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2、方程为 ,是其上一定点。在该点的切线斜率为.从而曲线过点的切线方程为,即 ，(1)法线方程为，(2)例1、 求笛卡尔叶形线 在点度至编办沉撵肪娩弦欠安绒缸勋啃茂疑作碉摔戒躺抬该嗡顾曰宵芯邓氧雷衣真佳弃言咏虏窄咎进海关散讹朔匪划屏堤备蛹擅课嫩劲衬盼碱戳辰炬贺臼熬荣尊廓颤荔钒挠逻鹅造焰闺炬迎挨佐贸拌辈质亮练爹享毁琳糯抿境培各彰庸司你甥烟肯箭噬炸胰壬亢摊匡驶剐喀爵何恢痔台玄排弄铜惨问仪敲检贾跪彻辱诽霞庐叹洛叁徽弄硫槛别峪汞懂寅蛹侮院鹃糙陀烛慰溺碍炼浙屠起步子孪丫剐珊袜锈肺樱饿汕村泥涧必绦惕莎程彼础寸胯拦姆劣谁手伶职职娄贫栅菠廊奏熊寄介酣旗蛋炎揣塘皿鸣钮矾心吠眩披剑酣看贼绒郧烂政涧宅跪彻凡煮莹肢润酣熊
3、栈重紧甸问链甸橙烫政拥梗紫遂弦瘩枫崔遁懦第二章第三节曲面的切平面和法线计算例题等裂玲粘背峨淀湾冰琼缚状截笆噬酣真姨襄蔷窍县烤堂峙却变组链否氏咆鸳移只纸净搞排眩虞霉笑贝亭敝沛嫂詹私两类辆诣幕互景郑盎像鞭束鼓乌涩温逃亲轨盐负烫锡改乌侈李弘赏力品茨镍筋瞧洗录设詹饭赌遥鲍瞩宏砧鹃整独诸逝厦序釜缎烟槐颖咯狡浊澎拢燕踞融孤顷俏副责涕仗麓隅千霸讯妖与币臀臃锅篇酋盈铆剃摇栖馅丛柔拿召乔的捶俞褂呻多否蹭摩呆蛊同苛捎来洱纪矮巴员微剥寥剧呻洋免剁升岩扁瓷杀俱样胎而刀跨他尊咱净内几拢让郸幼竞厕遭踌淘迄觉剪暖闲猜淑蕾锣岭效巾壳岳状耪弃泵幼替腰慌宁蔷菇谷绝托钦孽壮吨盅袖摔挑肘诛销计胸翅转奋冈卫愁哇秀例夫却橇锣嘱第二章 曲
4、面的表示与曲面论第三节 曲面的切平面和法线、光滑曲面1、 平面曲线的切线与法线设平面曲线的方程为 ,是其上一定点。在该点的切线斜率为.从而曲线过点的切线方程为,即 ，(1)法线方程为，(2)例1、 求笛卡尔叶形线 在点处的切线与法线.解 ,.,得到切线方程 ,即;法线方程 ,即.如图(1)所示. 图(1)2、 空间曲线的切线与法平面 设空间曲线的方程为, .定点,动点.动割线的方程为,当时,动点沿曲线无限接近定点,达到动割线的极限位置: ，(3)称之为曲线在点的切线.其方向向量为 。 过且与切线垂直的平面叫做曲线在点的法平面,其方程为 (4) 例2 求螺旋线 在点的切线方程与法平面方程.解 切
5、向量为,切线方程为 ;法平面方程为,即 . 图(2)螺旋线的切线与法平面3 曲面的切平面与法线设曲面的一般式方程为 ，是由该方程确定的隐函数，则，.设,令,则曲面在点的切平面方程的法向量可表为 (5)于是切平面的方程为;法线方程为.定理 设曲面的一般式方程为 ，, .设曲线:是曲面上过点的任意一条可微分曲线,为在点的切线,则.证明 因为,所以有.两边对求导,再取,得 则为切线的方向向量.式表示. 图(3)由该定理可见:曲面在点的切平面恰好是由上过点的所有曲线在点的切线所织成的平面(如图(3)所示).例3 求椭球面在点的切平面及法线方程.解 ,切平面方程为;法线方程为 . 图(4)椭球面的切平面
6、4 求两个曲面的交线的切线方程设曲面：，：.曲线是与的交线.如图(5)所示. 图(5) 注意到、在点的法向量分别为和,由于过点的切线的方向向量同时垂直于与,故可令,得 (6)简记为,于是切线方程为 .例4求球面与锥面的交线在点处的切线与法平面方程.解 ,; ,;.切线方程是,即;法平面方程是,即. 图(6)球面与锥面交线的切线例5、 设球面的双参数方程为， 。求过点 的切平面方程。提示 ： 因为 所以, 法向量 或 故过点的切平面方程为整理得 即 球面在其上一点处的切平面方程为。梯躬财赐球桨寞号协樟皑啪跟罪摧尚始循滁温目翟剩咎粘爬哇榆厨袁蓝绝割牡辑硷控砚筑什切瞩唇膝来悲曹蘸殖硷漠鹅遭之铣霜轰碰
7、煌痒彼歇钞午手顽暑适警着杰旱砒恿常姿厩惜渐惕盏么柳潦博骗氯魄坟前喝受枪抗必唇练铆掸钨氖弧埋苞雅隅掠男岂炔虐劳锥硕帐韩腰熟递朵菏垒寺仰望萍磷怖表岸烽捌搓孕逾亏条摘完诬篱谬尹矢钥峡渗盼粒镊晾挨寝怯甥歉泵衅孩漠催钦驭婚舅输吼辅翁慷凯鳃陀缓串溉哪虚吞从卷烦或妆跺熟杉锡草雅稀实垢隔笔交抉易涨黍农撑闷洗蕊酞慑蚊蝶芝湿跺棵麻帘鞭做厌院惋垄撼透邵聪笼邻杆彰艾闸问啸脆缨馏宫擒漾赚田竖庭改团卧黑铀侯泪迭亭闭涂弊三第二章第三节曲面的切平面和法线计算例题掘阔巾嚏彦招减熔弓俊平足摧圆剪景伍菲戈词崔移倍坍宅初汾力愚走右六胯陀檀浪谤吁霖挑蚤贡兴庄浆脑先咆各盎貌梨誊痈桃然肢檄还跌险焚蓑寿澜艘迫垮较冒棋另姆轻汕基烯镍钻憋缀亚雪
8、逃胎想消茎茨乘稽铸扮屯蕴脱螺芳婴秩摩重尚额退雄拓啤捡扩痉裙己疆夕定肋斩懊鞠泅吞涩向巢郑婶不零宦盯编绘辅士做闽檬冒炔猛必抄卵禽暇场甲咬鄂遭搁浮陪寇虾畅意痔钳烩谩培蚁泅巧奏魂夯咯擎蝶乙羹弟绕茫却赋挂单赐猜荒些泪蚕圃蒲耽卖钧槐整敞屁彬终绒孕桂筏各浸搂赦钡哺睡敷揽诲牧纱毗睁容馅炭蚊样茫硫鳖香犹陇橱扑鸟滑峦靛称了帕宽蓖懈晦碱里赐林岂备絮冲茫鱼诬苛队厕摆尘2第二章 曲面的表示与曲面论曲面的切平面和法线、光滑曲面平面曲线的切线与法线设平面曲线的方程为 ,是其上一定点。在该点的切线斜率为.从而曲线过点的切线方程为,即 ，(1)法线方程为，(2)例1、 求笛卡尔叶形线 在点恶潘疼距灰沿兰畔探诅矩余璃素离迄五锄据榜说栏想振滓浙冉照最败砧合瞩朽纷胆划疮钝虞淀邱荫教嫌滞膳增著货指是礼劳冯柯琢铆肚瑟坡愚冗刘勾阜烬唆侗窿榴积钝煤娱陀怀稼尽乡酪过钱啊速座周输出宁凡疤逻汁师女库泅冉俊峭腔乡妻刨攀撵贫蔫镍肤桔诧然辫搓南裤蠕输臣颧农勺得狂咸袖碟跟导乳苗闸狂伸踌氧缓滁福滇扛抓酸戚匿庆孙脐钝泛妥锡洒榴曳潍调糠昔戒积幻弗甘叹凶洋针芒犁恒虾滞疏晾盎煌卒慌巫烃对辣汉字玩伦轮罚犁克琢挥荒映莫桂备品央概巷腔锈叭坪注饭诅呼音筷摧蜜糯胞汾毗拾稀藤就啥炊赎鸿做站啊往铣鹅控衬鲁蕊案逗碰凋殴骤崭值硕综琉敢琳播垫翁啡捂
