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1、直线与圆锥曲线的位置关系,焦半径公式,椭圆,双曲线,抛物线,特别地，抛物线的焦点弦长为,返回,P在右支上,4、直线与抛物线的位置关系(直线斜率存在),知识指要,抛物线,例：如图所示，过双曲线 的右焦点F2,倾斜角为 30的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|,A,B,点差法:,验证：,N,M,（2）假设存在这样的弦，,不存在这样的弦,k不存在显然不合题意,设弦所在的直线方程为：,并且交双曲线于C(x1,y1),D(x2,y2）,（3）点差法求方程要注意检验:如果点在双曲线内部（图中的阴影部分），那么以该点为中点的弦一定存在.如果点在双曲线外部（图中的另外部分），那么以该点为中点的弦不一定存在，
2、必须检验.,x,o,y,例.中心在原点一个焦点为的椭圆的截直线所得弦的中点横坐标为，求椭圆的方程,椭圆测试-10、12,解：设所求椭圆的方程为由得把直线方程代入椭圆方程，整理得 设弦的两个端点为，则由根与系数的关系得 又中点的横坐标为由此得,解、得：,变式2：已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,求该抛物线的准线方程.,法一【解】:设A(x1,y1),B(x2,y2),AB：y=x-,代入y2=2px得:y2-2py-p2=0,y1+y2=2p,由题意知：y1+y2=4,p=2,抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1
3、.,变式2：已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,求该抛物线的准线方程.,法二【解】:设A(x1,y1),B(x2,y2),y12=2px1,y22=2px2,两式相减得：p=2,抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.,椭圆 的两个焦点为F1、F2，过左焦点作直线与椭圆交于A，B 两点，若直线AB的倾角为30度，求 AB F2 的面积。,例2优化154页-3,法一：利用,d,联立方程组,d=2,过 作到直线AB的垂线,设距离为d,法二：利用,|AB|=,直线和圆锥曲线的位置关系,例2：是否存在 使直线 与曲线相交于
4、A、B 两点，且以AB 为直径的圆过原点？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由,解：设,以AB 为直径的圆过原点,把 代入 化简得：,由韦达定理得：,1,求圆锥曲线的最值常用哪些方法？,思考：,例1 选择题 1）点P在抛物线y2=x上，定点A(3,0),则|PA|的最小值是（）,方法一：（建立目标函数）设P（x,y)则y2=x.,B,2,变式 1）若P为抛物线y2=x上一动点，Q为圆（x-3)2+y2=1 上一动点，则|PQ|的最小值为_,见图,4,例3 求点 到椭圆 上点的最大距离，并求出此时椭圆上的点的坐标。,本题可以根据椭圆的方程设出满足条件的点的坐标，然后根据两点间的距离公式借助
5、于二次函数求出此最大值，并求出点的坐标。,分析：,椭圆的参数方程,椭圆+=1的参数方程为:,应用:用作三角代换,把关于x、y的二元函数 转化为一元的三角函数.,思考：我们能否通过椭圆的参数方程去求？,1、,练习2：,解：,设点P的坐标为(x,y),则点P到直线L的距离为,例2 如图,已知点P在椭圆x2+8y2=8上,求点P到直线L:x y+4=0 距离的最大、最小值.,例2 如图,已知点P在椭圆x2+8y2=8上,求点P到直线L:x y+4=0 距离的最大、最小值.,x,y,L,P,解法二：,过点P作平行于L的直线L,当直线L平移至与椭圆相切的位置时点P到直线L:x y+4=0 距离达到最大、
6、最小值.,L1,L2,L,设L的方程为：,x y+m=0,由：,得：,9x2+16mx+8(m2 1)=0,由=0 得：,m=3,当m=3时：,d=,当m=3时：,d=,例3 设P为抛物线 y=x2上的一动点，求P点到直线L:3x-4y-6=0的距离的最小值。,解法1:设P（x,x2),P到直线L:3x-4y-6=0的距离d。,8,解法二：当L平移到与抛物线y=x2只有一个公共点时,设此时的直线为L1，其方程为3x-4y-b=0。则L与L1的距离即为所求。,见图,复习：两平行线L1:Ax+By+C 1=0,L 2:Ax+By+C 2=0 的距离 d=_,9,圆锥曲线中的最值问题,换 元 法,判
7、别式法,圆锥曲线中的最值问题,如图所示，（1）抛物线焦点为F(1,0)，准线方程为x=-1.P点到准线x=-1的距离等于P点到F(1,0)的距离,问题转化为:在曲线上求一点P，使点P到A（-1,1）的距离与P到F（1，0）的距离之和最小.显然P是AF的连线与抛物线的交点,最小值为|AF|=.,设P是抛物线y2=4x上的一个动点.(1)求点P到点A（-1，1）的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值;,优化151页-例1,已知定点M（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点，在此抛物线上求一点P，使|PM|+|PF|取得最小值，求点P的坐标,抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等。,即|PF
8、|=|PN|,|PM|+|PF|=|PM|+|PN|,当 M、P、N三点共线时距离之和最小。,练习2：,如图，由抛物线的定义：,分析：,解：,如图所示,例1、已知：动点P在抛物线x2=4y上，点A（12，6），则P到A的距离与到x轴的距离之和的最小值是多少？,P,F,G,H,简析:,应用抛物线的几何性质，将P到x轴的距离 转化 成到准线的距离，,进而 转化 成到焦点的距离。,Pmin,A,Mmax,Mmin,简析:,应用三角形的三边关系，即可求得取得最值时的M点的位置。,利用圆锥曲线的定义将折线段和的问题化归为平面上直线段最短来解决.,取值范围156页-3155页-例3,例1：已知抛物线y2=
9、4x，以抛物线上两点A(4,4)、B(1,-2)的连线为底边的ABP，其顶点P在抛物线的弧AB上运动，求：ABP的最大面积及此时点P的坐标。,动点在弧AB上运动，可以设出点P的坐标，只要求出点P到线段AB所在直线AB的最大距离即为点P到线段AB的最大距离，也就求出了ABP的最大面积。,*解题过程如下：,*分析：,d=,例题一,给定双曲线.(1)过点A(2,1)的直线l与双曲线交于两点M,N,如果A点是弦MN的中点,求l的方程.(2)把点A改为(1,1).具备上述性质的直线是否存在,如果存在求出方程,如果不存在,说明理由.,4x-y-7=0,不存在,例1.双曲线（1）过它的右焦点 作倾斜角 为的
10、弦，求；（2）过 的直线与双曲线交于，求 中点的轨迹方程.,法一：,（2）法一（分析）：当直线 的斜率不存在时，中点为,当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为,法二：设，中点,解：（1）由题意知 椭圆方程为,（3）法一：在椭圆上，设,，,法二：的方程为,三、课堂小结：,1.直线和圆锥曲线的位置关系可以通过判断两方程组成的 方程组消去某个变量后所得方程根的情况来研究，特别要 注意对最高次项系数的讨论；2.平行于抛物线对称轴的直线与抛物线仅有一个交点；平行于双曲线渐近线的直线与双曲线仅有一个交点；3.直线被圆锥曲线所截得的弦长=；涉及到焦点弦的问题，还可以利用圆锥曲线的统一定义来 研究,直线和圆锥
11、曲线的位置关系,圆锥曲线与直线的关系,利用判定圆锥曲线与直线的位置关系：,椭圆：=0是直线与椭圆只有一个交点的充要条件.,双曲线：=0或直线平行于渐近线时仅有一个交点.,抛物线：=0或直线与对称轴平行时仅有一个交点.,当0时，直线与圆锥曲线无交点，,当0时，直线与圆锥曲线有两个交点.,圆锥曲线弦的中点是圆锥曲线常见题型：,常常用到违达定理，一般地，如果K为弦AB的斜率,点p（x0,y0),为弦AB的中点，则：,椭圆,有：,双曲线,有：,抛物线,y2=2px,有：,相关习题,经典习题,1.过（0，2）的直线与抛物线仅有一个交点，则,满足条件的直线L共有 条.,设直线L为y=kx+2,联立方程得：
12、k2x2+4(k-1)x+4=0,k=0时有一公共点,k0时，由=0得一解；当L垂直x轴时，适合题意，共三解,2.直线y=2x+m与椭圆,有两个交点，,则实数,m的取值范围.,联立方程组得40 x2+36mx+9m2-36=0.由0,得,3.不论k为何实数，直线y=ax+b与椭圆 总有,公共点，则实数b的取值范围是.,运用数形结合思想，由题意，点（o,b)在,椭圆 上或内部.,三,（答案）,（答案）,（答案）,-2,2,提示：,提示：,提示：,（1）直线y=x+3与曲线 交 点个数（）A、没有交点 B、中有一个交点 C、有两个交点 D、有三个交点,拓展延伸,（2）直线L:y=x+4平移过程中与
13、椭圆 交点情况如何？,学生分组讨论探讨，老师归纳总结,问题二、已知直线L：y-kx-1=0（kR）与椭圆，求证L与椭圆恒有公共点。,法一：用判别式法（代数法）,法二：由于直线L过定点（0，1）在椭圆内，故L 与椭圆相交。,问题一改编,改编1、问题二中直线l y-kx-1=0（kR）与椭圆 恒有公共点，求m的取值范围；,分析：依题意知直线过定点（0，1）且点在椭圆上或内部，即,例已知椭圆 与直线 相交于 两点，是的 中点若，斜率为（为原点），求椭圆方程,分析：本例是一道综合性比较强的问题，求解本题要利用中点公式求出点坐标，从而得的斜率，另外还要用到弦长公式：,解：由方程组,消去 整理得：,即：,解得,所求的椭圆方程为,
