AK, ND=AD-A14,又平分直角 3G, .ZCDH=A5C, .空DW90牛4513君 二匕SK旺 1 踞-匕比= 35% .心f=L在 饨诞N中，匕顼一君=90七 叉 5X1AW

10、,即Z3AW=90%.X思在睥田1&0七 压却1&瞻如吧邛七 二匕结一谷必丑.KA匕%丑D。44), :.BN=m(3)当点M在AC上时，即0Vt22时，易知：AAMF为等腰直角三角形.AM=t,v211、克 v21tAF - FM 11 = 12.AF=FM= 2 ，S=22 224当点 M 在 CG 上时，即 2%2 t q 时，CM=t-2t2，MG=4p2-t. AD=DG，ZADC=ZCDG, CD=CD, AAACDAGCD (SAS), AZACD=ZGCD=45, AZACM=ZACD+ZGCD=90,AZG=90-ZGCD=90-45=45,AAMFG 为等腰直角三角形，FF

11、 = MG-COS450 = 3T)W = 4-吝.$ =噎广工厂膈x4x2- LxCM xCM -221FG - FM 24- (t-22)2 (4- t)2AAA3-12 + 4(2t-84,ri一 一 l、12(0 t 22)S =-t2 + 槌t-8 (22 t 4很)4 ;一-1 x(2、；2)2 = 2在0t2 范围内，当t=2、2时，S的最大值为4388.S = _ (t - _气2)2 +在E t 2 3当孝秒时，8S的最大值为3.考点：四边形综合题；二次函数综合题；分段函数；二次函数的最值；最值问题；动点型; 存在型；压轴题.原创模拟预测题5.如图1，已知直线=x + 3与x

12、轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象(图中的“V形折线”).(1) 类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；ky =(2) 如图2,双曲线尤与新函数的图象交于点C(1, a)，点D是线段AC上一动点(不包括端点)，过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点，与双曲线交于点P. 试求APAD的面积的最大值； 探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形？若能，求出此时点D的 坐标；若不能，请说明理由.【答案】（1）函数的最小值为0；函数图象的对称轴为直线x=-3；25（2）8 :四边形PAEC不能为平行四边形

13、.【解析】试题分析；根据一次函数的性质，结合函数图象可与出新幽数的两条性而求新函数的解析式可分鬲种情;兄进行讨论；3时，显然咛比 当代-3时，利用待定系数法求解, 先把点C （1, G 心户求出。（1, 4）,可求出反比例函数解析式为丁二J -由点口是姓段 JCAC上一动点（不包括端点、可设点D的坐标为 S 补3、且-3 - 3时，显然y=x+3；-4k + b = 1-3k + b = 0当x-3)x 3 (x -3)k y = (2)如图2,.点C (1, a)在直线y=x+3上，.=1+3=4.点C(1,4)在双曲线 x4y =上，.k=1x4=4,. 尤.点D是线段AC上一动点（不包括

14、端点），.可设点D的坐4标为（m, m+3），且-3m1.DPx轴，且点P在双曲线上，P （ m + 3 , m+3）,4m.PD=m + 3, PAD的面 积 为上（-、, c、 13 c1,3、251m) x (m + 3) m 2 m + 2 (m + )2 +S= 2 m + 3=22= 228 , a= 2 0 ,.当325325 m= 2时，S有最大值，为8，又-3V 2 1,.APAD的面积的最大值为8 ；在点D运动的过程中，四边形PAEC不能为平行四边形.理由如下： 当点D为AC的中点时，其坐标为（-1, 2）,此时P点的坐标为（2, 2）, E点的坐标为（-5, 2）,VDP

15、=3, DE=4,.EP与AC不能互相平分，.四边形PAEC不能为平行四边形.卸图2考点：反比例函数综合题；分段函数；动点型；最值问题；二次函数的最值；探究型；综合 题；压轴题.3半y =x+3原创模拟预测题6.如图，直线4 与x轴交于点C,与y轴交于点B,抛物线y = ax 2 + x + c4 经过B、C两点.（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当 BEC面积最大时，请求出点E的 坐标和 BEC面积的最大值？（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M,连接AM,点Q是抛 物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P,使得以P、Q、A、M为

16、顶点的四边形是 平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.+ 3；（2）点E的坐标是（2, 3）时BEC的面积最大，33 y = _x 2 +_ x 【答案】(1)84212115最大面积是3； （3） P的坐标是（-3，8 ）、（5，8 ）、（T，8 ）.【解析】试题分析；由直线尸=-：五十3与二轴交于点G与y轴交于点矿求出点占的坐标，点L的坐标然 后根据抛物线经过R。两点，即可求出抛物线的解析式过点E作t轴的平行线以交直线配于点知陟交_ x轴于点F,然后设点E的坐标是3-（营+：奸3）,则点出的坐标是8 -|x+3）;求出义M的值再求出喝心进而判断出当眺t 面积最

17、大时点我的坐标和羽（7面积的最大值即可.学科网在抛物线上存在点R使得以3 & H为顶点的四边形是平行四边形.然后分三种情况讨论根 据平行四边形的特征，求出使得以R。、出M为反点的四边形是平行四边形的点P的坐标即可.y = 3 x + 3试题解析：（1） 直线 4 与x轴交于点C，与y轴交于点B，.点B的坐标是（0，316a + x 4 + c = 03y = ax 2 +x + c3），点C的坐标是（4，0），.抛物线44, c = 3经过B、C两点，.3la = 33y = 3 x 2 + 3 x + 3解得：。=3，.84；（2）如图1，过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴

18、于点F，点E是3 x 2+3 x + 3直线BC上方抛物线上的一动点，.设点E的坐标是（X， 84），则点M的坐333333X + 3 一 X2 + x + 3 - ( x + 3) 一 x 2 + x标是(x,4),.EM= 4 的对称轴是x=1,.设点Q的坐标是(1,44= 821S ABC=S BEM+S MEC= 2 EM1/33、33/x (x2 + x) x 4 x2 + 3x (x 2)2 + 3,当x=2时，即点E的坐标是(2,OC=282= 4= 43)时，ABEC的面积最大，最大面积是3；(3) 在抛物线上存在点P,使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形.如图2,3

19、.点M的坐标是(2, 2 ),又.,点A的坐标是(-20),AM=2 (2)2 +(3 0)2732 ,.AM所在的直线3 的斜率是：2 - (-2) 833y = 一一 x 2 + x + 3-3X2+3X+3m),点P的坐标是(x,83373(X - 1)2 + ( X2 + X + 3 - m)2 =)，则844，解218 , Vx0,A点P的坐标是(-3,21耳).如图3,y=-3X+3.点M在直线 4 上，由(2),可得点M的横坐标是2,.点M的坐标是(2, 2 ),又.,点A的坐标是(-2,:2 (2)2 + (3 0)2 0),.AM=20,21.点P的坐标是(5，8 ).学科网

20、-3X2 + 3X + 3-m_ 3如图4,3上，点M的坐标是（2, 2 ）,的对称轴是x=1,.L设点Q的坐标是（1, m）,点P的坐标是（x,33-X 2 + X + 384)，则y=-3x+3由（2）,可得点M的横坐标是2, .点M在直线 4:2 - (-2)2 + (3 - 0)2 兰 y = -3 X 2 + 3 X + 3又.点A的坐标是(-2,0),.AM=2= 2 ，：84x2 + x + 3 八842 m - 0= x - 21 - （-2）x +1 2 - 2=22,x = -11 _1515y 解得：18 ,.点P的坐标是（-1, 8 ）.综上，可得：在抛物线上存在点P,

21、使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，212115点 P 的坐标是（-3,8 ）、（5,8 ）、（T, 8 ）.考点：二次函数综合题；动点型；存在型；分类讨论；最值问题；二次函数的最值；压轴题. 原创模拟预测题7.如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的 抛物线经过点A,点P是抛物线上点A, C间的一个动点（含端点），过点P作PFXBC于 点F,点D、E的坐标分别为（0, 6）, （-4, 0）,连接PD、PE、DE.（1）请直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置发现：当P与点A会点C重合时，PD与PF的差为定值，进而 猜想：对于任意一点P, PD与P

22、F的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使 PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在 多个“好点”，且使 PDE的周长最小的点P也是一个“好点”.请直接写出所有“好点”的个数，并求出 PDE周长最小时“好点”的坐标.麻3Xy = _ _ x2 + 8【答案】(1)8； (2)正确，PD-PF=2； (3) 11 个好点，P (-4, 6).【解析】 试题分析：(1)设抛物线解析式为：y = aX2 +c，把C (0, 8), A (-8, 0)代入即可求出抛物线解析式；(2) 表示出P, F点坐标，再利用两点之间距离公式得出PD, PF的长，

23、进而求出即可；(3) 根据题意当P、E、F三点共线时，PE+PF最小，得出P点坐标以及利用PDE的面积 可以等于4到13所有整数，在面积为12时，a的值有两个，进而得出答案.试题解析：(1)边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A,AC (0, 8), A (-8, 0),设抛物线解析式为:y = ax 2 + c，则:c = 864a + c = 0，二:解得：lc 8 ，故抛物线的解析式为:-1 a 2 + 8(2 )正确，理由：设P ( a,8)PD=1_ 11a2 + ( a2 一2)2.：( a2 + 2)2_a2 + 288_88 - (-1 a 2

24、+ 8)PF= 81a2=8,APD-PF=2；(3) 在点P运动时，DE大小不变，则PE与PD的和最小时，APDE的周长最小，PD -PF=2,APD=PF+2,APE+PD=PE+PF+2,A 当 P、E、F 三点共线时，PE+PF 最小，此时y = _ x2 + 8点P, E的横坐标都为-4,将x= - 4代入 8，得y=6,.P (- 4, 6),此时PDE的周长最小，且PDE的面积为12,点P恰为“好点，.PDE的周长最小时”好点“的-1 a 2 + 8坐标为：(-4, 6),由(2)得：P (a,8),.点D、E的坐标分别为(0, 6),(-4, 0）,.设直线DE的解析式为：+

25、b，则*4k + b 0，解得:y x + 6 a2 + 8 a 62 ，则 PE= 821 . ,1 _ 一 3 一、 1 一 1 一 一 x4x( a2 + 8一一a 6) 一一a2 3a + 4 一一(a + 6)2 +13 .282= 4= 43k 2b = 6 , AIDE：- 8a0, A4SAPDE13,.APDE的面积可以等于4到13所有整数，在面积为12时，a的值有两个， 所以面积为整数时好点有11个，经过验证周长最小的好点包含这11个之内，所以好点共 11个，综上所述：11个好点，P （-4, 6）.考点：二次函数综合题；动点型；定值问题；阅读型；新定义；综合题；压轴题.原

26、创模拟预测题8.问题探究：（一）新知学习：圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形 EFGH的对角互补，那么四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上）.（二）问题解决： 已知。O的半径为2，AB，CD是。O的直径.P是BC上任意一点，过点P分别作AB， CD的垂线，垂足分别为N，M.（1）若直径ABC。，对于BC上任意一点P （不与B、C重合）（如图一），证明四边形PMON内接于圆，并求此圆直径的长；（2）若直径ABCD，在点P （不与B、C重合）从B运动到C的过程汇总，证明MN的 长为定值，并求其定值；（3）若直径AB与CD相交成120角.当

27、点P运动到BC的中点P1时（如图二），求MN的长； 当点P （不与B、C重合）从B运动到C的过程中（如图三），证明MN的长为定值.（4）试问当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值.图一图二图三【答案】(1)证明见试题解析，直径为2； (2)证明见试题解析，定值为2； (3)*3 ；证明见试题解析；(4)当直径AB与CD相交成90角时，MN取得最大值2.【解析】试题分析：(1) 如图一，易,从而可得四边形RVOV内接于圆，直径02；V)如图一，易证四边形是矩形则有问题得以解决5 如图二 由等弧所对的圆心角相等可得2SP1N功P1=,由圆内接四边形的对角互补可得/ 仲好

28、由角平分线的性质可得PE3,从而得到是等边三角形则有心P1M,然后在 R心倪。运用三角四数就可解决问题设四边形PON的外接圆为睥,连接MT并延长交G。 于点0连接QM?如图三，由圆周角定理可得口皿9护,在秘10街中运用 三角函数可得：皿以M攻匕从而可得占0#聊虬 由此即可解决问题；学科网(4)由中已得结论歧QP乖MQN可知，当时，_心最大问题得以解决.试题解析：(1)如图一，：PMOC, PNOB, AZPMO= /PNO=90,.匕PMO+ / PNO=180,四边形PMON内接于圆，直径OP=2；(2) 如图一，VABXOC，即 ZBOC=90，.ZBOC=ZPMO=ZPNO=90，A 四

29、边形 PMON是矩形，.MN=OP=2，.MN的长为定值，该定值为2； (3)如图二，：P1是BC的中点，ZBOC=120 ZCOP1=ZBOP1=60，ZMP1N=60.VP1MXOC，P1NOB，.P1M=P1N，.AP1MN 是等边三角形，MN=P1M.P1M=OP1sinZMOP1=2xsin60= %3，MN= *3 ；设四边形PMON的外接圆为。O，连接NO并延长，交OOf于点Q，连接QM，如图三，MN则有ZQMN=90，ZMQN=ZMPN=60，在 RtAQMN 中，sinZMQN= Q，AMN=QNsin空.一ZMQN，MN=OPsinZMQN=2xsin60=2x 2 = *3，AMN 是定值.(4)由(3)得 MN=OPsin ZMQN=2sinZMQN.当直径AB与CD相交成90角时，匕MQN=180-90=90, MN取得最大值2.图一图二图三考点：圆的综合题；定值问题；最值问题；动点型；阅读型；探究型；综合题；压轴题.y=3x+3由(2),可得点M的横坐标是2,点M在直线4 上，