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1、2023/6/2,1,第二节 二重积分的计算方法,第八章,(Calculation of Double Integral),一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,三、小结与思考练习,2023/6/2,2,解法:类似定积分解决问题的思想:,复习.求曲顶柱体的体积 I,给定曲顶柱体:,底：xoy 面上的闭区域 D,顶:连续曲面,侧面：以 D 的边界为准线,母线平行于 z 轴的柱面求体积.,“大化小,常代变,近似和,求极限”,2023/6/2,3,一、利用直角坐标计算二重积分,曲顶柱体的底为,任取,平面,故曲顶柱体体积为,截面积为,截柱体的,设曲顶柱体的顶为,X型区域,2023/
2、6/2,4,（3)求二次积分（注意不要代错了变元）,2023/6/2,5,同样,若曲顶柱的底为,则其体积可按如下两次积分计算,Y型区域,2023/6/2,6,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.,则有,(2)若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域或Y-型域,则,说明:(1)若积分区域既是X型区域又是Y 型区域,2023/6/2,7,均非负,在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.,由于,当被积函数,补充说明（课本没有）：,2023/6/2,8,其中D 由,所围成.,解:令,(如图所示),显然,例3.计算,2023/6/2,9,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,解:为计算简便,先对 x 后对 y 积分,及直线,则,例4 计算,2023/6/2,10,解：,原式,例5.给定,的次序.,改变积分,2023/6/2,11,例6.设,且,求,提示:,交换积分顺序后,x,y互换,2023/6/2,12,例7 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.,解:设两个直圆柱方程为,利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,2023/6/2,13,内容小结,直角坐标系情形:,若积分区域为,则,若积分区域为,则,2023/6/2,14,课外练习,习题82 第一次作业 2;3(3)(4);4(2)(4)(6)；6；,
