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1、参数分离法处理含参数的导数问题题型一：全分离【例1】函数f 3) = 42 alnx在1,2上为增函数，求a的取值范围.a 一 一一一【解析】函数f (x) = x 2 a In x在1,2上为增函数，则f(x) = 2 x 20在1,2上恒成立，(问题 x转化)因为f(x) = 2x a 0 n 2x a n a 2x2，(分离变量，把x与a放在式子的两边，一边 xx只含有一个字母，叫做全分离)所以a (2x2).(这里把a看成不变的量，不变的量小于变化的量，就小于变化量的最小值)当 x e 1,2时，(2x2)min=2，所以 a 1在区间L +)内恒成立，求实数a的取值范围.1 + ln
2、 x【解析】因为f (x) = ax lnx 1 n ax 1 + lnx n a ，(分离变量)则有a x/ max1 + ln x设 g(x)=，x一1 + In x 一xe 1, +8)(由于的取值不能直接看出来，所以要构造函数来求x这种方法经常考查)由于g f( x)=蛀x 2十，/、1 + ln x所以g(x)=x且 x 1 时，ln x 0，x2 0，所以 x e 1, +8)时，g(x) 1.|(L) x + 2( x 0)则a的取值范围为(D )A. W。 B. (0,1) C. 0,1D.( i,0)eeee【解析】12当 x 0时，f (x) = xlnx a有两个零点即可
3、，由于 f (x) = xlnx一a = 0 n a = xlnx，令 g(x) = xlnx， h(x) = a，则问题转化为函数g(x)与h(x)的图象有两个交点.(h(x)的图像为平行于x轴的一条直线，由于a未定，所以可以上下平移，g(x)为非基本函数，故需要通过导函数来研究)g (x) =ln x +1,令 g (x) = 0,则有 x =-,e_ 1 所以，当x e(0,-)时，g(x) 0，g (x)单调递增.e11由此可知当x = 一时，函数g (x)取得最小值-一.ee(通过导函数画原函数图像的必备结论，单调性、关键点、走向趋势等)在同一坐标系中作出函数g (x)与h( x)的
4、简图如图所示，(在这里画的只是简图，只具备关键信息，并不是标准图像，标准图像只能通过画图软件来画)此时，(7X)/1个交点X此时2个交点此时g-无交点囱M)=m可上F平移)D.41根据图可得一 a 0，故选D.e【练习】已知函数f (x) = ex ln x aex(a e R)，若fx)在(0，+0时恒成立.(问题转化1)即-a+lnx0时恒成立.(问题转化2) x所以a-+lnx，在x0时恒成立.(分离变量)(注意下面的解答格式)x令 g(x) = -+lnx(x0)，(构造函数求最值)则 g(x)=+-=x-(x0)，令g(x) = 0，则x =1 .xx2 x x2所以由 x e (0
5、,1)时，g(x) V 0，g(x)单调递减，x e (1,+8)时，gf(x) 0，g(x)单调递增.此时g(x)的最小值为g(x)= 1,但g(x)无最大值(且无趋近值).故/(x)不可能是单调递减函数.(因为；+lnx，故要在于右边的最大值，右边无最大值) x(2)若/(x)为单调递增函数，则/(x)0，在x0时恒成立，即X-a+lnx0, 在 x0时恒成立，所以a0时恒成立，由上述推理可知此时a 0)，若有且只有两个整数x, X2使得f (x，0， 且f (x )。，则a的取值范围是(C ) 2A. (ln3,2)b. h - ln3,2)c.(0,2-ln3d.(0,2 - ln3)
6、【解析】由题意可知，f(x) 0，即 lnx + (a-2)x-2a + 4 0,(a 0)，lnx + (a - 2) x - 2a + 4 0 n ax - 2a 2 x - lnx - 4 (a 0 )(这里如果把x - 2除到右边，会面临两个问题，一是x - 2不清楚正负要分类讨论，二是很显然，式 子的结构会很复杂，到这里可以看出左边是一个一次函数，右边是一个简单的复合函数，所以我们就不进步分离了，这种方式叫半分离变量.)(x )= 2 x - lnx - 4, h(x )= ax - 2a由 g (x)= 2- = 2x 1，令可知 g (x)= 0，则 x = 1， x x2所以，
7、g (x)在 f 0,；上为减函数， k 2 J在f ；, +d上为增函数， k2J1且g(5) = ln2-3 0 .A(由于本题是关于整数的问题，所以对函数的关键点要做进一步计算g (2) =- ln2 0，且有 x 0 时，g (x)+8，x T+8 时，g (x)T+8)h(x)= ax-2a的图象恒过点(2,0)，在同一坐标系中作出g (x ), h (x ) 的图象如下：若有且只有两个整数x1,x2，使得f (x1 )0，且f (x2)0，(也就是说有且只有两个整数，使得h(x) 的图像在g (x)的上方.)(因为x=2符合条件，下面就分两种情况：一是x=1符合，x=3不符合，由左
8、图可知，矛盾；二是x=1 不符合，x=3符合由左图可知成立)a a 则 g (1)，即 -2 ，解得 a 2-ln3，故选 C.h(3) g(3)I。 成立，求实数k的取值范围.【解析1】全分离kx3 -3x +1 n kx3 3x-1 (这里很多同学会把x3直接除到右边，为什么不能这样呢？是因为X3 的正负不确定，涉及到除过去要不要变号的问题，还有x3可能等于0，此时就不能除了，所以要分类讨论)3x -1(1) 当 x n k ； ( x正负不同，式子要变号，可以看到式子的形x 3式是一样的，所以可以放在后面一起研究)(2) 当 x = 时，kx3 -3x +1 n 1 ，成立；3x -1(
9、3) 当-1 x n k -时，f (x) ，f (x)单调递减，1当 x或x ，f (x)单调递增.(这里的单调区间是两个，不能看成连续的，否则画图时就会出错.这里还有一个问题，在x = 附近函数的走向趋势问题)当 x 且 T 时，f (x) -8当 x 1/ (x) = X3 - 0(一直是正)f (x)3 x 1 1X3 0(一直是负)所以 f (x) +8)当 X +8 时，f (X) 0，当 X 8 时，f (x) 0 .(这一步可以告诉学生:当x +8时，f (x)=3x 1 +85 +8(速度比分子快)一直是正，所以f (x) 0，反映在图像上是向右在x轴上方，无限靠近x轴当x
10、一8时，f (x)=3x 1 8x 3 -8(速度比分子快)所以f (x) 0，反映在图像上是向左在x轴上方，无限靠近x轴)1、， 一又f G) = 4，故可作出函数草图如下: 一3x 1一 3 x-1所以，当 0 x 1 时，k 2(飞厂)睥广 4,当1 x 0 时，k 0 n kx3 3x 1 n x3 (3x 1)(左边x3是一个三次函数，右边k13x 1是一个一次函数(前面一个可变的系数可以让直线绕着(3,0)旋转)，图像大家都可以搞定)1设f (x) = x3,g(x) = (3x 1)，在同一个坐标系内画出图像如下，考察x G 1,1时，f (x)的图像 k(红色)要在g 3)(黑色)的上方:1 ,一 一、由图像可以看出，f (x)与g(x)在第一象限相切时，k = 4, g(x) = 4(3x-1),(为保证红线要在黑 线的上方，g(x)应该顺时针旋转)，此时，第三象限，g(x)恰好过(-1，-1)点，为与f (x)的公共点.(为保证红线要在黑线的上方，g(x)应该逆时针旋转，最好只能不旋转了)综上，k = 4.说明：在kx3 - 3x +1 0 n kx3 3x-1这一步，如果左边保留x3，右边是3x-1，也可以处理，一 般直线的变化较为简单，所以大部分我们选择把参数留在一次函数这边.
