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1、2. 61双曲线的性质【学习目标】1. 理解双曲线的对称性、范围、定点、离心率、渐近线等简单性质.2. 能利用双曲线的简单性质求双曲线的方程.3. 能用双曲线的简单性质分析解决一些简单的问题【要点梳理】要点一、双曲线的简单几何性质x 2y 2双曲线一一m = 1(a0,b0)的简单几何性质 a 2b 2范围.三 1即x2 a2. x a或x 一a双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足 xa.对称性对于双曲线标准方程一一=1 (a0,b0), 把 x换成-x,或把y换成一y,或把x、y同时换成-x、-y, a 2 b2x 2y 2方程都不
2、变,所以双曲线一-： = 1 (a0,b0)是以X轴、y轴为对称轴的轴对称图形,且是以原点为对称中心 a 2 b 2的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。顶点 双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。 双曲线三-胃=1(a 0,b0)与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为a 2 b 2A1(-a, 0) ,A2( a , 0 )，顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。 两个顶点间的线段A|A2叫作双曲线的实轴；设B1 (0,-b), B2 (0, b)为y轴上的两个点，则线段B| B?叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为IAq2 I = 2 a, I BB2=2ba叫
3、做双曲线的实半轴长,b叫做 双曲线的虚半轴长。 双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。 双曲线的焦点总在实轴上。 实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。离心率2c c 双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作。= = 一。2a a 因为ca0，所以双曲线的离心率e = C 1。a由C2=a2+b2,可得bM :S1 =,丁1，所以b决定双曲线的开口大小，b越大，e也越a V a 2 aaa大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。 等轴双曲线a = b，所以离心率e =；2。渐近线经过点A2、AJ乍y轴的平行线X
4、=a,经过点B、B2作x轴的平行线y =b，四条直线围成一个矩形(如 图)，矩形的两条对角线所在直线的方程是y = bx。a我们把直线y = b x叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近但永不相交。 aIMN 1= -4x2 一 a 2 一 xabx +、： x 2 - a 2要点二、双曲线两个标准方程几何性质的比较标准方程x 2 y 2 一 一匕=1 (a 0, b 0) a 2 b 2y 2 x2 一一一y= 1 (a 0, b 0)a 2 b 2ky虫/p图形i t fPIt f I0X性质隹点 八、八、F(-c,0)，F(c,0)铲,-c), F(0, c)焦距I FF? I=
5、 2c (c = J a 2 + b 2)I FF21= 2c (c = J a 2 + b 2)范围(x x a, y e R(y y a， x e R对称 性关于X轴、y轴和原点对称顶点( a,0)(0, a)轴实轴长=2a，虚轴长=2b离心率e = c (e 1) a渐近 线方程y = bx ay = ax b要点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看X2、y2的系数，如果X 2项的系数是正的，那么焦点在X轴上;如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y轴上。对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上。要点三、
6、双曲线的渐近线(1 )已知双曲线方程求渐近线方程：X 2 y 2 一x 2 y 2 八 Xb若双曲线方程为一-一 = 1，则其渐近线方程为-2 = 0 n b =。n y = x已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”,然后因式分解即得渐近线方程。(2)已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为mx ny = 0，则可设双曲线方程为m 2 x 2 - n 2 y 2 =X，根据已知条件，求出入即可。x 2 y 2(3)与双曲线-9 = 1有公共渐近线的双曲线 a 2 b 2x2 y2 一x2 y2 人一一与双曲线云- =1有公共渐近线的双曲线方程可设为a_ -京=0)( X 0
7、,焦点在x轴上，人b0，ca0,且C2=b2+a2。x2y2一 .双曲线一一厂=1 (a 0,b 0)，如图: a 2b 2(1) 实轴长I A A 1= 2a，虚轴长2b，焦距I FF 1= 2c，1 21 2_ I PF II PFI IAF IIA F IcL b2(2) 离心率.e =1 =2=1- =2 2 = = 1 + n e 1 ； (I PM II PMI IAK IIA K Ia a2121 12 2(3) 顶点到焦点的距离:|AF| = |A F | = c-a，|AF |= |AF| = a + c ；1 1 11 2 21 1 21 2 1(4 ) APFF中结合定义
8、|PF |-PF | = 2a与余弦定理，将有关线段|PF|、|PF |、F F |和角结合起 1 212121 21来.(5)与焦点三角形APF1F2有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理(或勾股定理)、三角形 面积公式S=1 |PF|PF |sinZFPF相结合的方法进行计算与解题，将有关线段|PF|、|PF |、|FF |，APFF 2 厂 2，11 2有关角ZFPF结合起来，建立|PF|-|PF|、|PF|PF I之间的关系. 1212 r 121【典型例题】类型一:双曲线的简单几何性质例1.求双曲线16尤2 9y2 =144的实轴长和虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程
9、与离心率.【解析】把方程化为标准方程三-U = 1,由此可知实半轴长a = 3，虚半轴长b = 4,c = E2 + b2 = 5916.双曲线的实轴长2a = 6,虚轴长2b = 8,顶点坐标(0,-3), (0,3),焦点坐标(0,-5), (0,5),离心率e =，渐近线方程为y = x a 34【总结升华】在几何性质的讨论中要注意a和2a,b和2b的区别，另外也要注意焦点所在轴的不同，几何量也 有不同的表示.举一反三：【变式1】双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于()A.-汨.-4。C.4o D.144【答案】A小 3、【变式2】已知双曲线8kx 2-k y 2=2的
10、一个焦点为(0,),则k的值等于(x 2 y 2- x y焦点在y轴上)，则其渐近线方程为m - n=0习m 土 n=。习y= x.举一反三：【变式1】求下列双曲线方程的渐近线方程x 2 y 2(1)6-36 = 1 ； (2) x2 -2y2 = 8； (3)y2 -2x2 = 72【答案】(1)y = 2x ； (2) y = x ; (3) y = *2x【答案】3【变式2】(2015 北京)已知双曲线一-y2 = 1(a 0)的一条渐近线为J3x + y = 0,则a= a 2A.-2B.lC.-1D.-【解析】渐进线为百x + y = 0，.有-彳=，由双曲线的方程|2- y2 =
11、1得b=1,且a0.所以 0,b 0)的渐近线方程为y = -xy 2x 20,人 0，焦点在x轴上，X0,b 0 )的一条渐近线为2 x+y= 0 ,一个焦点 a 2 b 2为(5 ,0),则3=； b=.c =后【答案】依题意有 b，结合C2=a2+b2,解得a=1, b=2。-=2I a例3.根据下列条件，求双曲线方程。(1)与双曲线3 - 1y2 = 1有共同的渐近线,且过点(-3,2思)；(2)一渐近线方程为3x + 2y = 0，且双曲线过点M (8,6 2X2=1B.X2y224422X2=1D.X22C.【答案】A尤2 y 2【变式3】设双曲线一一=1 （。 0）的渐近线方程为
12、3尤 2y = 0,则a的值为129A. 4B.3 C2 D 1【答案】C尤2 y 2尤2 y 2【变式4】双曲线尸=1与=X （X 0）有相同的（）A.实轴B.焦点C.渐近线D.以上都不对【答案】C类型三:求双曲线的离心率或离心率的取值范围尤2 y 2例4.已知尸，尸是双曲线一-厂=1（。力0）的左、右焦点,过尸且垂直于X轴的直线与双曲线的左支1212 加1交于A、B两点，若AABF是正三角形,求双曲线的离心率。2【解析】VlFF l=2c, AABF是正三角形，1 22.-.I AF = 2c tan 30 =歪 c I AF = 2c tan 30 = * =1 32cos30 3._
13、. .4；323230.I AF I 一 I AF =c c =c = 2a ,2 1333e = C =君a【总结升华】双曲线的离心率是双曲线几何性质的一个重要参数，求双曲线离心率的关键是由条件寻求a、【解析】由双曲线的定义有：I AF I I AF I= 6,I BF I I BF I= 6，2121一一一 一 cc满足的关系式，从而求出e =匕a(I AF I + I BF I) (I AF I + I BF I) = 12.2211举一反三：【变式1】即(I AF I + I BF21)-1 ABI= 12I AF I + I BF I= 12+ I AB I= 20.故 AABF2
14、的周长L =I AF I + I BF+ I AB I= 28.【总结升华】双曲线的焦点三角形中涉及了双曲线的特征几何量在双曲线的焦点三角形中，经常运用正弦x 2y 22%3（1）已知双曲线a2 丘=1（a 0,b 0）的离心率e = ,3八、计 过点A（0，-b）和B（a,0）的直线与原点间的距离为项，求双曲线的万程.定理、余弦定理、双曲线定义来解题，解题过程中，常对定义式两边平方探求关系.一X 2【答案】(1) 土 y2 = 13X 2y 2举一反三:（2）求过点（-1,3），且和双曲线彳9 = 1有共同渐近线的双曲线方程.x 2 y 2【变式】已知双曲线的方程茶-1点A、B在双曲线的右支
15、上,且线段AB经过双曲线的右焦点C. a+mD. 2 a+ 4 m（2）等号=1x 2 y 2 一【变式2】（2015山东文）过双曲线C:七= 1（a0，b0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直a 2 a 2ABI=m，F1为另一焦点,则ABF1的周长为（A. 2a+2mB.4a+2m【答案】B线，交C于点P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为【变式2】已知F、F1-x 2y 22是双曲线亏一上=1的两个焦点,P在双曲线上且满足 EPJ32,则ZFPF =12x 2 y 2b【答案】90。【解析】双曲线云+ , = 1的右焦点为（c,o） .不妨设所作直线与双曲线的渐近线y = -x平行，其方
16、x2 y2a2 + c2 a2 + cd c ,代入 =1求得点P的横坐标为x = 2，由2 = 2“，得()2 4 +1 = 0，【巩固练习】一、选择题解之得C = 2 +3,C = 2-君（舍去，因为离心率C 1），故双曲线的离心率为2 +*. aaa【变式3】已知a、b、c分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距,且方程ax2+bx+c=0无实根,1.x 2.-= 1（2015广东）已知双曲线C :-a 2b25的离心率e =彳,且其右焦点为F2 （5, 0），则双曲线C的方程为（）则双曲线离心率的取值范围是（）A.1e5 -2B. 1 e2A.b. x222 = 19 16C.1e3“
17、 D1ve 0,b 0）的左右焦点，9 ，|PF1| |PF2| = 4ab，则该双曲线的离心率为（5B.3双曲线上存在一点P使得|PF1| + |PF2I4A 39C4D.33.双曲线与椭圆H + 64 =1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y 一，则双曲线的离心率为（）3 x 2 3 y 2C.二=1205二、填空题7.已知双曲线C：3b - 2a，A. x2 y2 = 96B. y2 %2 = 160C. x2 - y2 = 80d.y2 -%2 = 244. 过双曲线壬-专=1的右焦点F?作垂直于实轴的弦PQ,F1是左焦点，若ZPF1Q=9 0,则双曲线的离心率是（）A.2B.1+切
18、C.2+,0 D.3- J2x 2y 2 5. 已知双曲线一-；=1（aO,b0）的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的3倍，则双曲线a 2b 2的渐近线方程为（）A.y=：2 xoooB. y=2 0, b 0）的焦距为2%：5,且双曲线的一条渐近线与直线a 22x + y = 0垂直，则双曲线的方程为（y2,B. x2 -= 14D.x2 y2、 .一厂=1（a0,b0）的实轴长为2,离心率为2,则双曲线C的焦点坐标是a 2 b 2x2 y2 T . . x2T8. 椭圆丁 + =1与双曲线y2 =1焦点相同，则a =.4a 2a 2y 2一9. （2 0 15春黑龙江期末改编）与双曲
19、线x2-亍=1有共同的渐近线，且过点（2,2）的双曲线方程为y 210. （2 016浙江文）设双曲线x 2 3 = 1的左、右焦点分别为F,F2.若点P在双曲线上，且FPF2为锐角三角形，则IPF1I+ I PF2 I的取值范围 .三、解答题11.设F1,F2分别为双曲线云-b = l（a0，b0）的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P，满足 PF2 = FF2，且F2到直线PF】的距离等于双曲线的实轴长，求该双曲线的渐近线方程.x 2 y 212 .设双曲线-b- = 1 （0 ab）的半焦距为c，直线l过（a,0） ,（0,b酒点.已知原点到直线l的距离为0，b0）过点A（抵4, 3），
20、且点A到双曲线的两条渐近线的距离的积为|. 求此双曲线方程.x 214 .已知双曲线彳-y2 = 1的两个焦点分别为F、F,点p在双曲线上且满足ZFPF2 = 90,求AFPF2的 面积.x 2 y 2 ,15.如下图，已知F1,F2是双曲线 云-b- = 1 （a 0 ,b0）的两焦点，以线段FF2为边作正三角形MF 1F2, 若边MF】的中点在双曲线上，求双曲线的离心率【答案与解析】1. 【答案】:C c 5【解析】由双曲线右焦点为F2 （5,0）,则c=5，L e = = 丁，a=4a 4x 2 y 2,Ab2=c2-a2=9,所以双曲线方程为16顶=12. 【答案】：B【解析】：由双曲
21、线的定义得PF-IPFzI/aJ不妨设该点在右支上）IPF1 I +IPF2I=3 b ,所以|PFI=2a : 3b ,| pf |= 222两式相乘得-=ab。结合c2 = a2 + b2得一=,44a 3故e = 5,故选B。【解析】：由题意得:3. 【答案】：D【解析】：设双曲线方程为y2 -工2 = X。0)焦点(0,4亏)，.人 0,又2X = (4*)2,人=244. 【答案】：Bc 2 v 2b :【解析】：因为PF2 I = I F2FI,P点满足-匕=1,v =、如-a2 ,. 2c = bc2 一a2 ,即 2ac=b2=c 2- a 2 a. 2 = e-！,故 e=1
22、+*2 .e5.【答案】：B【解析】：如图，分别过双曲线的右顶点A,右焦点F作它的渐近线的垂线,8、C分别为垂足，则 OBAAOCF,OA AB _ 1OF FC 3-=22， a故渐近线方程为：V = 22x .6. 【答案】：Ab 1x 2 v 2 一【解析】由题意得c =，；5, = 2 n a = 2,b =1 n 一 i =】,选A7.【答案】:(2, 0)ca= 1,e=、= 2,所以c=2,又由标准方程可得焦点在x轴上，所以焦点坐标为V 2【解析】设双曲线方程为X2 土 = k，X 2 V 2-因为双曲线过点(2, 2 )，所以k=3,所以双曲线的方程为一 12 = 1 o10.
23、【答案】(2 3,8)【解析】由已知a=1,b = V3,c=2，则e = | = 2，设P(x,y)是双曲线上任一点，由对称性不妨设P在右支上， 则 1IF1F 212,即(2x+1)2+(2x-1 )242，解得 x 7，所以 g7 x 2，I PF I +1 PF I= 4x e (2、；7,8)11. 【解析】:过 F 作 FAPF 于 A,由题意知 FA=2 a，FF =2c,则 AF = 2b, PF = 4b，而 PF PF22121 21112=2 a，.4 b2 c = 2a，c =2b- a，c2=(2 b -a)2,I ，-a 2+b2 =4 b 2-4ab+ a 2,解
24、得一=，a 3- o aT i.双曲线的渐近线方程为V = 3x .12. 【解析】：由已知,l的方程为ay+bx-ab=0,原点到1的距离为号c，则有 了竺瓦=-4-c,又 c2=a2+ b 2, 二 4ab = u3c2，两边平方，得 16 a2(c2-a2) = 3 c 4.两边同除以a4并整理得3e4 16e2+16 = 0，.e2=4或e2 = |.(2,0).8.【答案】：b , b 2 a 2 + b 2 1, 1 ,得 e2 =1 + 2 ,a a 2a 2a 2.2=4，故 e=2 .【解析】；由题意得4 a 2 =a2+ 1 ,2 a2=3,a= .x 2v 2/5 .因此IT7/7 I=2c = 2j5 . 1 2由于双曲线是对称图形，如图所示, 一、窿-设P点坐标为（X，寸和-1），24得x2 = nS2)解法二:(IPF 1-1PFJ)2=4a2=l 6 , 1 z又由勾股定理得IPFJ2+ | PF|2=(2c)2=20,11AIPFJ | PF2I=-IPFi I 2+ | PF2l2-(IPFi I -IPFJ)-(20-16) =2, AA1 5 .【解析】：设的中点为P,在RtAPMF, PF2 I= MF I- s i n60= 2 c- = 3 c .又由双曲223-1 c 2线的定义得El号所以
