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1、卢瑟福散射公式的推导及谈a粒子散射实验的应用意义摘要1909年卢瑟福和他的助手盖革(H.Geiger )及学生马斯登(E.Marsden )在 做以粒子和薄箔散射实验时观察到绝大部分a粒子几乎是直接穿过铂箔，但偶然有 大约1/8000 a粒子发生散射角大于90。这一实验结果当时在英国被公认的汤姆逊 原子模型根本无法解释。在汤姆逊模型中正电荷分布于整个原子，根据对库仑力 的分析，a粒子离球心越近，所受库仑力越小，而在原子外，原子是中性的，以粒 子和原子间几乎没有相互作用力。在球面上库仑力最大，也不可能发生大角度散 射。卢瑟福等人经过两年的分析，于1911年提出原子的核式模型，原子中的正电 荷集中
2、在原子中心很小的区域内，而且原子的全部质量也集中在这个区域内。原 子核的半径近似为10，约为原子半径的千万分之一a粒子散射实验是物理学史上 具有里程碑意义的重要实验之一,评为最美丽”的十大物理实验之三。由a散射实验现 象确立了原子的核式结构，为现代物理的发展奠定了基石。从 20世纪60年代中后期 首先应用卢瑟福背散射于月球表面元素成分分析至今，成为成为一种常规的杂质成分、 含量及深度分布、膜厚度分析手段。本文首先介绍原子的的大小和质量，然后介绍原子 有核模型提出的历史过程和a粒子散射实验的过程，根据a粒子散射实验中不可忽视的 大角度散射引出卢瑟福原子模型，运用相关数学手段和理论力学的基本知识具
3、体详细的 推导出库伦散射公式和卢瑟福散射公式，指出了行星模型的意义和困难，并阐述了以粒 子散射实验实际应用意义和a粒子试验仪在天体物理中的应用，在最后对相关数学手段和理论力学的相关知识进行了详细的介绍。关键词：a粒子散射实验；库仑散射公式；卢瑟福散射公式；行星模型；原子稳定性AbstractIn 1909, Rutherford and his assistant Geiger (H. Geiger) and students Marsden (E. Marsden) doing a particles and thin foil scattering experiments observed
4、 that most of the a -particles is almost directly through the platinum foil But occasionally, about 1/8000a particles in the scattering angle greater than 90 . The results of this experiment was to be accepted in the United Kingdom Thomson atomic model could not explain. Chiang Kai-shek in the Thoms
5、on model of charge distribution in the atom, based on the analysis of Coulomb force, a par ticles from the hot core closer, suffered the smaller Coulomb force, and in the atom, the atom is neutral, a particles and atoms almost no interaction. Coulomb force in the largest sphere, large angle scatteri
6、ng can not occur. Rutherford, who after two years of analysis, in 1911 proposed the nuclear atom-type model, the positive charge concentration of atoms at the atomic center of a very small area, and the atoms of all the quality of focus within the region. Radius of the nucleus is approximately 10, a
7、pproximately ten-millionth of atomic radius. a-particle scattering experiment is a milestone in the history of physics in one of the important experiments, as the most beautiful of the top ten physics experiments III. Established by the a scattering behavior of atoms and nuclear structure, the devel
8、opment of modern physics have laid a foundation. 60 years from the late 20th century, first applied Rutherford backscattering elemental composition analysis on the lunar surface so far as to become a routine impurity content and depth distribution, film thickness analysis tool. This paper describes
9、the size and quality of the atom, then introduces a nuclear atom model proposed by the historical process and a-particle scattering process, according to a-particle scattering experiment can not be ignored in the large angle scattering leads to Rutherford atomic model, the use of relevant mathematic
10、s tools and basic knowledge of theoretical mechanics specific detailed Coulomb scattering formula is derived and the Rutherford scattering formula, that the planetary model of the significance and difficulties, and described the practical application of a-particle scattering experiment significance
11、and a particle tester in astrophysics application of mathematical methods in the final of the relevant knowledge and theoretical mechanics, a detailed description.Keywords: Alpha particle Scattering experiments; Coulomb scattering formula; Rutherford formula; planetary model; Atomic stability目录绪论1第_
12、章 背景知识31.1电子的发现31.2电子的电荷和质量41.3阿伏伽德罗常数41.4原子的大小4第二章 原子核式结构理论提出的历史过程62.1汤姆孙在发现电子后提出的原子结构设想62.2开尔文原子模型62.3汤姆孙的葡萄干一布丁原子模型72.4勒那德的原子模型72.5长岗的土星原子模型82.6尼克尔森的初始物质原子结构9第三章a粒子散射实验及大角度散射现象的思考103.1 a粒子散射实验103.2大角度散射现象引出的思考和核式模型的由来11第四章库伦散射公式及卢瑟福散射公式的推导144.1库伦散射公式144.2卢瑟福散射公式16第五章 卢瑟福理论的实验验证185.1卢瑟福散射公式的拓展185.
13、2卢瑟福理论的实验验证195.3关于小角与180处的卢瑟福公式21第六章a粒子散射实验的应用意义226.1对于a粒子散射实验的回顾和一些说明226.2 用a粒子散射实验估计原子核大小226.3 a粒子散射实验的新应用一一卢瑟福背散射分析246.4 粒子散射实验给我们今天留下的财富24第七章 行星模型的意义和困难267.1行星模型的意义267.2行星模型的困难26参考文献28附录29附录A 中心力29附录B极坐标30附录C两体问题33绪论原子物理学是研究原子结构，运动规律及相互作用的物理学的一个分支，主要研究： 原子的电子结构、原子光谱、原子之间或与其他物质的碰撞过程和相互作用。原子是从宏观到微
14、观的第一个层次，是一个重要的中间环节。物质世界这些层次的 结构和运动变化，是相互联系、相互影响的，对它们的研究缺一不可，很多其他重要的 基础学科和技术科学的发展也都要以原子物理为基础，例如化学、生物学、空间物理、 天体物理、物理力学等。激光技术、核聚变和空间技术的研究也要原子物理提供一些重 要的数据“原子”一词来自于希腊文，意思是“不可分割的”。公元前4世纪古希腊物理学 家德谟克利特提出这一概念，并把它当作物质的最小单元。到此后的2000多年里原子 一直被当做物质的最小单元。经过相当长时期的探索，直到20世纪初，人们对原子本身的结构和内部运动规律 才有了比较清楚的认识，之后才逐步建立起近代的原
15、子物理学。在十九世纪末，物理学上爆出了震惊科学界的“三大发现”：1895年，德国物理学 家伦琴发现X射线，法国物理学家贝克勒尔发现天然放射性：1897年，英国物理学家 汤姆孙发现了电子。在这三大发现中以电子的发现最为重要，因为比原子更小的东西存 在意味着原子的分裂及其组成，人类第一次真实的看到了比原子还小的东西，第一次打 开了原子世界的大门，原子不可分割的学说第一次被打破。由于电子呈电中性，而一切原子中都存在带有负电的电子，那么原子中必然存在有 带正电的物质，对于这一问题，当时存在许多不同的假设：如汤姆孙在发现电子后提出 的原子结构设想，开尔文原子模型，汤姆孙的葡萄干一布丁原子模型，勒那德的原
16、子模 型，长岗的土星原子模型，尼克尔森的初始物质原子结构。上述原子模型在一定程度上都能解释当时的一些实验事实,但不能解释以后出现的很多 新的实验结果。由于汤姆孙模型能解释当时很多的实验事实，所以很容易被许多物理学 家所接受，成为当时一种标准模型。由于1911年卢瑟福及助手所做的a粒子散射实验，出现不可忽视的大角度散射现 象，卢瑟福根据实验结果提出：原子的中心是一个重的带正电的核，与整个原子的大小 相比，核很小。电子围绕核转动，类似大行星绕太阳转动。这种模型叫做原子的核模型， 又称行星模型。从这个模型导出的结论同实验结果符合的很好。根据经典的电磁理论，电子应当自动地辐射能量，使原子的能量逐渐减少
17、、辐射的 频率逐渐改变，因而发射光谱应是连续光谱。电子因能量的减少而循螺线逐渐接近原子 核，最后落到原子核上，所以按照卢瑟福原子模型解释：原子应是一个不稳定的系统。 但事实上原子是稳定的，原子所发射的光谱是线状的，而不是连续的。这些事实表明： 从研究宏观现象中确立的经典电动力学，不适用于原子中的微观过程。这就需要进一步 分析原子现象，探索原子内部运动的规律性，并建立适合于微观过程的原子理论。1913年，丹麦物理学家玻尔在卢瑟福所提出的核模型的基础上，结合原子光谱的经 验规律，应用普朗克于1900年提出的量子假说，和爱因斯坦于1905年提出的光子假说， 提出了原子所具有的能量形成不连续的能级，当
18、能级发生跃迁时，原子就发射出一定频 率的光的假说。玻尔的假设能够说明氢原子光谱等某些原子现象，初次成功地建立了一 种氢原子结构理论。建立玻尔理论是原子结构和原子光谱理论的一个重大进展，但对原 子问题作进一步的研究时，却显示出这种理论的缺点，因此只能把它视为很粗略的近似 理论。1924年，德布罗意提出微观粒子具有波粒二象性的假设，以后的观察证明，微观粒 子具有波的性质。1926年薛定谔在此基础上建立了波动力学。同时，其他学者，如海森 伯、玻恩、狄喇克等人，从另外途径建立了等效的理论，这种理论就是现在所说的量子 力学，它能很好地解释原子现象。20世纪的前30年，原子物理学处于物理学的前沿，发展很快
19、，促进了量子力学的 建立，开创了近代物理的新时代。第一章背景知识1.1电子的发现1811年阿伏伽德罗（A.Avogadro 17761856）提出N即一摩尔任何原子的数 目都为N , N称之为阿伏伽德罗常数。1833年法拉第（M.Faraday 17911867）提出电解定律：一摩尔任何原子的单价离 子永远带相同的电量法拉第常数F。1874年斯通尼（GJ.Stoney）根据上述两个定律作出了如下推论和联想：原子所带 的电荷为一基本电荷的整数倍，并用N。推算出这一基本电荷的近似值。在1881年他提出 用“电子”这一名字来命名这些电荷的最小单位。1987年由汤姆孙（J.J. Thomson 185
20、6-1940）根据阴极射线管实验确认电子的存在。图1-1汤姆孙在1897年使用的阴极射线管（示意图）阴极射线从阴极C发出后通过狭缝A、B成一狭窄的射线，再穿过两片平行金属板D、 E之间的空间，最后到达右端带有标尺的银光屏上。D,E之家可以加电场，放电管周围 又可以加磁场。加电场E后，射线由P点偏到Q点，由此可知阴极射线带有负电（e）。 再加上一个方向与纸面垂直的磁场H,使束点再由Q回到P,即：使磁力（Hev ）和电 力（Ee）大小相等，方向相反，由此可以算出阴极射线的速度v=E/H。去掉电场，由于磁场方向和射线方向垂直，将使射线构成一圆形轨迹。若此圆形轨 迹的半径为r，则射线内的粒子（质量为m
21、）受到的离心力mv2/r。它一定与磁力Hev 相平衡，则可求得e/m。对于“一位最先打开通向基本粒子物理学大门的伟人”的汤姆孙来说，他的贡献不 仅是测出荷质比e/m,还有敢于承认了电子的存在。1.2电子的电荷和质量电子电荷的精确测定是在1910年有密立根(R.A.Millikan 18681953由汤姆孙方 法的改进和发展而作出的，即著名的“油滴实验”。电子电荷的现代值为：e= 1.60217733 (49)X10-19C;电子的质量：m =9.1093897(54)X10-3ikg;质子的质量：m =1.6726231 (10)X 10-27kg;m / m =1836.152701(37)
22、即质子的质量大约是电子质量的1836倍。1.3阿伏伽德罗常数阿伏伽德罗常数NA代表1mol分子的分子数目或者1mol原子的原子数目。阿伏伽 德罗常数是联系宏观和微观的一个物理量。它是我们联系宏观和微观之间的桥梁。NA = 6.0221367 (36)X1023mol-1从上面可知，1 mol的12C或者12gM含有NA个12C原子。则每个12C原子的质量以 克为单位为12/NA g ；现在把它定义为12u,故u和g的换算关系为：12 u=12/NAg即1g=NAu从na的数值可以导出1u=1.6605402(10)X 10-27kg1.4原子的大小对于任一种原子AX, A克X原子具有NA个X原
23、子,假如这种原子的质量密度为P (g/cm3),那么A克X原子的总体积为A/P,假如一个原子占有的体积为4/3nr2(r为原子半径)则-兀 r 3 N =-3A p由此可以得到原子的半径公式:由此可以算出不同的原子半径:表1-1不同原子半径标二元素质量数A质量密度p/使m3）原子半径r/nmLi70.70.16Al272.70.16Cu638.90.14S322.070.18Pb20711.340.19其中1nm=10-9m，是原子领域常用的长度单位（1X=0.1nm）。第二章原子核式结构理论提出的历史过程2.1汤姆孙在发现电子后提出的原子结构设想由于1897年及其以后多年，科学家只发现比原子
24、小的电子，而电子又带负电，可 是原子在一般情况下是中性的，所以那时他认为比原子小的粒子可能只有电子，因此他 设想原子完全由电子组成。根据经典电动力学的原理和美国科学家迈耶发表的一些磁针 在水面上漂浮时因为斥力和吸力的作用排成有规则的图形（见图2-1）。想出了一个电子 相当于一个磁针，5个磁针在水面上排成正方形，6个磁针排成正五边形，他们都有一 个磁针位于中央。当有8个磁针时有3个在正六边形中央；15个时按1,5,9排成3层； 27个磁针时，排成1,5,9,12四层，以此类推。经过这样的磁针排列和理论计算，他发现 它们与原子由电子构成的初步设想。为了解释原子是中性的，当时他只有假设原子内的 空间
25、是带正电的，在总量上与电子的负电和相平衡。这样他认为原子是由位于各环上均 匀分布的电子和正电子空间或者正电体组成。I1-I I图2-1迈耶的7个磁针在水面上形成的漂浮六边形图2.2开尔文原子模型开尔文的原子模型是综合了 19世纪电学理论成就，考虑了电子的发现才提出的。他认为有比原子还小的电原子，也就是带点小粒子，它们可以只有的通过原子内的空间 中的物质（可以称之为电以太），电原子（树脂电）带负电，电物质（玻璃电）带正电， 电原子之间和电物质之间因为电性都相同而相互之间存在斥力，而电原子和电物质之间 存在吸引力，这些力相互作用就形成了原子结构，总的是中性的。23汤姆孙的葡萄干一布丁原子模型190
26、4年3月，汤姆孙在经过5年多的思考和借鉴他人的研究成果之后，正是推出了 他认为科学的原子模型。这篇文章利用电磁力的相互作用和正、负电平衡的理论径直地 进行分析，吸取了开尔文的正电物质弥散地充满原子空间的想法，修正其电以太想法， 改为正电均匀分布的球体，以达到按同心环分布的负电子和正点球体进行电性中和的目 的。他说：“元素的原子由封闭在带均匀正电的球体之中的大量带负电粒子说组成。”被 后来人把汤姆孙的原子模型称为葡萄干一布丁原子模型。其实这个譬喻只是个简单的说 法，因为汤姆孙认为他的电子是在电子环中不停的匀速旋转的，而不是静止地镶嵌在固 定的地方，电子的平衡既是电力上的平衡又是电性上的平衡。还根
27、据电磁理论进行了详 细的计算，提出电子在各个轨道上等速旋转的稳定条件和数学表达式，算出了电子环数 与最小中心电子数之间的关系，从而得出某电子环数时中心电子的最少个数。r+图2-2汤姆孙原子模型中19个电子的分布2.4勒那德的原子模型勒那德在研究阴极射线穿过阴极射线管的铝窗口而计入空气中产生的效果，从这些 新的实验中他发现阴极射线的穿透性质和材料的密度有很大关系，由汤姆孙提出的原子 是由电子和带点球体组成的设想，得出原子内部出去大部分是中空的之外，尚存在中性 偶极子，这种偶极子是由带正电的和负电的“动力子”构成。他经过测算得出，动力子 的大小站原子体积的10A9之一，这个体积很小的动力子“对”之
28、间的距离小于10A-11 厘米，因而这个“对“为中性的，它在原子内部迅速旋转，不易被电子穿透。因此勒那 德在1903年提出原子结构为在空虚的原子空间内存在体积很小的动力偶极子，偶极子 在原子空间内高速旋转。1906年他在阴极射线中写道：借助这些阴极射线可以得到 关于分子原子组成的信息，原子的质量集中在微小的动力偶极子上。2.5长岗的土星原子模型长岗从汤姆孙的原子结构设想与麦克斯韦的土星光环模型相结合的考虑，英国物理 学家洛奇在一次演讲中提到卫星系统在与原子内的电子派力有相似性得到启发，只是他 用电子之间的斥力和电子和原子中心的大质量粒子的相互吸引力取代万有引力。形成了 大量带电粒子绕中心处的大
29、质量粒子旋转的原子结构。但是他的原子结构模型仅仅是个 平面结构。如图2-3图2-3长岗的图形原子模型2.6尼克尔森的初始物质原子结构图2-4尼克尔森的第四种初始物质原子模型尼克尔森认为，现在的元素周期表中的元素是在初始元素的基础上演化出来的。他 根据经典电动力学原理得出，微观的原子内部结构只能是某些带电部分分绕具有大的质 量的其他带电部分绕具有大的质量的其他带电部分沿轨道旋转所构成。他说：“负电球 必定绕正电球旋转，后者可以称为核，整个系统的运动受电力的平方反比定律所控 制”。第三章a粒子散射实验及大角度散射现象的思考31 a粒子散射实验1906年，卢瑟福开始研究原子内部结构。他认为要了解原子
30、内部情形，最好的办法 就是把它砸开。a射线做子弹轰击元素的原子不但能将某些原子打破，而且或许从它打 入原子后走过的径迹能够对原子的结构情况有真实的了解。它们选择a粒子的枪是极少 量的镭。它能连续不断的放出a粒子而且放射性元素放射的辐射中a射线的能量占总放 射能量的99%。镭放在一个仅开一个小口的铅容器里面，让a粒子射出。如图3-1所示图3-1卢瑟福a粒子散射实验示意图图3-2 a粒子被金原子大角散射的径迹1908年1月，他与助手盖革用自己设计的计数器数出原子的个数，这个人类史上第 一次用实验发现单个原子，因为他们已经证实a粒子就是带两个正电荷的氦离子。随后， 他让盖革和研究生马斯顿用a粒子轰击
31、金的原子。当马斯顿做实验后，竟发现a粒子打 到金的原子上后被弹回来，散射的角度大于90。按照他的预计a粒子应当穿过原子呈直线或者稍有弯曲的前进，跑去向卢瑟福报 告，卢瑟福到荧光屏上看到也很惊奇，并且说这有些像炮手将一颗炮弹射到纸上而由于 某种原因又被弹射回来一样。实验的情况如图3-2所示，a粒子从P射向原子0,被沿 曲线弹向P，反射角有时等于甚至大于90，呈漫散射现象。3.2大角度散射现象引出的思考和核式模型的由来假设有2个外形、大小、电荷和质量都相同的带电球体，其中一个球的电荷密度是 均匀分布的，另个球的电荷集中在球心，现在若用一带电粒子分别轰击这两个球，由电 学中高斯定理可知：在带电粒子远
32、离两个球时（rR，见图7），两个球的作用是一样的。 都可把电荷视为集中于球心，但当带电粒子打入球内时（rR）,情况就大不一相同：电 荷均匀分布的球，带电粒子受到的库伦力与r成正比，越往中心受力越小，故较易穿过 小球；对电荷集中在球心的球，带电粒子受到的库伦力与在球外一样，仍与r2成反比， 越靠近球心受到的力越大，有可能出现大角度散射现象，甚至反弹回来。图3-3两种不同电荷引起的不同相互作用从图3-3左图可以看出，对汤姆孙模型最大的作用力发生在于掠射，即r=R时。这里的R是原子的半径，那时原子的正电荷Ze对于入射的a粒子（2e）产生的作用力为:(3-2-1)2e （Ze ） F =只要把作用4兀
33、8 R 2 0其中为介电常数。为了估计a粒子由散射而引起的动量的变化（图3-4）力乘以粒子在原子附近度过的时间（2R/u），故p 2 FR / u 2Ze 2/（4双 R ）=:0pmo1 m u22 a(3-2-2 )2Z x1.44fmMeV /0.1nm E （MeV）Z铝 3 x 10-5 radEa上式中代表在汤姆孙模型，对于入射。粒子，正电荷引起的a粒子的最大偏转，那么负电荷（电子）对于a粒子的偏转几乎可以忽略，因为它的质量只有a粒子的八千分 之一，即使对头撞，(3-2-3)使牝凯牝10 -4p m 4000结合（3-2-2）式和（3-2-3）式，可得到一个保守的估计:9 10-4
34、 （3-2-5）Ea对于5 MeV的a粒子对金（Au , Z = 79 ）箔的散射，每次碰撞的最大偏转角将小于10-3 rad.要引起1的偏转，必须经过多次碰撞。由于每次碰撞的偏转方向都是无规则的， 因此，要引起最终的角偏转的几率是十分小的；产生90的偏转几率约为10-3500 !而 盖革和马斯顿得到的实验实验值却为1 / 8000 !对于这个问题卢瑟福苦思几个星期后，在1910年底，经过数学运算，证明“只有 假设正点球的直径小于原子作用半径，a粒子穿越单个原子时，才有可能产生大角度散 射”。在1911年提出了另一个模型，他设想原子中带正电的部分很小，电子在带正电部 分的外边。这样，a粒子在接
35、近原子时，它受到电子的作用引起的运动改变如上文所说 依然不大，受到正电体的作用就不同了。此时正电体很小，a粒子虽然进入了原子区域， 他还在正电体之外，整个正电体对它起作用，因此受到正电体的力是2Ze2/（4ne0r2）。而且正电体很小，所以r可以很小，说受到的力可以很大，所以就能产生大角散射，如 图3-4所示。Ze .J图3-4 a粒子在原子的核式模型中的散射示意图卢瑟福还提出了可以由实验验证的理论。按照此理论可以由实验观察到的散射角可 以推算出带电体的大小，算得的结果很小，所以成为原子核，他提出的原子模型因此成 为核式模型。第四章库伦散射公式及卢瑟福散射公式的推导4.1库伦散射公式下图4-1
36、描述了远离靶核时（此时库伦势为零）,入射能量为、电荷为Z1e的带电 粒子，与电荷为三矩的靶核发生散射的情况。图4-1带电粒子的库伦散射对于散射过程先做一些假设：1）只发生单次散射；2）只有库伦力相互作用；3） 核外电子的作用可以忽略；4）靶核静止。由牛顿第二定律知：F=ma带入力的具体形式后，ZZ e2 - du ro = m（4-1）4双 r 2 dt0r 0是r方向上的单位矢量。因为库仑力是中心力，而中心力满足角动量守恒，即mr 2迎=L （常数）（4-2）dt整理得:l 1 ZZe 2. - ZZe2,-d u =2 dQ r 0 = i 2 d。r 04双d。4双L0 mr20dt两边
37、积分:(4-3)等式左端积分图4-2(4-4)式中常是uf-叫方向上的单位矢量（图4-2）。u.,uf分别代表碰撞前后入射粒子（Z】e）远 离靶核时的速度，由于能量守恒：（4-5）即，u.与uf的数值必然相等（记为u）,但两者方向不同，由图3.2 （a）可以看出，（uf-叫） 这个矢量的大小，=2usin2，方向则与y轴相夹2角。式（4-3）右端是单位矢量积分，因，。是变化的单位矢量，须变换成固定坐标的单位矢 量i,j后才能积分，即：j ro d =卜 （了 cos + sin 8 ）d0.L 一 、（4-6）=2cos （i sin + j cos * 一 由图4-2（b）可知（uf-u.）
38、方向上的单位矢量g在x轴，y轴上的分量分力别isin 和jcos-，u22与式（4-6 ）对应一致，得:.1 ZZ e2u sin =1 cos (4-7)24 双L 21 ZZ e2= cos 4 双 mub 20由于m v2=2E，所以:a cot-221 ZZe 2a =卜t4双E上式即为库伦散射公式。式中a称之为库仑散射因子b为瞄准距离，又称碰撞系数， 即入射粒子与固定散射体无相互作用的情况下的最小直线距离。为散射角，当。=90 时，库伦散射因子a等于瞄准距离的两倍。4.2卢瑟福散射公式库伦散射公式在理论上十分重要，但在实验中却无法应用，由于b这个碰撞参量至 今还是一个不可控制的量，在
39、实验中尚无方法测量。而且在真正的实验中出现的散射现 象并不是单次散射，而是大量散射的集合结果。由库仑散射公式可以看出，。与b有对应关系：b大，。就小；b小，。就大对于 某一 b，就有一个确定的。瞄准距离在b和b-db之间的a粒子，经散射后，必定向着。和0+d。之间的角度 射出，如图4-3所示：凡是通过图中所示以b为外半径、b-db为内半径的那个环形面积 的a粒子，必定散射到角度再。和。+d。之间的一个空心圆锥体之中，环形面积do=2 nbdb。将库伦散射公式平方后微分，可得：0cos2 d0(4-2-1)0sin2 2(4-2-1)式中可以用空心圆锥体的立体角表达以代替d。由图4-3知，所说的
40、立体角与d。有下列关系:2兀 r sin 0 rd0d Q = 2兀 sin 0 d0r 2=4兀 sin cos d022带入(4-2-1)式，就有d。=T业L eJ sin4 2(4-2-2)这就是卢瑟福散射公式。d。是a粒子散射到0与0+d0之间一个立体角dQ内每个原子 的有效散射截面，又称微分截面。第五章卢瑟福理论的实验验证51卢瑟福散射公式的拓展我们要把卢瑟福散射公式和实验所能观察到的数值联系起来。d。是以b为外半径、 b-db为内半径的环形面积，通过的a粒子数它成正比，所以卢瑟福散射公式中的d。和果单位体积中的原子数目为N,那么薄膜中的原子数是t图5-1观察说得的粒子数有一定关系。
41、假设现有一薄膜，面积为A,厚度为t。如N = NAt设薄膜很薄，这些原子对射来的a粒子前后不互相遮蔽，那么膜上散射到0 与0+d。之间的总有效散射截面是d = Ndo = NAtd a如果有n个a粒子射在这薄膜的全部面积A上，其中有dn个散射到。与0 +d。之间dQ中，那么这些必定落在dEo 所以dn d= =Ntda，n A, dnda =Ntn(5-1-1)式表示do与dn/n成正比，因此do代表散射到0与0+d0之间的几率大小。将(5-1-1 )带入(4-2-2)，即得dn . 0sm4 =dO 2、2、2二 MSNnt =常数。(5-1-2)式中右端等于常数是指对同一a粒子源和同一种散
42、射物质来说的。在这情况下，右边诸 值不变。那么这式表示左边的数值不随。而变更。在实际测量中，并不是取。与0 +d。之间的全部立体角，也就是不采用图4-3中大 环形所张开的全部立体角。测量的荧光屏仅仅在不同方向张开一个小的立体角dQ, 实际测得的粒子数是在dQ中的dn。容易理解:在0相同时，dQ /dn=dQ/dn。(5-1-2)式与实验对时，用dQ / dn代替dQ/ dn。5.2卢瑟福理论的实验验证卢瑟福理论是建立在原子的核式结构模型基础上的，即原子中带正电部分集中在原 子中心很小的体积中，但是它占有整个原子99.9%以上的质量，a粒子在它外面运动， 受原子全部正电荷Ze的库伦力的作用。如果
43、实际情况确是如此，那么实验结果应该与 理论公式（5-1-2）符合。从（5-1-2）式可以看到以下四种关系：（1）在同一a粒子源 和同一散射体的情况下，（dQ / dn） sim（0/2）二常数；（2）在同一a粒子源和 同一散射体，在同一散射角dQ / dn与散射物质的厚度t成正比；（3）用同一散射 物，同一散射角，（dQ / dn）v4=常数；（4）用同一散射物，在同一散射叫对同一 Nt值dQ / dn 与Z2成正比。1913年盖革和马斯顿又仔细地进行了 a粒子散射的实验，所得结果完全证实了上述 前三项关系。图5-2检验卢瑟福散射公式的实验装置侧视图a粒子散射实验装置如图5-2所示。在抽成真空
44、的容器内，用一铅块R包围着a粒子 源,发射的a粒子经一细的通道D后,形成一束射线，打在一厚度约为0.00004 cm的金属 箔F上。穿过金属箔的a粒子打到在玻璃片上涂有硫化锌荧光物的荧光屏S上。当被散 射的a粒子打在荧光屏上时，就会产生微弱的闪光。通过放大镜M观察闪光就可记下某 一时间内在某一方向散射的a粒子数。放大镜、荧光屏与外壳制成一体，可以转到不同的方向对a粒子进行观察。表5.1所列的是金箔上散射的结果，表中显示散射角在15 到150的范围。表5.1 a粒子在不同角上的散射0（度）dn1/sin4（ 0 /2）dn sin4（0/2）15033.11.1528.813543.01.383
45、1.212051.91.7929.010569.52.5327.5752117.2529.16047716.029.845143546.630.837.5330093.735.330780022335.022.52730069039.615132000344538.4虽然dn差的很大，dn，sin4（0/2）确是常数，足见该理论对大角散射是合用的。 对于小角的情况，以后讨论。关于上述第二项，即散射粒子数与散射物厚度t成正比的关系，曾对金、银、铜、 铝等金属进行了测量，观察到在一定散射角上在一定时间内的散射粒子数dn确与箔的 厚度成正比。关于上述第三项，即散射粒子数与a粒子的初速度的关系，（dn
46、）V4二常数，盖 革和马斯顿也进行了实验。他们把镭（B+C）的a粒子通过厚度不同的云母片，得到不 同速度，再把这种a粒子分别在同一金属箔上散射，并在同一角度观察，获得结果如表 5.2所示，与理论符合。表5.2 a粒子散射与其初速度的关系V -4的相对值闪烁数dn(dn ) v 41.024.7251.2129.0241.5033.4221.9144232.8481284.32101239.2225528关于上述第四项，当时盖革和马斯顿用原有仪器未能准确测定Z o 1920年，查德维克改进了装置，用卢瑟福公式第一次直接通过实验测出了原子的电荷数2，他测得铜、 银、铂的Z值等于这些元素的原子序数。表5.3原子正电荷数的测定原子序数铜银294729.346.3原子的正电荷数测定值7877.4至此，进一步证明了卢瑟福核式模型的正
