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1、3.2.4二面角及其度量,直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分都叫做射线.,平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，每一部分都叫做半平面。,思考：平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部分叫什么名称？,从一条直线出发的两个半平面所组成的空间图形称为什么？,在平面几何中“角”是怎样定义的？,答：从平面内一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。,将一条直线沿直线上一点折起，得到的平面图形是一个角,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。,半平面,半平面,一、二面角定义,二面角AB,二面角 l,二面角CAB D,5,AOB,二、二面角的
2、表示方法：,三、二面角的画法,请同学们把自己的课本打开一定的角度，并改变放法,归纳出两种画法：平卧式 和 直立式,四、二面角的度量,请同学们将书本打开、合上，注意观察这一过程中两个面的相对位置,发现：各二面角的“开合程度”，即大小不一样,想一想：该怎样度量二面角的大小呢？还用量角器吗？,从二面角的棱上任一点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。,小结：1.二面角就是用它的平面角来度量的。一个二面角的平面角多大，我们就说这个二面角是多少度的二面角。,2.二面角的平面角与点（或垂直平面）的位置无任何关系，只与二面角的张角大小有关。,二面角的平面角必须满足：,以
3、二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。,10,规定：二面角的范围是,平面角是直角的二面角叫做直二面角,互相垂直的平面就是相交成直二面角的两个平面,五、二面角的范围：,作二面角的平面角的常用方法,、点P在棱上,、点P在一个半平面上,、点P在二面角内,A,B,A,B,A,B,O,定义法,三垂线定理法,垂面法,几何法,1、如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任一点，则二面角P-BC-A的平面角为:,练 习,60,二面角,ACP,A,B,C,A/,M,例1、已知：如图ABC的顶点A在平面M上的射影为点A/，ABC的面积是S
4、，A/BC的面积是S/，设二面角A-BC-A/为,求证：S/=S COS,射影面积法,是不找平面角求二面角的一种方法!,回忆：,1.异面直线所成角：,2.直线与平面所成角：,D,C,B,A,六、向量法求二面角：,1.方向向量法（依据定义）,注意：向量AB,CD的方向：起点都在棱上，也可共起点,二面角的范围：,2.法向量法,注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角,例3：已知在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，CD=,cm，求二面角的度数,几何法,z,C,S,A,B,D,x,y,一题多解：,1）公式法；,2）几何法；,3）向量法；,例5已知E,F分别是正方体ABCDA1B1 C1D1的棱BC和CD的中点，求：（1）A1D与EF所成角的大小；（2）A1F与平面B1EB所成角的大小；（3）二面角CD1B1B的大小。,60,
