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1、65 阶跃函数和阶跃响应,在上一节的讨论中，我们看到直流一阶电路中的各种开关，可以起到将直流电压源和电流源接入电路或脱离电路的作用，这种作用可以描述为分段恒定信号对电路的激励。随着电路规模的增大和计算工作量增加，有必要引入阶跃函数来描述这些物理现象，以便更好地建立电路的物理模型和数学模型，也有利于用计算机分析和设计电路。,波形如图(a)所示。当t=0时，(t)从0跃变到1。当跃变量是k个单位时，可以用阶跃函数k(t)来表示，其波形如图(b)所示。当跃变发生在t=t0时刻，可以用延迟阶跃函数(t-to)表示，其波形如图(c)所示。函数(-t)表示t0时，(-t)=0，如图(d)所示。,图630
2、阶跃函数,一、阶跃函数,单位阶跃函数(t)的定义为,图631 用阶跃电源来表示开关的作用,当直流电压源或直流电流源通过一个开关的作用施加到某个电路时，有时可以表示为一个阶跃电压或阶跃电流作用于该电路。例如图(a)所示开关电路，就其端口所产生的电压波形u(t)来说，等效于图(b)所示的阶跃电压源U0(t)。图(c)所示开关电路，就其端口所产生的电流波形i(t)来说，等效于图(d)所示的阶跃电流源I0(t)。,与此相似，图(e)所示电路等效于图(f)所示阶跃电压源 U0(-t)；图(g)所示电路等效于图631(h)所示阶跃电流源I0(-t)；引入阶跃电压源和阶跃电流源，可以省去电路中的开关，使电路
3、的分析研究更加方便，下面举例加以说明。,图631 用阶跃电源来表示开关的作用,例6-14 电路如图632(a)所示，求t0时电感电流iL(t)。,解：图(a)电路中的阶跃电压源10(-t)V，等效于开关S1将 10V电压源接入电路；阶跃电流源2(t)A，等效于开关 S2将2A电流源接入电路，如图(b)所示。就电感电流来 说，图(a)和(b)是等效的。根据图(b)电路，用三要素法容易求得电感电流iL(t)。,图6-32,2.计算电感电流的稳态值iL(),图6-32,1.计算电感电流的初始值iL(0+),3.计算电路的时间常数,4.根据三要素公式写出电感电流的表达式,此题说明如何用三要素法来计算含
4、有阶跃电压源和阶跃电流源的电路。,图6-32,阶跃函数还可以用来表示时间上分段恒定的电压或电流信号，例如图6-33(a)所示方波电压信号，可以用图(b)所示两个阶跃电压源串联来表示；图(c)所示方波电流信号，可以用图(d)所示两个阶跃电流源并联来表示。对于线性电路来说，这种表示方法的好处在于可以应用叠加定理来计算电路的零状态响应，在此基础上，采用积分的方法还可以求出电路在任意波形激励时的零状态响应,图6-33,例6-15 用阶跃电流源表示图6-33(b)所示的方波电流，再次 求解电路中电感电流的响应，并画出波形曲线。,图6-33,解：图(b)所示的方波电流，可以用两个阶跃函数 iS(t)=10
5、(t)-10(t-1ms)mA 表示。由于该电路是线性电路，根据动态电路的叠加定理，其零状态响应等于10(t)和-10(t-1ms)两个阶跃电源单独作用引起零状态响应之和。,1.阶跃电流源10(t)mA单独作用时，其响应为,2.阶跃电流源-10(t-1ms)mA单独作用时，其响应为,3.应用叠加定理求得10(t)和-10(t-1ms)共同作用的零状态响应为,图6-34,分别画出 和 的波形，如曲线1和2所示。然后它们相加得到iL(t)波形曲线，如曲线3所示。,二、阶跃响应,单位阶跃信号作用下电路的零状态响应，称为电路的阶跃响应，用符号s(t)表示。它可以利用三要素法计算出来。对于图(a)所示R
6、C串联电路，其初始值uC(0+)=0，稳态值uC()=1，时间常数为=RC。用三要素公式得到电容电压uC(t)的阶跃响应如下所示。对于图(b)所示RL并联电路，其初始值iL(0+)=0，稳态值iL()=1，时间常数为=L/R。,图6-35,利用三要素公式得到电感电流iL(t)的阶跃响应如下所示。,以上两个式子可以用一个表达式表示如下：,其中时间常数=RC或=L/R。,已知电路的阶跃响应，利用叠加定理容易求得在任意分段恒定信号激励下线性时不变电路的零状态响应，例如图6-36(b)所示信号作用图6-36(a)所示RC串联电路时，由于图(b)所示信号可以分解为下面所示的若干个延迟的阶跃信号的叠加。,
7、图6-36,其电容电压uC(t)的零状态响应可以表示为,图636 RC串联电路在分段恒定信号激励下的零状态响应,例6-16 图6-37(a)是RC分压器的电路模型，试求输出电压 uC2(t)的阶跃响应。,图637 RC分压器的电路模型,解：由于将图(a)所示电路中的电压源用短路代替后，电容 C1 和C2并联等效于一个电容，说明该电路是一阶电 路，其时间常数为,现在计算初始值uC2(0+)。在t0时，(t)=0，电路处于零状态，uC1(0-)=uC2(0-)=0。在t=0+时刻，两个电容电压应该满足以下KVL方程,上式说明电容电压的初始值要发生跃变。为了计算出uC2(0+)，需要应用电荷守恒定律，即在跃变的瞬间一个结点的各电容总电荷量保持恒定(此例中总电荷为零)，由此得到以下方程,由以上两个方程求解方程得到,在t0时，该电路是由1V电压源激励的一阶电路，可以用三要素法计算。当t电路达到直流稳态时，电容相当开路，输出电压的稳态值为,用三要素公式得到输出电压的表达式为,由上可见，输出电压的稳态分量由两个电阻的比值确定，其暂态分量还与两个电容的比值有关。我们改变电容C1可以得到三种情况：当R1C1=R2C2时，暂态分量为零，输出电压马上达到稳态值，这种情况称为完全补偿；当R1C1R2C2时，暂态分量不为零，输出电压要经过一段时间才达到稳态值，前者称为欠补偿，后者称为过补偿。,
