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1、第六节 二重积分的概念及性质,一、引例二、二重积分的定义三、二重积分的性质,一、引例,解 分三步解决这个问题.,引例1 质量问题.,已知平面薄板D的面密度(即单位面积的质量)是点(x,y)的连续函数,求D的质量.,(1)分割 将D用两组曲线任意分割成n个小块:,其中任意两小块 和 除边界外无公共点.与一元函数的情况类似，我们用符号 既表示第i个小块，也表示第i个小块的面.(i=1,2,n).,故所要求的质量m的近似值为,(2)近似、求和 若记 为 的直径(即 表示 中任意两点间距离的最大值)，将任意一点 处的密度 近似看作为整个小块 的面密度.得,引例2 曲顶柱体的体积.,若有一个柱体，它的底
2、是Oxy平面上的闭区域D，它的侧面是以D的边界曲线为准线，且母线平行于z轴的柱面，它的顶是曲面z=f(x,y)，设f(x,y)0为D上的连续函数.我们称这个柱体为曲顶柱体.现在来求这个曲顶柱体的体积.,其中任意两小块 和 除边界外无公共点.其中 既表示第i个小块，也表示第i个小块的面积.,(2)近似、求和 记 为 的直径(即 表示 中任意两点间距离的最大值)，在 中任取一点,以 为高而底为 的平顶柱体体积为,此为小曲顶柱体体积的近似值，故曲顶柱体的近似值可以取为,(3)取极限 若记，则定义,为所讨论的曲顶柱体的体积.,二、二重积分的定义,定义 设f(x,y)在闭区域D上有定义且有界.,(1)分
3、割 用任意两组曲线分割D成n个小块 其中任意两小块 和 除边界外无公共点，既表示第i小块，也表示第i小块的面积.,(2)近似、求和 对任意点，作和式,(3)取极限 若 为 的直径，记,若极限,存在，且它不依赖于区域D的分法，也不依赖于点 的取法，称此极限为f(x,y)在D上的二重积分.记为,(2),称f(x,y)为被积函数，D为积分区域，x，y为积分变元，为面积微元(或面积元素).,由这个定义可知，质量非均匀分布的薄板D的质量等于其面密度 在D上的二重积分.因此二重积分 的物理意义可以解释为：二重积分的值等于面密度为f(x,y)的平面薄板D的质量.,二重积分 的几何意义：,(1)若在D上f(x
4、,y)0，则 表示以区域D为底，以f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积.,(2)若在D上f(x,y)0，则上述曲顶柱体在Oxy面的下 方，二重积分 的值是负的，其绝对值 为该曲顶柱体的体积.,(3)若f(x,y)在D的某些子区域上为正的，在D的另一些 子区域上为负的，则 表示在这些子区域 上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy平面之上的曲顶 柱体体积减去Oxy平面之下的曲顶柱体的体积).,二重积分的存在定理 若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上的二重积分必存在(即f(x,y)在D上必可积).,三、二重积分的性质,二重积分有与定积分类似的性质.假设下面各性质中所涉及的函数f(x,y
5、)，g(x,y)在区域 D上都是可积的.,性质1 有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即,性质2 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即,性质3 若D可以分为两个区域D1，D2，它们除边界外无公共点，则,性质4 若在积分区域D上有f(x,y)=1，且用S(D)表示区域D的面积，则,性质5 若在D上处处有f(x,y)g(x,y)，则有,推论,性质6(估值定理)若在D上处处有mf(x,y)M，且S(D)为区域D的面积，则,(3),性质7(二重积分中值定理)设f(x,y)在有界闭区域D上连续，则在D上存在一点，使,(4),证 由f(x,y)在D上连续知，f(x,y)在D上能达到其最小值m和最大值M，因而估值式(3)成立.即有,(5)式的等号右边的式子称为函数f(x,y)在D上平均值.因而，积分中值定理又可以这样说：“对有界闭区域D上连续函数f(x,y)，必在D上存在一个点 使 取f(x,y)在D上的平均值”.故积分中值定理也是连续函数的平均值定理.,例 设D是圆环域：，试估计,解 在D上，而D的面积S(D)=4=3.,由估值公式(3)得,
