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1、 6-2动生电动势和感生电动势动生电动势：回路或其一部分在磁场中的相对运动所产生的感应电动势。 感生电动势：仅由磁场的变化而产生的感应电动势。一动生电动势图6 - 5动生电动势动生电动势的产生可以用洛伦兹力来解释。长为l的导体棒与导轨构成矩形回路abcd平放在纸面内，均匀磁场B垂直纸面向 里。当导体棒ab以速度v沿导轨向右滑动时，导体棒内自由电子也以速度v随之一起 向右运动。每个自由电子受到的洛伦兹力为F = (- e) v x B方向从b指向a，在其作用下自由电子向下运动。如果导轨是导体，在回路中将形成沿着abcd逆时针方向的电流。如果导轨是绝缘 体，则洛伦兹力将使自由电子在a端累积，从而使
2、a端带负电，b端带正电，在ab棒上 产生自上而下的静电场。当作用在自由电子上的静电力与洛伦兹力大小相等时达到平 衡，ab间电压达到稳定值，b端电势比a端高。这一段运动导体相当于一个电源，它的 非静电力就是洛伦兹力。电动势定义为单位正电荷从负极通过电源内部移到正极的过程中，非静电力K所作 的功，即FK = v x B.-e动生电动势为(6.4)E K - d I j a (vx B) - d均匀磁场情况：若v 1 B ,则有8= Blv；若导体顺着磁场方向运动，v/B，则有 vx B = 0，没有动生电动势产生。因此，可以形象地说，只有当导线切割磁感应线而运 动时，才产生动生电动势。普遍情况：在
3、任意的恒定磁场中，一个任意形状的导线线圈乙(闭合的或不闭合的) 在运动或发生形变时，各个线元dl的速度V的大小和方向都可能是不同的。这时，在整 个线圈L中产生的动生电动势为 = j (v X B) - dl.(6.5)(L)Xx图6 - 6洛伦兹力不作功洛伦兹力对电荷不作功：洛伦兹力总是垂直于电荷的运动速度，即F v，因此洛 伦兹力对电荷不作功。然而，当导体棒与导轨构成回路时会有感应电流出现，这时感应 电动势却是要作功的。感应电动势作功能量的来源：在运动导体中的自由电子不但具有导体本身的运动速 度V，而且还具有相对于导体的定向运动速度，与此相应的洛伦兹力F u .自由电 子所受到的总的洛伦兹力
4、为F = - e (u + v) x B=F u + F v ,它与合成速度u+v垂直，总的洛伦兹力不对电子作功，即F -(u + v) = 0.利用FV -v = 0和Fu -u = 0，由上式可得F - (u + v) = (F v + F u) - (u + v) = F v - u + F u - v = 0 ,或一F u - v = F v - u .实际上，为了使导体棒能够在磁场中以速度V匀速运动，必须施加外力F，以克服洛伦 兹力的一个分力F =-e u x B .利用上式的结果可以看到，F0克服F所作的功为F 0 - v =u - F u - v = F v - u.u外力克服洛
5、伦兹力的一个分量F所作的功F - v，通过洛伦兹力的另一个分量F对电子 的定向运动作了正功F -u，从而全部转化成了感应电流的能量。因此，洛伦兹力并不 提供能量，而只是传递能量。洛伦兹力在这里起了能量转化作用，其前提是运动物体中 必须有能够自由移动的电荷。二感生电动势在磁场变化而产生感生电动势的情况下，导体回路不动，其非静电力不可能是洛伦 兹力。人们发现，不论回路的形状以及导体的性质和温度如何，只要磁场变化导致穿过 回路的磁通量发生了变化，就会有数值等于| do /湿|的感生电动势在回路中产生，说明 感生电动势的产生只是由变化的磁场本身引起的。麦克斯韦在电磁感应现象分析的基础上提出：变化的磁场
6、在其周围空间激发一种新 的电场，称为感生电场或有旋电场，用Er表示，以区别于库仑场Ec，后者是电荷按库 仑定律激发的电场。有旋电场与库仑场都是一种客观存在的物质，它们对电荷都有作用力。与库仑场不同的是，有旋电场不是由电荷激发的，而是由变化的磁场激发的；描述 有旋电场的电场线是闭合的，从而有J E r - d l，0,d g = E r - d I =因此有旋电场不是保守场或势场。实际上，产生感生电动势的非静电力K正是这一有旋 电场Er，即(6.6)三电磁感应定律的普遍形式在普遍情况下，电场E是库仑场E和有旋电场Er的叠加，即E = E c + E r.cr由于库仑场是势场，JEc dl = 0
7、，因此感生电动势为(6.7)g = J (E c + E r) - d l = J E - d l.(L)(L)另一方面，按照法拉第电磁感应定律，有、=-JJ 矿 dS , d t d t(s )式中S是以环路L为周界的曲面。当环路L不动时，可将对时间的微商与对曲面的积分 的顺序颠倒，得d BJ E - dl = JJ- dS .(6.8)d t(L)(S)此即电磁感应定律的普遍(积分)形式，它是麦克斯韦方程组的一个方程。根据矢量分析中的斯托克斯公式，利用导出安培环路定理的微分形式类似的方法， 可以由式(6.8)得到v X E = 一竺，(6.9)a t这就是电磁感应定律的微分形式。上式表明，
8、即使没有导体存在，变化的磁场也会在空 间激发涡旋状的感生电场。在式(6.9)中代入磁矢势A的定义式B= VxA，可得 Vx (E +竺)=0.a t对于任何标量函数中，总有V x (V 中)=0，所以由上式Vx (Ea a) a t(6.10)(6.11)可得E = - aA - Vp at这就是用矢势A和标势p表示电场强度E的普遍表达式。当电磁场与时间无关时，有aa= 0，E = - Vp = - V V，a t于是p还原为静电势V.为了使矢势A有确定值，对于随时间变化的电磁场，可采用apV-A + 8 0 四 0 节作为附加条件来限制矢势A和标势p，该条件称为洛伦兹条件或洛伦兹规范。矢势A
9、和标势p的重要性：四维电磁矢势(气，Ay，Az，ip；有心力场中运动粒子的薛定谔方程为a 10i力 一W = (P - q A)2 + qp V , a t2 pa1或 i 力 V = (-i 力 V-q A) ( - i 力 V-q A) + q p Va t2 p1959年，阿哈罗诺夫和玻姆从理论上指出，即使在电子的运动路径上不存在电场 E和磁场B，但只要存在标势p和矢势A，也会使电子波函数的相位发生变化，而这种 相位变化可以通过电子波的干涉效应加以观测，这就是著名的A - B效应。A - B效应表 明，中和A是比E和B更为基本的物理量。四电磁感应与相对性原理按照以上关于动生电动势和感生电
10、动势的讨论，似乎在这两种物理情况之间存在着 深刻的差异。为了弄清它们之间的内在联系，我们现在从三个惯性系S，S和S，中静止的观测者 的角度出发，考察以速度V相对运动着的闭合回路和磁铁。1)对于S系中的观测者来说，建立磁场B的磁铁是静止的，导体回路以速度V 运动着，所测得的动生电动势来源于磁场B作用于运动导体的自由电荷上的洛伦兹力， 且有e = J (v x B) - dI.2 )对于S系来说，磁铁以速度-V运动着，使磁场B的空间分布随时间改变， 所测得的感生电动势来源于导体回路中产生的感生电场E，且有e = J E - d I.3 )对于S系来说，磁铁和导体回路都在运动，因而以上二者兼而有之，
11、即导体 回路中的感应电动势为e = J (vx B) - dl + J E - dl.根据电场和磁场的相对论性变换的讨论，在不同的惯性系中所观测到的电场和磁场可以 是不同的，即B与B，E与E都可能不同。上述表面上看起来有着明显差异的物理情况，却有着共同的规律，它们都遵从法拉 第电磁感应定律及其推广的形式，即e=-E 和 J E d l = -JJ 竺-d S . d td t不管磁通量中变化的原因是什么，它们都是成立的。只要磁铁和导体回路之间的相对运 动相同，导体回路中的感应电动势 e 就相同。实际上，这是相对性原理的必然结果。这一结果说明，磁场和电场并不是彼此无关 的，它们的划分是相对的，是
12、与惯性系的选择有关的。1905年爱因斯坦在关于狭义相对 论的著名论文“论运动物体的电动力学”中，对此作了精辟的论述。例题6.2在均匀恒定磁场B中，一根长为L的导体棒ab，在垂直于磁场的平面内绕其 一端作匀速转动，角速度为。试求这导体棒两端的电势差uab.解(1)解法一：由于导体棒ab在均匀磁场中匀速转动，所以棒上各处的线速度V不同。 若在距中心为l处取一线元dl，则其线速度的方向既垂直于棒，又垂直于B，大小为V = 1.利用式(6.5)，导体棒ab上所产生的动生电动势为8 = (v x B) - d l = - f b Bvl d l - - L2 B aa2式中的负号来源于vxB的方向与积分
13、路径的方向相反，表示感应电动势从b指向a的。于是，ab两点间电势差为Uab = -8图6 - 7旋转的导体棒(2)解法二：为直接用式= - 了(6.1)d t来求解，设想(这种设想是有条件的！)有一回路abb a，ab 是导体棒在t = 0的位置， S - L2 国 /2是At时间内导体棒扫过的面积。由于回路abb a的绕行方向确定的面元矢量AS的方向与 B一致，所以回路磁通量为1A-B S - BAS -BL2A02，代入式(6.1)可得 - - d=-1BL2d。- 1 L2Bd t 2d t 2式中的负号表示电动势8的方向由b指向a.例题6.3 交流发电机的基本原理。解一个单匝线圈abc
14、d可以绕固定轴在磁极N和S所激发的近似均匀的磁场中转动； 线圈的两端分别接在两个与线圈一起转动的铜环上，铜环通过两个带有弹性的金属触头 与外电路接通。当线圈在汽轮机或水轮机的带动下在均匀磁场中匀速转动时，线圈的ab 和cd两边切割磁感应线而产生感应电动势。如果外电路是闭合的，则在线圈和外电路所组成的闭合回路中就会出现感应电流。图6 - 8交流发电机的基本原理考虑某一瞬间，线圈平面的法向e与8间的夹角为0.由式(6. 5)可得，在边长为l 的ab和cd两边中产生的感应电动势分别为：七=j(v xB) -dl = l vB sin o dl = vB l sin o , d = j d (v x
15、B) - dl = l vB sin (兀一o )dl = vB l sin o .线圈回路中这两个电动势的方向相同，因此整个回路中的感应电动势为8 = 8 + 8 = 2 vB l sin0 .设线圈旋转的角速度为必，并取线圈平面的法线刚好处在水平位置时作为计时零点， 则0 =t，又因v = l/2，代入上式可得8 = BS sin t,式中s = II 为线圈的面积，l为线圈的bc和da边长。实际上，直接应用式8 =一此来计算更加简便。当线圈平面的法向e与B的夹角 d tn为o =t时，矩形线圈面积的磁通量为中=BS = B S coso = B S cos t,由此可直接得到线圈中的感应
16、电动势为8 = - = B S sin t .dt这种电动势称为简谐交变电动势，简称简谐交流电。当线圈中形成了感应电流时，它在磁场中要受到安培力的作用，其方向是阻碍线圈 运动的。为了继续发电，必须用汽轮机或水轮机来克服阻力矩作功。交流发电机是利用 电磁感应现象将机械能转化为电能的装置。实际的交流发电机构造都比较复杂，例如线圈的匝数很多，它们都镶嵌在硅钢片制 成的铁芯上，组成电枢；磁场是用电磁铁激发的，磁极一般不止一对。大型发电机的电 压较高，电流也很大，为了便于电流的输出，一般采用转动磁极式，即电枢不动，磁体转动。wpw of w ire winch currnil nA rriiliiLcd
17、 iCurtvrti io pmduHX例题6.4半径为R的圆柱形空间分布着均匀磁场，磁感应强度B随时间以恒定速率dB/dt变化，试求感生电场的分布。解对称性分析：根据磁场分布的轴对称性以及感生电场的电场线是闭合曲线这两个特 点，可以断定感生电场的电场线处在垂直于轴线的平面内，它们是以轴为圆心的一系列同心圆。图6 - 9变化磁场的电场设想以。为圆心，以尸为半径作一圆形闭合回路，则回路上任一点处感生电场的场 强大小相等，方向与回路相切。选取回路的正方向是顺时针的，则有f； E - d l = E 2 兀 r.根据式d B -J E - d I = - - d Sd t(L)(S)以及竺-dS =
18、 JJ dS , d td t当r 0时，E 0，电场线方向是逆时针的；当dB/dt 0，电场线方向是顺时针的。当r R时，回路中一部分空间的磁场为零，随着r的增加，回路的磁通量不会 增加，于是有d d Bd B。= JJ d S =兀 R 2,dtdtdtdBE 2 兀 r - -兀 R 2d t 可得E = - M2 r d t即感生电场E与r成反比，负号的意义同前。例题6.5电子感应加速器的基本原理。解应用感生电场加速电子的电子感应加速器，是感生电场存在的最重要的例证之一，其结构示意图如图（a ）所示。I 舛cunvnE图6 - 10电子感应加速器用交变电流励磁的圆形电磁铁在两极之间产生
19、交变磁场，从而在环形真空室内感生 出很强的同心圆有旋电场。用电子枪将电子注入环形室，它们在有旋电场的作用下被加 速，同时在洛伦兹力的作用下沿圆形轨道运动。只有磁场变化是在第一个或第四个1/4 周期（约5 ms）的情况下，所产生的有旋电场才能使带负电的电子加速而沿圆形轨道运动。 实际上，在比上述时间还短得多的极短时间内，约10-1 ms，电子已经能够绕轨道回旋数 十万圈，从而获得很高的能量。最后，将电子引入靶室，进行实验工作。一个重要的问题是，当电子的运动速率不断增大时，怎样才能维持电子在恒定半径 的圆形轨道中运动？我们知道，维持电子在圆形轨道中运动的向心力是洛伦兹力，即2mv= evBR，或
20、mv = ReBR ；（ 1 ）而加速电子的力是圆形轨道内磁通变化引起的感生电场，即d（ mv）e d d t感 2 兀 R d t e或d（mv） =d.（2 ）2兀R设加速过程开始时=0，v = 0，则式（2 ）的积分为mv =兀R 2 B，（ 3 ）2兀R2兀R可得( 4 )其中B为电子运动轨道内的平均磁感应强度。比较式（1 ）和式（3 ），BR只要电子运动轨道上的磁感应强度，等于轨道内磁感应强度平均值的一半，就能维持电 子在恒定半径的圆形轨道中运动。与回旋加速器不同，电子感应加速器加速电子，并不会受到电子质量随其速度增大 而增大这一相对论效应的影响（为什么？）。例如，100 MeV的大型电子感应加速器（电磁 铁重约100吨，励磁电流功率约500 kW，环形室直径约1.5 m，电子经过的路径超过1000 km），可以将电子加速到0.999 986 c.然而，电子被加速时要辐射能量，这就限制了被 加速电子能量的进一步提高。
