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1、1,10.6 二阶电路微分方程的建立,RLC串联电路,初始值为：,由KVL：,选 iL 作变量：,求一次导数，得：,二阶微分方程,初始条件,令左式 t=0,得：,2,RLC串联电路,初始值为：,由KVL：,选 uC 作变量：,二阶微分方程,初始条件,建立网络方程,3,RLC并联电路,初始值为：,由KCL：,选 uC 作变量：,二阶微分方程,初始条件,建立网络方程,求一次导数，得：,令左式 t=0,得：,4,RLC并联电路,初始值为：,由KCL：,选 iL 作变量：,二阶微分方程,初始条件,建立网络方程,5,两网络及方程的对偶关系,对偶关系,对偶关系,6,网络的固有频率,RLC串联电路：两个微分
2、方程的特征方程都为：,令,特征根：,称为网络的固有频率或自然频率。,RLC并联电路：两个微分方程的特征方程都为：,令,特征根：,称为网络的固有频率或自然频率。,对偶关系,对偶关系,7,10.7 零输入响应 形式之一：过阻尼,特征根：,若,即：,RLC串联电路,RLC并联电路,S1，S2 是不等的负实根。,零输入响应的通解为：,8,零输入响应的四种形式之二：临界阻尼,特征根：,若,即：,RLC串联电路,RLC并联电路,S1=S2=-是重根。,零输入响应的通解为：,9,零输入响应的四种形式之三：欠阻尼,特征根：,若,即：,RLC串联,RLC并联电路,一对共轭复数。,零输入响应的通解为：,令：,其中
3、：为衰减系数，d为振荡频率。,衰减振荡,10,零输入响应的四种形式之四：无阻尼,特征根：,若,即：,RLC串联,RLC并联电路,一对共轭虚数。,零输入响应的通解为：,令：,波形是等幅振荡的,11,例题 1,电路如图所示，它的固有响应的性质是_。,B,（A）过阻尼（B）欠阻尼（C）临界阻尼（D）无阻尼,12,例题 2（自测题10-20）,如图所示电路中的二极管是理想的，其中_电路中的二极管有时能导通，_电路中的二极管不会导通。,只要电路是振荡的，二极管才有可能导通。,A,B,可见，图B为欠阻尼，图A为过阻尼。,S,+-,图B,S,+-,图A,13,例题 3（自测题10-21）,二阶电路的电容电压
4、 uC的微分方程为,特征方程为：,B,此电路属_情况。,（A）过阻尼（B）欠阻尼（C）临界阻尼（D）无阻尼,可见特征根为一对共轭复数。故选B。,14,10.8 二阶电路电路的全响应,已知：,由KVL：,这是二阶非齐次线性常系数微分方程。,通解为：通解特解齐次解，即：,特解为稳态解，,设特征根为：S1，S2 则齐次解为：,故通解为：,15,全响应的四种情况,按特征根的不同，有四种情况：,(1)过阻尼：,(2)临界阻尼：,(3)欠阻尼：,(4)无阻尼：,的曲线如图所示：,16,二阶电路的解法,主要研究RLC串联电路和RLC并联电路；由于这两个基本电路如何选变量、建立电路方程、求解过程都有详细的结论
5、。故其它形式的电路尽量转化成这两个基本电路，应用已有的结论进行分析计算。二阶电路的响应形式由特征根确定，即由R与L、C的关系确定。其后才确定响应的通解形式，用初始值确定积分常数。一般的二阶电路的求解比较麻烦，要列写出电路的微分方程就不容易。故一般不研究。这部分内容用拉普拉斯变换方法求解就简单了。放在信号与系统课程中学习。,17,例 10-15,电路如图所示，由t=0至t=1s期间开关与a接通。在t=1s时，开关接至b。已知uC(0+)=10V以及 t 1时，iL=0，试计算uC(t)，t 0+，并绘波形图。,解：在 0 t 1s，如图为RC放电电路,=RC=1s 故有 uC(t)=10e-t
6、V,t 1s:初始值为 uC(1+)=uC(1-)=10e-1 V,iL(1+)=0,通解：R=0，无阻尼情况。特征根为 s1,2=j1,uC(t)=Kcos(t-1)+,代入初值：,10e-1=Kcos 0=-Ksin,解得：=0 K=10e-1,所以，uC(t)=10e-tcos(t-1)V t 1s,波形如图所示。,18,用MATLAB求解微分方程,例10-16的微分方程为,初始值为,函数 dsolve()uc=dsolve(0.25*D2u+5*0.25*Du+u=24,u(0)=4,Du(0)=16),19,用MATLAB求解微分方程,%R=5uc1=dsolve(0.25*D2uc
7、+5*0.25*Duc+uc=24,uc(0)=4,Duc(0)=16)ic1=0.25*diff(uc1)%R=4uc2=dsolve(0.25*D2uc+4*0.25*Duc+uc=24,uc(0)=4.8,Duc(0)=19.2)ic2=0.25*diff(uc2)%R=1uc3=dsolve(0.25*D2uc+1*0.25*Duc+uc=24,uc(0)=12,Duc(0)=48)ic3=0.25*diff(uc3),20,用MATLAB求解微分方程,%电压波形figure(1)t=linspace(0,9,300);u1=subs(uc1);u2=subs(uc2);u3=subs
8、(uc3);plot(t,u1,t,u2,t,u3,linewidth,2),gridtitle(电容电压的波形),xlabel(Time(sec),ylabel(uc(V)%电流波形figure(2)i1=subs(ic1);i2=subs(ic2);i3=subs(ic3);plot(t,i1,t,i2,t,i3,linewidth,2),gridtitle(电容电流的波形),xlabel(Time(sec),ylabel(ic(A),21,用MATLAB求解微分方程,计算结果,uc1=24-64/3*exp(-t)+4/3*exp(-4*t)ic1=16/3*exp(-t)-4/3*ex
9、p(-4*t)uc2=24-96/5*exp(-2*t)-96/5*exp(-2*t)*tic2=24/5*exp(-2*t)+48/5*exp(-2*t)*tuc3=24-12*exp(-1/2*t)*cos(1/2*15(1/2)*t)+28/5*15(1/2)*exp(-1/2*t)*sin(1/2*15(2)*t)ic3=12*exp(-1/2*t)*cos(1/2*15(1/2)*t)+4/5*15(1/2)*exp(-1/2*t)*sin(1/2*15(1/2)*t),22,用MATLAB绘波形,23,用MATLAB绘波形,24,课堂练习,自测题10-18自测题10-19自测题10-22自测题10-23自测题10-24,
