医院病床安排规划模型.docx

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1、医院病床管理的规划模型摘要本文通过对各类病人的情况分析，将病人分为两类：急诊的眼外伤，和非急 诊的其他眼病，并分别作了独立地讨论。又分析了医院进行各类眼科手术的流程， 做出了合理安排各类眼科手术时间的方案。在上述基础上，运用动态线性规划理 论，圆满解决了该住院部等待住院病人队列越来越长的问题。首先，我们采用M/M/S排队模型来研究“预留不同数目的眼外伤病床”和 “出现延误的概率”的关系。我们利用统计数据拟合得到外伤占床时间的负指数 曲线，而后得到“当预留8和9张床时，出现延误的概率分别约为3%和1%” 均为小概率事件，故为眼外伤病人预留8张专床即可。在排除了眼外伤因素后，以总等待时间最短，同一

2、时期内治疗更多的病人为 优化目标，通过建立7个多目标线性规划模型，动态的安排了病床的方案，在 28天内，可以在保证治愈新增患者同时70名原积累患者。而且也能较好的预测 未来几天的安排（当系统的安排接近于优化的平横状态时）。当手术时间改变时，逐一列举出各种情况下总等待和总占床时间的权均值， 并利用其找到了最优手术安排方案一一将白内障手术安排在周二、周四。最后，我们枚举出几种较优手术安排时间方案的组合，利用整数规划得到了 使得各类病人在系统内逗留时间最短的病床分配，即白内障、白内障双眼、视网 膜疾病、青光眼四类病人占用病床数分别为20:15:27:9。经检验，6周内规划后 比规划前多治疗123人。

3、本文特色在于全面合理的分析，以及有重点的把握了各个影响因素，建立了 合理的模型。并在模型得出结论上，做了些主观调整，使结果的实用性更强，更 加人性化。关键词：眼科疾病；病床安排；评价指标体系；多目标;动态规划；先行规划；M/M/C多窗口服务模型;问题重述时间就是生命。这一准则在医院中体现的最为深刻。在医疗事件中每一分每 一秒的流失都有可能意味着患者生命的消逝。然而，一些必要的事件却始终以各 种各样的形式消耗着我们宝贵的时间，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、 到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。这 些事都是重要且必要的，我们无法对其进行删减，但却可以通过适当的

4、统筹规划 提高其运作效率。目前大多医院对全部非急症病人是按照FCFS(Frst come,First serve)规则安排住院，其核心在于公平公正，但等待住院病人队列却越来越长， 资源得不到充分且有效的利用。因此本文要通过合理的数学建模来帮助解决其住 院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。问题分析该医院眼科手术主要分为四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。该 医院虽眼科手术条件比较充分，但要考虑手术医生的安排问题，以致白内障手术 与其它眼科手术(外伤除外)一般不安排在同一天做。又由于各类病人手术前准备 时间不尽相同，而且由附表知各类病人手术后观察时间也不相同，如果按照先来 先

5、做的规则，会使医院的手术条件资源得不到充分利用。因此要合理安排各类病 人的住院时间及手术时间，才能使病人及时得到治疗，并且使等待住院的病人队 列越来越短。该住院部共有79张病床，医院按照FCFS(First come，First serve)规则 安排住院导致等待住院的病人队列越来越长。所以提出要改变安排住院规则。由 于各类病人手术前准备时间和手术后观察时间不同，病床的安排也会影响等待住 院的病人队列的长短。因此要根据不同病人情况来安排病床。例如，外伤疾病属 于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。白内障手术一 般安排周一、周三做，白内障病人有单眼和双眼之分，双眼的要周一先做

6、一只， 周三做另一只。这些情况都限制着做各类手术的时间及病床的安排问题。而由上 述分析知这两个问题的解决，是解决该住院部等待住院病人队列越来越长问题的 关键。因此，我们在建立模型时要时时考虑到以上各种因素，来解决做各类手术 的时间及病床的安排问题。模型假设1.2.3.假设青光眼、视网膜脱落没有急症；假设手术条件充分，无手术条件限制；假设外伤病人在医院治疗时间符合负指数分布;4. 假设各类眼病的手术准备时间及手术后观察时间是一定的；5. 假设无突发事件发生。6. 假设新来门诊的各类病人按一定规律增长。7. 由于题意及术后并发症危机的考虑，双眼白内障病人的两眼手术至少要间隔 一天。符号说明1. ：

7、平均治愈率，表示单位时间内病人治愈离开医院的平均值2. 九：患者到达率3. x：白内障病人占用病床数4. y：白内障双眼病人占用病床数5. z：视网膜疾病病人占用病床数6. w：青光眼病人占用病床数7. M：六周内接受过手术病人8. a，b，c，d第i周第j天，各类新入门诊人数分别为a，b，c，d，9. Aj B，jC，j设规划当日待入院的各类病患总人数分别为：ij ij ij ij10. x，y，z，w白内障、白内障（双眼）、青光眼、视网膜疾病所对应的第 周第命天，安排入院人数11. m周n天时等待入院的病患总人数为：G12. 病患者等待的总时间为Tmn13. 其中p,q表示模型将要规划到第

8、p周，第q天14. E.表示第i周第j天转出的规划前入院的人数15. 某白内障病人现排在第该类病人第N位16. 则该病人最可能在第m天入院17. 其中“（i）”代表其在床位上等待手术的实际时间与最短时间的差值。在18.计算“j+（i）”时，定义新运算：19. ”表示选取a，b中的较小值模型建立与求解问题一：该模型的优劣，我们主要可以从医院及病人两方面进行评价。对于医院来讲，是否充分利用现有医疗器械资源无疑最重要的评价指标。所 以，对于医院方面来讲，他们需要病床尽量利用达到最大化，也就是说，要尽量 减少空床的产生。除此之外，无论从获取更多利润考虑还是从救死扶伤是医生天 职的到的范畴考虑，医院必定

9、要趋向于治疗更多的病人。所以救助病人最大化也是评价病床安排模型的重要因素。如果模型安排的住院人数小于每天挂号的人数，这将会使病号产生堆积和累 加。根据题意，白内障患者术前准备时间需1、2天，其他眼科疾病大致住院以 后2-3天内就可以接受手术。我们进一步假设白内障患者入院后1天即可接受手 术；其他眼科疾病入院后2天即可接受手术另一方面，病人从自身考虑自然希望能获得更好的服务质量以及更快的消除 病痛。所以他们不希望自己等待过长的时间。所以一个好的病床安排模型也应该 尽量的减少病人的等待时间。另外，模型的现实性也是十分重要的。我们不能片面的追求某一方面的最大 化而使结论脱离了生活实际。问题二：模型一

10、：多服务台模型M/M/S对于眼外伤患者的预留床位模型（多服务台模型M/M/S）。对于眼外伤病人床位，预留过少会导致床位不足，使来诊患者得不到及时救 治。而预留过多则造成了资源的浪费，并且使其他病人得不到及时的治疗。为了 解决这一矛盾，我们采用多服务台稳态模型M/M/S来进行建模。眼外伤占床时间分布眼外伤占床时间分布指数（眼外伤占床时 间分布）对于眼外伤占床时间分布，根据数据，其分布曲线大致符合负指数分布。对其趋势进行拟合，我们得到眼外伤占床时间分布符合曲线：二 peR (p =0.2558582)我们称H为平均治愈率，他表示单位时间内病人治愈离开医院的平均值。由于眼外伤占床时间符合负指数分布，

11、所以我们可以使用多服务台模型来进 行建模。令：其中:力为患者到达率，在本模型中P人=挂号 P 总由多服务台模型公式:p =1nn!pnS!Sn s p ,n = S,s +1,.式中:sz1、+/ S ) 1 m 0 * s妃pSn为同时在住院的外科病人数，S为预留床数。由此可计算出预留不同数目的眼 外壳病床时，床位不够时的概率。下表为n=8及n=9时的两种情况统计表格。可 以看出，当S=8时即可满足绝大多数情况，而当n=9时，床位不够的概率小于 2%，约为1%，几乎可以保证不会被占满。S=8时，占满n个床位的百分比概率统计表（一）sP0Nn=S01234567850.01191.194.82

12、9.7813.2213.4010.8746.7160.01561.566.3512.8717.4017.6414.319.6820.1870.01681.686.8113.8218.6818.9415.3710.398.2980.01721.726.9614.1119.0819.3515.7010.616.153.123.21S=9时，占满n个床位的百分比概率统计表（二）sP0N0123456789n=S60.01191.566.3512.8717.4017.6414.319.6820.1870.01561.686.8113.8218.6818.9415.3710.396.028.2980.0

13、1681.726.9614.1119.0819.3515.7010.616.153.123.2190.01721.737.0114.2119.2119.4815.8010.686.193.141.411.16模型二：动态病床位安排模型建模分析由于模型一中眼外伤病患已有专用床位，所以在下文的所有模型中均不再考 虑其影响，我们将其他非急诊模型在71个床位中进行单独的多目标线性规划。联系第一问提到的评价指标，本模型的优化目标主要有：门诊挂号后等待入院总时间尽量短。同一时期内尽可能的治疗更多的病人。尽量不使任何种类的病人出现积累。对于入院总时间的考虑，如果病人入院后不能及时手术，提前住院不仅不会 提前

14、其出院时间，还将会造成医院病床资源的浪费，因此我们进行假设：医院将在病人入院后尽快对病人进行手术治疗，否则即使接受其入院也将其 归入等待人数之列。建模过程设规划当日待入院的各类病患总人数分别为：A，B，C，D。规划后第i周第 j天，新入门诊人数分别为气.，b，c.，d，同时设白内障、白内障（双眼）、 轻光眼、视网膜疾病所对应的第i周第j天，安排入院人数x，y，z，w。 那么，第m周n天时等待入院的病患总人数为：ij ij ij ij而实际上我们认为地等待入院的病患总人数为:类似地，病患者等待的总时间为:于是，(11)（其中p,q表示模型将要规划到第p周，第q天）再次模型中，我们取p=4, q=

15、7，即四周作为一个规划周期。将式同时代入(11)化简得：(12)由T形式可知，T每日病床安排人数的线性函数，因此，根据前面所提出的 各评价指标，我们先将每种病人入院人数x，y，z，w，约束变量，从患者 的角度进行总等待时间最短的优化。1J 1J 1J 1J线性规划模型MIN：19 * w13 (13)S.T.电 + Ytj + Ztj + 寸汀 + Lj = Ejj +x 4-y + z + 1而_口 Q = 1,2,3,4； j = 1,2,., 7)(14)Y 气 V 12 (i= 1,2,34)j-i(15)18 yij 15 (i= L2,3,4)j-i9 三可 7 (i = 123,

16、4) j-i (17)18 A16 (i = 1,234)j-1 (18)hj 3i = l*4；j =1】，7) (19)其中（14）式表示（第i周第j天入院的人数）+ （第i周第j天入院的空床数）=（第i周第j天转出的规划前入院的人数）+ （第i周第j天转出的规划后入 院的人数）（15）（16）（17）（18）式表示对每周各类病入院人数的最低限制（或最高限）以保证不使 任何种类的病人出现积累。9式表示每天空病床控制在小于等于3 （或根据不同情况取其他值）以保证 病床具有最大利用率，让医院能够在同一时期内尽可能的治疗更多的病人。其中Eij表示第i周第j天转出的规划前入院的人数，根据假设，为了

17、简化 模型，我们忽略了不同身体体质及其他个性化影响造成的恢复速度的差异，均取 其期望值作为其观察天数。例如，在模型评价中求解所用的数据如下所示：E1=5;E2=1;E3=5;E4=8;E5=7;E6=12;E7=6;E8=3;E9=7;E10=6;E11=0;E12=5;E13=2;E14=4;E15=2;E1= 0;E17=0;E18=0;E19=0;E20=0;E21=0;E22=0;E23=0;E24=0;E25=0;E26=0;E27=0;E28=0;（我们利用表中数据对每日出院人数进行筛选，得到了一组每日出院总人数数 据。）模型求解编程，在lingo9.0中进行线性规划。由于手术日期

18、安排在周一、周三的不对称性，我们根据规划当天的日期不同， 按照周日，周一，周二周日建立7个类似的病床安排规划程序。（由于篇幅 有限，仅在附录中附上适合周日的程序）在相应的日期，输入空床数、拟出院人数，并用对应的模型进行规划，得出 满足条件的最优解。动态优化流程图如下：图二根据初始条件，可以得到拟出院人数，可以计算第i周第j天出院人数期望， 利用当日对应的程序进行优化，优化结果反馈在新信息中，被计入为下一阶段的 初始条件。在长期的动态优化流程中，初始条件与优化结果应始终处于一个自洽 状态。模型评价以08年9月12日的病患安排为例。08年9月12日为周五，所以使用周五 规划模型，派出的入院人员安排

19、如下表：在此，我们模拟规划了 8月11日到9月7日28天的患病人数（详细数据见 附录），下面对其进行分析。当可用空床数取70，71，72，73时（即分配给急诊病人的床数为9时）如下表非急诊病人病床数为70时白内障白内障（双）青光眼视网膜 疾病总人数新增病例26361870优化后44693470总等待时间/天 （优化前）2962总等待时间/天 （优化后）3105表3非急诊病人病床数71时白内障白内障（双）青光眼视网膜 疾病总人数新增病例26361870优化后45693470总等待时间/天 （优化前）2962总等待时间/天 （优化后）3053非急诊病人病床数为72时白内障白内障（双）青光眼视网膜

20、疾病总人数新增病例26361870优化后46693470总等待时间/天（优化 前）2962总等待时间/天（优化 后）3006非急诊病人病床数为73时白内障白内障（双）青光眼视网膜 疾病总人数优化前26361870优化后47693470总等待时间/天（优化 前）2962总等待时间/天（优化 后）2959可以看出，在现有条件下，虽然总等待时间上新模型并没有什么优势（主要 因为规划时追求较高的病床持续占用率），甚至还有落后，但是幅度很小，仅有 约3%。然而它却可以保证医院安排病人人数上大大超越每日新增病患数。其中 白内障、青光眼的安排人数有近一倍的超越。在现阶段积压病患已经累积到很高 的程度的情况下

21、，这种牺牲少量等待时间，而换取大量病人安排数量的优化方式 是可取的。当积累下的病人得到妥善处理后，我们也可以将减少总等待时间作为 最高优化目标，这样就可以兼顾病人以及医院的利益了。我们又通过我们的模型建立了总等待时间曲线随病床数变化的曲线，由图可 知，在7080张床这个区间内，总带等待时间下降最快，而8085张床之间，总 等待时间下降的趋势就相当的有限了。在床数超过90的情况下我们甚至无法得 到最优解。这说明，此时会有超过3张以上的床是空余的。所以，我们建议，若 想在此基础上，减少病人等待的时间，最有有效的方法就是增加19张病床。而一旦多余9张，我们认为其中存在着资源的闲置，属于浪费，我们并不

22、推荐。总等待时间随床数变化曲线总等待时间随 床数变化曲线图三问题三：实际上预测未来某病人入住时间，也就是预测医院病床安排情况的问题，在 第二问中我们已经能够利用动态线性规划模型解决病床安排问题。在此基础上， 只需预测未来各类病人的入院人数：Xj X,j 咨女，VaVzi V ?之1，z 之3， ，k.然后计算mmmmXm = 今斗= vp,Zm=f,Wm = % p=lp=lp=lp=l假设某白内障病人现排在第该类病人第N位，寻找满足：%三N 跖_1则该病人最可能在第m天入院。由于是出院日期和预测出院日期有一定差异，所以不排除其提前一天或延后 一天入院。问题四：若手术时间的需要重新安排，则有如

23、下几种安排方法：1. 周一、周三做白内障手术，周六、周日不做手术，其余时间做其他手术。2. 周二、周四做白内障手术，周六、周日不做手术，其余时间做其他手术。3. 周三、周五做白内障手术，周六、周日不做手术，其余时间做其他手术。4. 周一、周四做白内障手术，周六、周日不做手术，其余时间做其他手术。5. 周二、周五做白内障手术，周六、周日不做手术，其余时间做其他手术。6. 周一、周五做白内障手术，周六、周日不做手术，其余时间做其他手术。对于这六种方法的优劣我们将一一作出定量比较分析。首先引入几个概念：1. 理想等待时间：在医院个类手术不存在冲突的情况下，患者从挂号到入 院的时间。其占用的病床时间为

24、理想占用病床时间。2. 等待时间增值：在手术时间的某种限定情况下，某人从挂号到入院的时 间与理想等待时间的差值，即为等待时间增值。3. 占用病床时间增值：在手术时间的某种限定情况下，某人从入院到手术 的时间与理想等待时间的差值，占用病床时间增值。对于病患，其在住院期间所占床位的时间与总等待时间的增长是成正比例变 化的如图：利用模型二中动态规划模型，分别以总等待时间和可用床为主指标进行优 化，得到总等待时间和可用床数之间向制衡的关系曲线总等待时间随可用床数变化的曲线T-总时间曲线随可用床数 变化的曲线图四对此所的数据组进行线性拟合，可得其斜率k=-45.75，也就是说，这28天 中，总等待时间增

25、长了 45.75。平均到每天，则其在我们所安排的28天中，每天每个床位对总等待时间贡 献为：A= - = 1.6339328(14)我们将等待时间分为占床时间W和医院外等待时间W。它表示的是该病人从挂号起到出院为止，所消耗时间的等效状态。针对每一种手术时间安排（如周二、周四），每一类患者（青光眼和视网膜 在此视为一类）在任何一天挂号所得到的等待时间增值和占床时间增值即入下表 中。周一/三周二/四周三/五周一 /四周二/五周一/五白内障111111969白内障（双）|6+5+101+(3)0+(3)同左同左忏叱+H3 |6+(2) j5+(2) 14+Q同左同左青光眼和视网膜疾病7576710表

26、4其中“（i）”代表其在床位上等待手术的实际时间与最短时间的差值。在计 算j+ （i）”时，定义新运算：j+（i）=j + 3,33注 i“:”表示选取a, b中的较小值，用表中所给的数值根据定义的新运算得到值后与其相应的就诊人数的期望相乘，填在原位置，去掉明显较差的列，得到 如下统计表：等效时间增值表期望周二，周四周一，周四周二，周五白内障1.63934426218.032814.75419.836065574白内障（双）2.18032786945.786951.6854551.68545082青光眼和视网膜疾病3.75409836118.770522.5245926.27868852等效时

27、间增值82.590288.9641487.80020492表5表中的等效增值时间表示每个病人自挂号起对总等待时间增加所做出的贡献大小。制约大，其贡献度越大，值越小，其贡献度越小。在此，我们选取最小 的一项。也就是，选择周二、周四做为白内障手术的日期问题五:线性规划模型对于问题五，由于要考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。通过统计，我们首先得到了表6又根据该时间，我们分别按各类病最快做手术方案进行住院安排，此时不考手术前准备时间（天）手术后观察时间（天）住院时间（天）白内障134白内障双眼135视网膜疾病21012青光眼2810虑白内障手术与

28、其他眼科手术不能在同一天做的冲突。结果得出了各类病手术时 间安排的周期，白内障、白内障双眼、视网膜疾病、青光眼的手术安排时间周期 分别为五周、一周、十三周、三周。通过对上述冲突的调整，并考虑到使一个周 期内做手术的人数最多而且是所有人的逗留时间最短，最终我们得到了一个以六在此基础上，我们根据线性规划即得到最优病床安排方案。具体过程如下：设白内障、白内障双眼、视网膜疾病、青光眼四类病人占用病床数为尤，二乙w，M为六周内接受过手术病人人数。由 max M = 6 尤 +12 y + 3 z + 4 wx + y + z + w = 716 x60% 一10w 63x = 20, y = 15, z

29、 = 27, w = 9即白内障、白内障双眼、视网膜疾病、青光眼四类病人占用病床数分别为 20张、15张、27张、9张，又由模型一知外伤病人占用病床十张。在便于管理 的条件下，按上述比例分配病床，可使所有病人在系统内的平均逗留时间最短。 模型的检验 对模型三：为了研究模型二的合理性，我们用模型二方案模拟了住院安排情况，并与医 院的FCFS规则安排住院了比较。由已给的数据可知，按医院的FCFS规则安排住 院从7月30日到9月11日，共有294人出院。而按模型二方案安排住院，六周内共有M = 6乂 20 +12乂15 + 3x 27 + 4x9 = 417人出院。显然，模型二的住院安排 方案更合理

30、，更能充分利用医院的医疗资源。模型的评价模型一中通过拟合使眼外伤病人占床时间分布曲线大致符合负指数分布，并 得到了其符合的曲线方程，定量的计算出预留不同数目的眼外伤病床时，床位不 够的概率。为尽量使眼外伤病人得到及时治疗，我们选择预留9张眼外伤病床。 此时，床位不够的概率约为1%，可满足眼外伤病人的需求。客观事实再加主观 判断，使得方案更加合理，更具人性化。但以固定病床数安排眼外伤病人，不够 灵活。不能完全解决有的时间床位有空余，有的时间床位不够的问题。模型二通过多目标动态规划，解决了未来病人的床位安排问题，并通过7 个动态规划模型使其具有可预判新挂的号病患的能力，但是预测能力基于对模型 的大

31、量简化，如忽略个人因素在术后恢复阶段的影响。模型三比较简洁，深入分析了各类手术的情况，并给出了最优手术安排时间 周期的方案，使得医院的医疗资源得到充分利用。通过线性规划，得出了合理病 床分配方案。经检验，比医院的FCFS规则有明显的优势。由于到医院就诊的各 类病人数不确定，有可能还会使某类病人等待较长时间。参考文献：1 薛毅，运筹学与实验，北京：电子工业出版社，2008。2 LINGO和Excel在数学建模中的应用，袁新生新生，课本，科学出版 社3 姜启源，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社出版社，2008。使用新模型后对各类病人的收治情况（71张床）白内障收治人数白内障收治 人数（双眼

32、）青光眼收治人数视网膜疾病收治人数空床位 数2008/8/11000132008/8/12400002008/8/13005002008/8/14002332008/8/150001002008/8/16560232008/8/17090002008/8/18000032008/8/19900102008/8/20004202008/8/21005002008/8/22000602008/8/233180502008/8/24000432008/8/257100032008/8/26500002008/8/27000502008/8/28000002008/8/290891312008/8/3

33、0000032008/8/31000032008/9/1730032008/9/2080002008/9/30011802008/9/4000002008/9/5258002008/9/6020032008/9/730000总人数45693470总等待时间/天3053使用新模型后对各类病人的收治情况（72张床）白内障收治人 数白内障收治人数（双眼）青光眼收治人数视网膜疾病收治人数空床位数2008/8/11000232008/8/12400002008/8/13005002008/8/14002332008/8/150001002008/8/161150002008/8/17500102008/

34、8/18000032008/8/19730002008/8/20006002008/8/21003302008/8/22000702008/8/235150132008/8/24000732008/8/256110032008/8/26500002008/8/27000902008/8/28000002008/8/29059932008/8/30120002008/8/31000032008/9/10160002008/9/2300002008/9/30021802008/9/4000002008/9/5007032008/9/6900032008/9/702001总人数46693470总等待

35、时间/天3006MODEL:DATA:N=71;ENDDATAmin=1175-27*(x1+x2)-22*(x3+x4+x5+x6+x7)-20*(x8+x9)-15*(x10+x11+x12+x13+x14)-13*(x15+x16)-8*(x17+x18+x19+x20+x21)-6*(x22+x23)-(x24+x25+x26+ x27+x28)+567-27*(y1+y2)-22*(y3+y4+y5+y6+y7)-20*(y8+y9)-15*(y10+y11+y1 2+y13+y14)-13*(y15+y16)-8*(y17+y18+y19+y20+y21)-6*(y22+y23)-

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