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1、连续与间断的概念及连续函数的运算,一、函数连续的概念,二、函数间断点的概念,三、连续函数的运算,1.增量的定义,增量可正可负.,一、函数连续的概念,从几何上观察:,2.连续(continuous)的定义,定义1,连续的定义还可以有其他表示形式:,定义2,例1,证,由定义2知,3.单侧连续,(1)左连续:,(2)右连续:,4.连续函数(continuous function)与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例2 有关有理函数的讨论.,故有理分式函数在其定义域内每一点连续.,例3,证,例4,解,
2、右连续但不左连续,例5,解,二、函数间断点的概念,间断点(point of discontinuity)的几种常见类型,1.无穷间断点,例6,例7,2.振荡间断点,3.可去间断点,例8,说明 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.,例9,若补充定义:,例10,4.跳跃间断点,间断点的分类,第一类间断点中,左、右极限相等者称为可去间断点,不相等者称为跳跃间断点.,不是第一类间断点的任何间断点,称为第二类间断点.,无穷间断点和振荡间断点属于第二类间断点.,例11,解,(1)狄利克雷函数,在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.,仅在x=0处连续,其余各点处处间断.,几个特殊函数的连续性,在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.,判断下列间断点类型:,三、连续函数的运算,定理1,例如,1.连续函数的四则运算,定理2,例如,2.反函数与复合函数的连续性,总之,反三角函数在其定义域内皆连续.,定理3,关于定理3的说明:,例12,解,例13,解,例14,解,同理可得,定理4,证,定理得证.,例15,解,根据定理4,(1)三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.,3.初等函数的连续性,基本初等函数在它们的定义域内是连续的.,(均在其定义域内连续),一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,例16,例17,解,解,
