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1、第六章,一阶电路(First-Order Circuits),一阶电路的零输入响应、零状态响 应和全响应求解,本章重点,动态电路方程的建立及初始条件的 确定,动态电路的方程和初始条件 一阶电路的零输入响应 一阶电路的零状态响应 一阶电路的全响应 一阶电路的阶跃响应 一阶电路的冲激响应,主要内容,一、动态电路的方程和初始条件,1动态电路(dynamic circuits),定义：含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。,特点：当动态电路状态发生改变时（换路）需要经 历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这 个变化过程称为电路的过渡过程。,K未动作前，电路处于稳定状态,i=0,uC=0,i=0,uC
2、=Us,K接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态,前一个稳定状态,过渡状态,新的稳定状态,?,有一过渡期,电容电路,K未动作前，电路处于稳定状态,i=0,uL=0,uL=0,i=Us/R,K接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态，电感视为短路,前一个稳定状态,过渡状态,新的稳定状态,?,有一过渡期,电感电路,2动态电路的方程,应用KVL和电容的VCR得：,若以电流为变量：,应用KVL和电感的VCR得：,若以电感电压为变量：,一阶电路,二阶电路,描述动态电路的电路方程为微分方程；,结论：,动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数.,一阶电路:,一阶电路中只有一个动态元件,描述
3、电路的方程是一阶线性微分方程。,动态电路的分类：,二阶电路:,二阶电路中有二个动态元件,描述电路的方程是二阶线性微分方程。,高阶电路:,电路中有多个动态元件，描述电路的方程是高阶微分方程。,换路时电容上的电压，电感上的电流不能跃变,3换路定律,由于物体所具有的能量不能跃变，因此，在换路瞬间储能元件的能量也不能跃变即,uC，iL不能跃变,t=0:表示换路时刻(计时起点)；t=0-:表示换路前的终了瞬间；t=0+:表示换路后的初始瞬间,换路定律：,4.初始条件(initial condition),概念：,初始条件：变量及其各阶导数在t=0+时的值,独立变量：变量及其初始值不能用其它变量 和初始值
4、求出如，uC和iL非独立变量：变量及其初始值可以用独立变 量和初始值求出指电路中除 uC和iL的其他变量,先由t=0-的电路求出 uC(0)、iL(0)；根据换路定律，求出独立变量初始值 uC(0+)和iL(0+)；将电容用电压源代替，其值为uC(0+)，将电感用电流源代替，其值为iL(0+)，画出0+时刻等效电路图;根据0+时刻等效电路图，用线性稳态电路的分析方法求出所需要的非独立变量初始值,确定初始值的方法：,t=0 时将开关K闭合，t0时电路已达稳态，试求各元件电流、电压初始值,t0时电路已达稳态，电容相当于开路,例1,解,t=0+的等效电路如下图(b)所示,0+时刻等效电路,t=0时闭
5、合开关，试求开关转换前和转换后瞬间的电感电流和电感电压。,开关闭合前电路稳态，电感相当于短路,例2,解,t=0时闭合开关，0+时刻等效电路如下图(b)所示,0+时刻等效电路,所以:,二、一阶电路的零输入响应,定义：电路的输入为零，响应是由储能元件所储存的能量产生的，这种响应称为零输入响应(source-free response),主要内容：RC电路的零输入响应 RL电路的零输入响应,RC电路的零输入响应,图(a)中的开关原来连接在1端，电压源U0通过电阻Ro对电容充电，假设在开关转换以前，电容电压已经达到U0。在t=0时开关迅速由1端转换到2端。已经充电的电容脱离电压源而与电阻R并联，如图(
6、b)所示。,由换路定理得：,电阻的电流为：,由KCL和VCR得：,由KVL得：,这是一个常系数线性一阶齐次微分方程。其通解为:,由式:,其解为:,称为特征根(电路的固有频率)。,得到特征方程:,于是电容电压变为:,A是待定常数，由初始条件确定。,根据初始条件:,求得:,当t=0+时上式变为:,电流方面：,电路的零输入响应曲线,令=RC，具有时间的量纲，称它为RC电路的时间常数，的大小反映了电路过渡过程时间的长短。,总结：,电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；,响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关；,大 过渡过程时间长,小 过渡过程时间短,的物理意义,电压初值一定：,R 大（C
7、一定）i=u/R 放电电流小,放电时间长,C 大（R一定）W=Cu2/2 储能大,当 时,时间常数 等于电压Uc衰减到初始值U0的36.8%所需的时间。,动态过程时间(暂态时间)的确定,理论上认为、电路达稳态.,工程上认为、电容放电基本结束。,随时间而衰减,能量关系,电容不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕.,设uC(0+)=U0,电容放出能量：,电阻吸收（消耗）能量：,在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，由此得到,已知电容电压uC(0-)=6V。t=0闭合开关，求t 0的电容电压和电容电流。,例1,解,将连接于电容两端的电阻网络等效于一个电阻，其电阻值为,得到图(b)所示电路，,其时间常数
8、为,由,得到,RL电路的零输入响应,电感电流原来等于电流 I0，电感中储存一定的磁场能量，在 t=0 时开关由1端倒向2端，换路后的电路如图(b)所示。,电路如下图,(a),(b),换路后，由KVL得,代入电感VCR方程,得到以下一阶线性齐次微分方程,这个微分方程其通解为,代入初始条件iL(0+)=I0求得,令，则电感电流和电感电压的表达式为,RL放电电路的波形,电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；,响应与初始状态成线性关系，衰减快慢与有关；,大 过渡过程时间长,小 过渡过程时间短,能量关系：,电感不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕.,电感放出能量：,电阻吸收（消耗）能量：,电路
9、如图所示，K合于已很久，t=0 时K由 合向，求换路后的,换路前电路已稳定，由换路定律可得：,例1,解,从L两端视入的等效电阻为,换路后电路为零输入响应,时间常数为：,零输入响应为：,小结,一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的 响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。,衰减快慢取决于时间常数 RC电路：=RC,RL电路：=L/R R为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。,列方程：,非齐次线性常微分方程,解答形式为：,齐次方程通解,非齐次方程特解,零状态响应：电路的初始状态为零，由外加激励引起的响应，称为零状态响应(zero-state response)。,三、一阶电路的零状态响应
10、,RC电路的零状态响应,与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解,变化规律由电路参数和结构决定,全解,uC(0+)=A+US=0,A=US,由初始条件 uC(0+)=0 定积分常数 A,的通解,的特解,电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：,从以上式子可以得出：,连续函数,跃变,稳态分量（强制分量）,暂态分量（自由分量）,+,响应变化的快慢，由时间常数RC决定；大，充电慢，小充电就快。,响应与外加激励成线性关系；,能量关系,电容储存：,电源提供能量：,电阻消耗:,电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。,例,t=0时,开关K闭合，已知 uC（
11、0）=0，求（1）电容电压和电流，（2）uC80V时的充电时间t。,解,(1)这是一个RC电路零状态响应问题，有：,（2）设经过t1秒，uC80V,当t=0时开关K闭合，其电感电流和电感电压的计算如下：,根据KVL,有,又,所以,RL电路的零状态响应,这是一阶常系数非齐次微分方程，其解答为：,例1,t=0时,开关K打开，求t0后iL、uL的变化规律。,解,这是一个RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：,例2,t=0时,开关K打开，求t0后iL、uL的及电流源的端电压。,解,这是一个RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：,全响应：由储能元件的初始储能和激励电源共同引起的响应，称为全响应(co
12、mplete response)。,四、一阶电路的全响应,解答为 uC(t)=uC+uC,uC(0)=U0,以RC电路为例，电路微分方程：,=RC,全响应,uC(0+)=A+US=U0,A=U0-US,由起始值定A,全响应的两种分解方式,强制分量(稳态解),自由分量(暂态解),全响应=强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解),（1）着眼于电路的两种工作状态,物理概念清晰,全响应=零状态响应+零输入响应,零状态响应,零输入响应,(2).着眼于因果关系,便于叠加计算,例1,t=0时,开关K打开，求t0后的iL、uL,解,这是一个RL电路全响应问题，有：,零输入响应：,零状态响应：,全响应：,或求出稳
13、态分量：,全响应：,A=4,例2,t=0时,开关K闭合，求t0后的iC、uC及电流源两端的电压。,解,这是一个RC电路全响应问题，有：,稳态分量：,全响应：,A=10,三要素法分析一阶电路,一阶电路的数学模型是一阶微分方程：,令 t=0+,其解答一般形式为：,分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题,用0+等效电路求解,用t的稳态电路求解,直流激励时：,三要素,解,例2,t=0时,开关闭合，求t0后的iL、i1、i2,解,三要素为：,应用三要素公式,三要素为：,例3,已知：t=0时开关由12，求换路后的uC(t)。,解,三要素为：,例4,已知：t=0时开关闭合，求换路后的电流i(t)。,解
14、,三要素为：,已知：电感无初始储能 t=0 时合k1,t=0.2s时合k2 求两次换路后的电感电流 i(t)。,0 t 0.2s,t 0.2s,解,(0 t 0.2s),(t 0.2s),五、一阶电路的阶跃响应,在前面的讨论中，我们看到直流一阶电路中的各种开关，可以起到将直流电压源和电流源接入电路或脱离电路的作用，这种作用可以描述为分段恒定信号对电路的激励。随着电路规模的增大和计算工作量增加，有必要引入阶跃函数来描述这些物理现象，以便更好地建立电路的物理模型和数学模型，也有利于用计算机分析和设计电路。,1(t-t0),一、阶跃函数,单位阶跃函数1(t)的定义为,k1(t),1,k,t0,1,1
15、(-t),开关电路可以等效为阶跃信号作用于该电路。,二、阶跃响应,阶跃响应：阶跃信号作用下电路的零状态响 应，称为电路的 阶跃响应.,单位阶跃响应：单位阶跃信号作用下电路的 零状态响应，称为电路的单 位阶跃响应.,单位阶跃响应用符号s(t)表示.,单位阶跃响应用可以用三要素公式求解.,利用三要素公式得到电感电流iL(t)的阶跃响应如下所示：,时间常数：=RC 或=L/R。,已知电路的阶跃响应，利用叠加定理容易求得在任意分段恒定信号激励下线性时不变电路的零状态响应，例如图(b)所示信号作用图(a)所示RC串联电路时，由于图(b)所示信号可以分解为下面所示的若干个延迟的阶跃信号的叠加。,其电容电压
16、uC(t)的零状态响应可以表示为：,由图(b)知，,用阶跃电流源表示图所示的方波电流，求解电路中电感电流的响应，并画出波形曲线。,图示方波电流，用两个阶跃函数表示：iS(t)=101(t)-101(t-1ms)mA,例1,解,该电路是线性电路，根据动态电路的叠加定理，其零状态响应等于10 1(t)和-10 1(t-1ms)两个阶跃电源单独作用引起零状态响应之和。,1.阶跃电流源101(t)mA单独作用时，其响应为：,2.阶跃电流源-101(t-1ms)mA单独作用时，其响应为：,3.应用叠加定理求得101(t)和-101(t-1ms)共同作用的零状态响应为；,分别画出 和 的波形，如曲线1和2
17、所示。然后它们相加得到iL(t)波形曲线，如曲线3所示。,图示零状态电路，激励为E=10V，脉冲宽度为的脉冲函数，试求输出电压uC(t)，并画出波形曲线。,前例已经用分段方法解过此题即,例2,解,此题也可以用阶跃函数表示法求解此时激励为：,uS(t)=10 1(t)-1(t-1ms)V,该电路是线性电路，根据动态电路的叠加定理，其零状态响应等于10 1(t)和-10 1(t-1ms)两个阶跃电源单独作用引起零状态响应之和。,1.阶跃电流源10 1(t)mA单独作用时，其响应为：,2.阶跃电流源-10 1(t-1ms)mA单独作用时，其响应为：,3.应用叠加定理求得101(t)和-101(t-1
18、ms)共同作用的零状态响应为：,其波形如右图所示用第二种解法，当 t=时，,当时，,当时，,(a),(b),(c),(d),定义：,六、一阶电路的冲击响应,一、单位冲击函数,1(t)与(t)的关系：,(t)的筛分性质：,二、冲击响应,冲击信号作用下电路的零状态响应，称为电路的 冲激响应.,如果电路的激励是冲击信号，那么此电路是跃变电路因此，换路定律不成立这样就不能用换路定律求初始值，进而也不能直接应用三要素公式这里介绍一种利用单位阶跃响应求解冲击响应的方法,单位冲击信号作用下电路的零状态响应，称为电路的单位冲击响应，用符号h(t)表示。,冲击响应的求解步骤：,把电路的冲击激励换为1(t)，这时
19、电路是非跃变电路，可以用前面所学过的方法求s(t).,根据h(t)=s(t)，求出h(t).,若激励为k(t)，则所求响应为kh(t).,下面讨论RC和RL电路的冲击响应,那么，在(t)作用下,将(t)换为1(t)，则,1.RC电路,那么，,将(t)换为1(t)，则,2.RL电路,可以看出，在冲击激励(t)作用下，uC(或 iL)在 0 时刻有跃变，而 iC(或 uL)在 0 时刻会有冲击,电路如图所示，试求电感电流和电感电压的阶跃响应和冲激响应。,例1,电路的激励是冲击函数，电路是跃变电路1(t)作用时,(t)作用时,电感电压uL(t)的单位冲激响应,k(t),1(t),解,激励k(t)所产生的响应,波形曲线如右图所示,电感电压的冲激响应也可以用三要素法先求出电感电压uL(t)的阶跃响应,然后再对时间求导得到电感电压uL(t)的冲激响应,电路如图所示，试求零状态电路对冲击激励的响应uC(t)。,先用三要素法求电容电压uC(t)的阶跃响应.,例2,解,故,电容电压的单位冲击响应,电路对2(t)产生的响应,
