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1、1.二项式定理：,2.通项规律：,3.二项式系数：,第(r+1)项,此法我们称为：赋值法,4.特殊地：,注:项的系数与二项式系数是两个不同的概念,令以x=1得,课前复习：,把（a+b)n展开式的二项式系数取出来，当n依次取1，2，3，时，可列成下表：,(a+b)1,1 1,(a+b)2,1 2 1,(a+b)3,1 3 3 1,(a+b)4,1 4 6 4 1,(a+b)5,1 5 10 10 5 1,(a+b)6,1 6 15 20 15 6 1,上面的表叫做二项式系数表(杨辉三角),1,在我国,很早就有人研究过二项式系数表,南宋数学家杨辉在其所著的详解九章算法中就有出现.,(a+b)1 1
2、 1(a+b)21 2 1(a+b)31 3 3 1(a+b)41 4 6 4 1(a+b)51 5 10 10 5 1(a+b)61 6 15 20 15 6 1,观察二项式系数表，寻求其规律：,不难发现,表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.事实上，设表中任一不为1的数为Cn+1r，那么它肩上的两个数分别为Cnr-1及Cnr，知道Cn+1r=Cnr-1+Cnr 这就是组合数的性质2.,除了这个性质外,该表还蕴藏有什么性质呢?,(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,(a+b)n展开式的二项式系数依次是:,(3)增减性与最大值.,增减性的实质是比较
3、 的大小.,(2)递推性:除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.,从第一项起至中间项,二项式系数逐渐增大,随后又逐渐减小.,(4)各二项式系数的和.,(5)一连串系数的和.,可运用函数的观点，结合“杨辉三角”和函数图象，研究二项式系数的性质,(a+b)n展开式的二项式系数是 可看成是以r为自变量的函数f(r),其定义域是0,1,2,n,当n=6时，其图象是右图中的7个孤立点.,继续思考1:试证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.,即证：,证明：在展开式 中 令a=1，b=1得,启示：在二项式定理中，对a,b赋予一些特定的值，是解决二项式有关问题的一
4、种重要方法赋值法。,思考2:求证：,思考2:求证：,证明：,倒序相加法,1.当n10时常用杨辉三角处理二项式系数问题;2.利用杨辉三角和函数图象可得二项式系数的对称性、增减性和最大值;3.常用赋值法解决二项式系数问题.,类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于释锁算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.,
