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1、陆云自控笔记(WORD版)一、自动控制理论的分析方法：(1 )时域分析法；(2) 频率法；(3) 根轨迹法；(4) 状态空间方法；(5) 离散系统分析方法；(6) 非线性分析方法二、系统的数学模型解析表达：微分方程；差分方程；传递函数；脉冲传递函数；频率特性；脉 冲响应函数；阶跃响应函数图形表达：动态方框图(结构图)；信号流图；零极点分布；频率响应曲线;单位阶跃响应曲线时域响应分析一、对系统的三点要求：必须稳定，且有相位裕量Y和增益裕量Kg动态品质指标好。t 、 t 、 t、。 ps r稳态误差小，精度高二、结构图简化一一梅逊公式例1、解：方法一：利用结构图分析：E(s)= R(s)- lx
2、1 (s)+ Y(s)=R(s) Y(s)- X 1 (s)方法二：利用梅逊公式 G (s) =KA其中特征式 a = 1 切 L + W L L - Y LL L + .i = 1j, k =1d , e, f =1式中：E L为所有单独回路增益之和W L L 为所有两个互不接触的单独回路增益乘积之和 /E L L L 为所有三个互不接触的单独回路增益乘积之和其中，Pk为第K条前向通路之总增益；Ak为从中剔除与第K条前向通路有接触的项；n为从输入节点到输出节点的前向通路数目 对应此例，则有： 通路：p = G1 G ， = 1特征式：小=1 (g G - G G ) = 1 + G G +
3、G G则：也=PR (s)1 + G 1 G 2 + G 1 G 3例2： 2002年备考题解：方法一：结构图化简继续化简:于是有:结果为其中G (s广方法二：用梅逊公式 = 1 - - G G H - G G G H - G G H+ 03211232432通路.P = G G G G G , A = 17 口 :1561231P = G , A = 1 + G G H P = G G G G , A = 1252321356433Y (s) P A + P A + P A = 11 22 3= 于是：R G)A三、稳态误差(1)参考输入引起的误差传递函数:扰动引起的误差传递函数:E (s
4、)G HN (s )1 + GGH(2)求参考输入引起的稳态误差时。可以用K 、 K叠加，也可以用终值定理：lim s - E (s)s T 0r(3)求扰动引起的稳态误差 时，必须用终值定理:ssnlim s - E (s )s T 0、(4 )对阶跃输入：K = lim G (s)，p st 00如 r(t)=a 1。，则 R (s )= a，ssr(5 )对斜坡输入：K = lim s - G (s)，如 r (t )= b . t，则 R (s )= b， ssr(6 )对抛物线输入：K = lim s 2G (s),0p sT 0如 r (t )= 1 c . 12，则 R (s )
5、= C, 2ssr例3：求：竺g，令n(s)=0，求穿，令R(s)= 0R s )N s )解：结构图化简:当N (s )= 0时，求得匕 =。；当R (s )= 0时，有R (s )求得四N (s )例4： 令 N (s )= 0，求 ，令 R (s )= 0，求 R (s )N (s )为了完全抵消干扰对输出的影响则 G (S )= ?X解：求华，用用梅逊公式:R (s )P = 1, = 1 + KGG P = G G = 1 - - KG 1 G2 - KG 1 = 1 + KG 1 G2 + KG 1则：也=1 + KG1G2 + G1G，同理求得Y (s )=R(s) 1 + KG
6、 1G 2 + KG 1R(s)若完全抵消干扰对输出的影响，则干扰引起的输出应该为零。即四=0,故华=1+ KG1G2+ G 1Gx =0,所以 G =_ 1+ KG1G2N G)R G ) 1 + KG 1G 2 + KGxG1例5: 2002年题4其中 g (sT1 ，G (s )=:、，r(t )和n(t)分别是参考输入和扰动1sn 1 (s + 4 )2sn 2 (s + 2 )输入。求误差传递函数Gr(s)= *)和G (s)=爻；是否存在n10和n2 0,使得误差为零？设r(t)和n(t)皆为阶跃输入，若误差为零，求此时的n1和n2解： G (s )= E (s )=1， G (s
7、 )=华=-，N(s)为负reR (s)1 + G G neN s)1 + GGr(t)=t，要求e =0.则系统应为II型系统，那么n1+n2=2.ssr r(t)=1(t),n(t)= 1(t),要求 e =0,则 n1+n2=1K (s + 4 )因为如匹2Kxs+* 则两=s (s + 4 )(s + 2 )+ K (s + 1)E (s )E (s ) 1e = lim s - E (s ) = lim s - N (s ) = lim s - = 4st0 N &)st0N &) sssn而事实上:Ks (s + 4 )E s )N (s )s(s + 4)(s + 2)+ K (
8、s + 1)E (s )E (s ) 1e = lims - E Vs ) = lims - -N Vs ) =lim s - * 一= 0st 0st 0 N s Jst 0 N s J sssn可见积分环节在g (s )部分中，而不在G (s)中。故n1=1, n2=0。就可以实现要求例 6 ：如图，当 r() = sin (t + 15。)- 2 cos(3t - 20。)时求稳态输出解：应用频率法:死3)=_，贝寸j+ 7R 缶)+-Y(s)s +2。(j1) = - =Z 一 tan -1 上,(j3)=5= Z - tan -1 j + 7、507j 3 + 7 v5875r1 )
9、10r3 )y 31=；sint + 15。-tan -1 cos31 -20。一 tan -1 一t T 8V50I7 JV58i7 J四、动态指标二阶系统传递函数的标准形:Y (s )o 2R (s) s2 + 2go + o 2cos 0 = E，。越大，&越小(3) t = s0，r o Jl - g 23A (A=5%或 2%) go n=0.1 s,c % = 30%p=n ，R (s ) Ts 2 + s + K s 2 + s / T + K / Ts 2 + 2go s + 0 2解：例7:如图，要求t试确定参数K, T。则。2 = T，r2 go =n1一 。T由t =0.
10、1n c % = exp例8:l J低1 -g2 j=0.3，可得 & =?，T=?求： 选择 K ， K t，使得 o%20%，ts = 1.8 秒(小= 2% )并求出r(t)= 1(T)+ t时的稳态误差R(s)Y(s)解：(s )2s2 + 2 grof12 gro由 a%t T，（如图5）增益裕量:1A (w 1 )相位裕量：y = 180 0 + 9（w ），如图6注意:例1:用G(加)=1求K；用tan -)=180。求 w1。1作出波德图KGs； 1)_- , T1T2, =10 s F s + 1)T s + 1 )例2： 2002年题1求：(1)写出开环传递函数g (s)计
11、算系统的相位裕量和增益裕量做出G (s)的Nyquist曲线，并分析闭环系统的稳定性 0解： G (s)= K(2s ； 1 0s 2 (0.1 s + 1 )K G X 2)22可见图中=2，因为幅频特性曲线在w1=0.5和w2=10时发生转折，显然w=2 时，曲线只在w1=0.5发生转折，而未到w2=10。故w2=10不发生作用，所以故G (s)=: 1、。 s 2 (0.1 s + 1 )相位裕量：y =180。+ 甲()=tan -1 4 tan -1 2 =因为 tan -1 G (加)=180。，则tan -1 2 =tan -1 0.1 n 2 =0.1 n= 0 n K =3：
12、则Z=0, N=0, P=0o符合Z=P+N,故稳定三、Nyquist判据Z为闭环右半平面根数，P为开环g G)右半平面根数，N为g O包围T圈数, 00顺时针为正，逆时针为负。当符合Z=P+N是系统稳定。其中Z=0例 3： G+ T。 sVTs + 1)解：奈氏曲线如下图。N=2, P=0, Z=N+P=2尹0,故不稳定。例4：G G）= 一，如图：N=2, P=0, Z=N+P=2 尹 0,故不稳定。 s2（Ts + 1）例 5： 1 + G G)=s4 + 2s3+5s2+6s + 10=0，判断系统是否稳定。 0分析：判断稳定性，用劳斯判据： 相邻系数必须为正，不能缺项如：1 + G
13、G)= 73 + S2 + K = o。显然缺S项，故不稳定。 0 劳斯阵列第一列全为正，则系统稳定。如果有一个负数，则变号2次，即系 统有2个有根，不稳定。 系统如果与虚轴有交点，则劳斯阵有一行全为0 ,此行的上一行为辅助多项 式，由辅助多项式可求出与虚轴的交点坐标。如+ 3 s 2 + 2 S + 6 = 0， 劳斯阵为:S2 ：3 6 0，则由于一行全为零。则系统与虚轴相交。辅助多项式为: s 1 : 0 0 0s0 : 63s2 + 6 = 0 n s 12 = 2 j， 解：劳斯阵：则与虚轴的交点为扬j。s41510s32601 51 102 620s2=2=10222 62 02
14、102 0s1=-4=022s010可见系统不稳定，有两个右根。解：劳斯阵：s41520s32100s20(s)202 10s 2040s1=10 SSs020当S“400且 s0时，10 0，S例6： 1 + G (s)= s 4 + 2s 3 + 5s 2 + 10 s + 20 = 0，故系统不稳定。，因为此处。不能往下计算，换成&。例7: 2002年备考题单位反馈系统，开环传递函数g (s) = 10000、， 0s 2 (s + 100 )要求：画出对数幅频特性，求，判断系统稳定性。 加入矫正装置，使扩大一倍，求矫正后系统传递函数和相位裕量。解：开环传递函数应由所给的零极点形式化成时
15、间常数形式：G (s) =100_-, S 2 (0.01 S + 1 )由作图可得o = 10，由劳斯判据可知，0.001 s 3+ s 2 + 100 = 0，缺项，则系统不稳定。也可由 / G (jo )= -180。- tan -1 0 = 190。，Y = 180。+ / G (jo)=10。，判定系统不稳定。也可由零极点判断画图，不稳定。加入矫正装置是Xs + 1，即G (s)= 1。0o 1 + 1 ? o 10s 2 (0.01 s + 1)/ G (s)= -180。+ tan -1 竺-tan -1 0.01 x 20 = -160。0 oc =20o1(w1可由图中按比例
16、读出)，则k = 180。+/ G ( jo j = 20。 例8： 2001年备考题求：系统阻尼比& =0.5时，k = ? K =。时，求。，t、t ( A = 2%)解： 华=4 + )一. =J，则R (s ) s2 + s + 4(1 + K ) s 2 + 2go .s + o ；o 3L 11 n K =-3I (q =- = h 42寸(4 + 4K2K =0时,军=4 ，则Jo广2， R (s) s2 + s + 4、& = 0.25 .o %=.例9设计型题，较易，主要考概念例嘱求：g (s)，使r(t)= t时e = 0 ；使r(t)= 112 时，e T利用基本概念，不
17、用计算 G (s )= K (t s + 1), T ) c则 K = lim s 2 -as T 0K (ts + 1 )x 10=10 Ks2 (Ts + 1)故：e = 10。a根轨迹法一、定义：k* n (s+七)1 + G (s)= 1 + i= 0。P ij = 1其中K *为根轨迹增益。开环放大倍数K = K 1 ZUpjj=1闭环特征方程的根随参数K *而变化的轨迹，称为根轨迹。幅值条件：G0(s)l = 1其符合两个条件：相角条件：Z G 0 (s )=(2 k + 1 1,(最小相位系统) 或ZG0 (s)= 2k兀，(非最小相位系统 *几条规则：实轴上的根轨迹最小相位系统
18、右边有奇数个零极点时，有根轨迹非最小相位系统右边有偶数个零极点时，有根轨迹根轨迹条数=Max( n,m)，起点为开环极点(k = 0)，终点为开环零点(K t 8)渐进线条数：(n-m)条，与实轴交点坐标: 与实轴夹角:分离点与会合点：使dK = 0，并使K * 0的点 ds复数极点出射角:pl对非最小相位系统=180 +E零点至极点的向量辐角-Z其他极点至该极点的向 量辐角9 p；=Z零点至极点的向量辐角-Z其他极点至该极点的向量辐角复数零点的入射角：9“ = 180 -E其他零点至该零点的向 量辐角+E极点至该零点的向量辐 角 对非最小相位系统9,1，= -E其他零点至该零点的向量辐角+E
19、极点至该零点的向量辐 角与虚轴交点：（a）用劳斯判据确定，用辅助方程求得（b）、=加代入闭环特征方程，由实部=0，虚部=0求得例1：匕）=确解：渐进线（3条）：a(-1)+(- 2)(2k + 1 )n=-1， 9 = 3 - 03由 1 +K = 0，则 K = - s (s + 1 )(s + 2 )，s (s + 1 )(s + 2 )dK * d (3 + 3 s2 + 2 s)(3 2 ?)。得dsdsf s = -0.423 , K * = 0.385s = -1.577 , K* = -0.385 与虚轴的交点：方法一s3 + 3 s2 + 2 s + K = 0， 劳斯阵:s3
20、120s23KKs12 -3s0K要与虚轴有交点，则有一行全零，即2 - K = 0 n K = 63辅助方程：3s2 + 6 = 0 n s 1 = 2 j方法二实部:虚部:加代入特征方程：。少）3 + 3。）2 + 2。）+ K = 0K 一 3 2 = 0n K = 6,w = ：2 ， 2w 3w 3 = 0则与虚部的交点s = 41 j, K = 6才艮轨迹如下图0s2 + 2 s + 3例 2： g (s)= K& + 2)解：渐进线一条。出射角 9= 180。+ tan -12tan272=140 0分离点与会合点：K *dK *(s + 2 )(2 s + 2)-ds(s +
21、2)2)-=0贝寸 s 2 + 4 s + 1 = 0，f s 0,解得 a 9或 a 1-4.5，根轨迹如上图。当a9时，如取a=10,则a1-13 J13 2 160104L244，离散系统分析方法一、采样定理镜像作用，采样频率 2二、开环脉冲传递函数G 0 (z)= Z1 - e -Ts Ks (s + 1)111一 一+s2 s s + 1_ K (0.368 z + 0.264 )(z - 1)(z - 0.368 )特征方程(| Tz z=KN-Z-1)r 、-+(z - 1 )2z - 1Y (z ) G (z ) 闭环、=k=k)01 + G (z )= 0 即 z 2 +(0
22、.368 K - 1.368)z +(0.264 K + 0.368 )= 0。判断稳定性：用双线性变换z = 如果K给定，则直接解特征方程，箜1，将其代入特征方程中，再用劳斯判据。一 1若|z|1则不稳定。G0(z)= zG(s)，对参考输入有:K = lim G (z)，当 r(t)= a - 1(t)时，essK = lim ( 一 z -1 G (z),当 r (t) = b -1时，0ssK = lim ( - z -1 ) G (z),当 r (t) = ct2 时，ess有干扰时，E (z )=O (z), e = lim (z - 1)E (z ) N (z )enssn求 Y
23、 (z )=8(z) R (z), y * (t )= Z-1 y (z )= Z-1 (z )R (z )时，可以用两种方法: a)部分分式法；b)长除方法z变换公式:x (t )= 1(t)X (t ) = e - atx (t )= tX (t )= t 22X (s)= 1sX (s)= s + aX (s)=s2X (s)=s3X (z )=X (z )=X (z )=X (z )=1z - 1zz 一 e -atTz(z-1)2T 2 z (z + 1)z (z - 1 )3如:G (s)= Z01 一 e -穴Ks(s + 2 )(s + 3 )非线性系统分析方法注：1为sinw
24、t; 2为基波和高次谐波经过G （ s ）后剩下的基波。一、分析方法：相平面法只适用于二阶系统（不考）描述函数法可适用于高阶，是频 率法的推广、考/李雅谱诺夫方法二、描述函数法：闭环特征方程：1 + n（X ）. G（s）= 0，则GG）= 1、N（X ）判断G （泗）是否包围，包围则系统不稳定，不包围则稳定。N（X ）如同1 + G0（s）=0,GS）=-1，判断是否包围-1，包围则不稳定，不包围则稳定。负倒特性：A点不稳定，自激振荡B点为稳定自激振荡，因有干扰时系统发散，则系统正好进入稳定区，而系统稳 定时要衰减，则系统又回到B点右边，又再次进入到不稳定区，又要发散，然后 又进入稳定区，如
25、此反复，则系统始终稳定再B点附近。4 b N (X )=1 -兀X 例1 ：如图。其中：，G (s ) =, K = 11, a = 1, b = 3s (0.1 s + 1)(s + 1)判断是否存在稳定的自激振荡？为消除自激振荡如何调整?解：例菌Z G (jw )= -180。以 求出相交频率 w* G (jw )| =N (x)n求出相交幅度解：x = 1 2，当x x时输出M ，则合成为: 0 m0021贝寸1 - = ，变换成: s s + 1 s (s + 1)再画图分析例3： 2002年题5 讨论参数T为系统自激振荡的影响 设T=0.25sec，求输出自激振荡的振幅和频率。解：G
26、 Q) G + 1 * + Ts)x 10- 1_3/0s 3，N (X ) TJX-1/H两者相切时，即频率特性G(jw)的虚部等于-1/N(X), B点稳定，A点不稳定。此时，X x x稳定；0 x x不稳定 ABAB最后例1： 0, T 0, T 0，试画出 s 2 (T1 s + 1)12Nyquist图，并确定系统的稳定性。解：T1T2时，显然(N=b=0SZWP=+o系统不稳定。例 2、2001 年题 1X.nsY(s)N s)J + EU)I II要求：(1)求出闭环系统顺征多嗓&炳s) (3)山).1 + g0(s)= 0，则特征多项式为:解：(1)特征方程为:f (s)=s
27、(s + 5 )( + 1)+ M + a)=s 3 + 6 s 2 + (5 + K )s + K a零极点:G 0(s )(8、K s + -7 Js (s + 5 )(s + 1)8N : 一 ，m = 1:7P : 0,-1,-5, n = 3-6 + -渐近线：a =7 = - 17，% =生，匹 12712 2分离点：K*= .,匹1 = 0,求出：1= s 2 = dsK *1 =K *2 =三条根轨迹汇合，因为此时K值相同。例3： a =9，要求：(1).(2).(3).(4).解： GE(s)1rR (s)1 + G (s)，0g = E (s ) = Ks (s + 9 )
28、(s + 5 )当 r(t)= t和 n(t)= 0.1x1。加， /(s)=采R&)-010.1ML 二 Gre + G (s)1+GDGJ)(s)(3)由1 + G (s)= 0得 s 3 + 6 s 2 +(5 + K )s + 9 K = 0s3由劳斯判据:69 + KK5 -29K5 - K; 2 0n 0 K 0故当K15时系统不稳定，不能计算稳态误差ss当K=5时ess=lim s - E (s )=s T 0K只对参考输入r(t)有效注意：七例4： 开环传递函数g (s)由最小相位环节组成，其折线对数幅频特性曲线如上图所示要求：(1)写出开环传递函数G (s)(2)(3)(4)
29、201* | G, ( |例4图解：(1)开环传递函数g (s)= /，*：s + 、，如图虚线所示。 *s G + 1)(0.01 s + 1)对于 G (s)=，过 w = 100 时，G (s) = 1.则 K = 100，故： sne N (s) s(s + 5 )(s + 1)+ K (s + 9)/ _100(0.2s + 1)G op s (s + 1)0.01，故达不到180度。(3) 如图，P=0, Z=0, N=P+Z=0,系统稳定。 G (s )=op100(0.2s - 1)s (s + 1)(0.01 s + 1)则幅角：+兀一+生,- -,0 一-生,生一兀，如图所示:2222 2显然，N=1, P=0, Z=N+P=1,系统不稳定。
