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1、第五节 二次函数、函数与方程、函数模型及其应用,1.理解并掌握二次函数的图象、性质，会求二次函数的最值，能用二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的相互关系解决有关问题.2.结合函数图象，了解函数的零点与方程的根的联系，能够用二分法求相应方程的近似解.,3.了解幂函数、指数函数、对数函数的增长特征，了解函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)在社会生活中的应用，会用这些模型解决简单的实际应用问题.,1.二次函数与一元二次方程、二次不等式是中学数学主要的运算载体，是解决问题的主要方法，很多问题最终都要化归到这方面解决.2.函数零点及二分法是新课标中的新增内容，是高考常考点.3.函数
2、模型的应用是理论与实践结合的需要，顺应时代的发展，是高考热点.,4.零点问题一般以选择、填空形式考查，难度不大，为低中档题；函数模型应用主要以解答题的形式考查，难度稍大，为中等偏上难度.,二次函数、函数模型及其应用高考指数:1.(2012重庆高考)设函数f(x)=x2-4x+3，g(x)=3x-2，集合M=xR|f(g(x)0，N=xR|g(x)2，则MN为()(A)(1，+)(B)(0，1)(C)(-1，1)(D)(-，1),【解题指南】根据指数函数的性质及二次不等式的解法进行计算.【解析】选D.f(g(x)=(3x-2)2-4(3x-2)+30,解得3x5或3x3,即xlog35或x1,又
3、g(x)=3x-22,解得xlog34,所以MN为(-,1).,2.(2011福建高考)若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()(A)(-1,1)(B)(-2,2)(C)(-，-2)(2，+)(D)(-，-1)(1，+)【解题指南】方程x2+mx+1=0若有两个不相等的实数根，需满足其判别式=m2-40，由此即可解得m的取值范围.【解析】选C.方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，需判别式=m2-40，解得m2或m-2.,3.(2010湖南高考)函数y=ax2+bx与(ab0，ab)在同一直角坐标系中的图象可能是(),【解析】选D.在A中由抛物线的开
4、口方向得到a0，由抛物线与x轴的另一个交点知01，A不正确.在B中由抛物线的开口方向得到a1，B不正确.,在C中由抛物线的开口方向得到a1，此时对数函数应该单调递增，C项错误.在D中由抛物线的开口方向得到a0，由抛物线与x轴的另一个交点知-1,得到 1，此时得到对数函数单调递减，D项正确.,4.(2012江苏高考)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,bR)的值域为0,+)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m,m+6)，则实数c的值为_【解题指南】以一元二次不等式的解法为主，兼顾二次方程的判别式、根的存在性及二次函数的图象与性质等知识.解题关键是不等式解集的端点是对应方程的两根.,【解析】
5、由题意a2-4b=0，所以f(x)c,可换为x2+ax+-c0,答案：9,5.(2011湖北高考)里氏地震M的计算公式为：M=lgA-lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为_级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_倍.,【解题指南】“在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001”，即A0=0.001,A=1 000时，求M；第二问可将里氏地震M的计算公式用A0、A9、A5表示后，再求解.,【解析】当A0=0.001,
6、A=1 000时，M=lgA-lgA0=lg1 000-lg0.001=lg106=6；设9级地震最大振幅是A9，5级地震的最大振幅是A5，则9=lgA9-lgA0，5=lgA5-lgA0所以lgA9-lgA5=4，即答案：6 10 000,函数与方程高考指数:6.(2011新课标全国卷)在下列区间中，函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为(),【解题指南】结合函数f(x)的单调性，将4个选项中涉及的端点值代入函数f(x)的解析式，零点所在的区间必在使得端点函数值异号的区间内.【解析】选C.f(x)是R上的增函数且图象是连续的，又f(x)定在(,)内存在唯一零点.,7.(2010福建高
7、考)函数f(x)=的零点个数为()(A)0(B)1(C)2(D)3【解析】选C.f(x)=绘制出图象大致如图，所以零点个数为2.,【方法技巧】关于判断函数零点个数的方法总结(1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点.(2)画出函数y=f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，进而判定零点的个数.(3)结合单调性，利用f(a)f(b)0,可判定y=f(x)在(a,b)上零点的个数.(4)转化成两个函数图象的交点问题.,8.(2010浙江高考)已知x0是函数f(x)=的一个零点.若x1(1，x0)，x2(x0，+)，则()(A)f(x1)0，f(x2)0(B)f(x1)0，f(x2)0(C
8、)f(x1)0，f(x2)0(D)f(x1)0，f(x2)0【解析】选B.y=2x与y=在(1,+)上都为增函数，所以f(x)=2x+在(1,+)上单调递增，因为f(x0)=0，x1x0,所以f(x1)0.,9.(2010天津高考)函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是()(A)(-2,-1)(B)(-1,0)(C)(0,1)(D)(1,2)【解析】选C.f(x)=ex+x-2,f(0)=-10,故选C.,10.(2012北京高考)已知f(x)=m(x-2m)(xm3)，g(x)=2x-2.若xR，f(x)0或g(x)0，则m的取值范围是_.【解析】当x1时，g(x)0；当x1时，g
9、(x)0，只需f(x)0，易知m=0时，不成立，所以解得-4m0.综上,-4m0.答案：-4m0,11.(2011福建高考)商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(ba)以及常数x(0 x1)确定实际销售价格c=a+x(b-a)，这里，x被称为乐观系数.经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x的值等于_.,【解题指南】(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项(c-a)2=(b-c)(b-a)，将c=a+x(b-a)代入上式，化简整理可得关于x的方程，解方程即可.,【解析】由题意得
10、：(c-a)2=(b-c)(b-a)，c=a+x(b-a),将其代入上式，得a+x(b-a)-a2b-a-x(b-a)(b-a)x2(b-a)2=(b-a)2(1-x)，ba,b-a0,x2=1-x,即x2+x-1=0,解得又0 x1,x=.答案：,12.(2010全国)直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个交点，则a的取值范围是_.【解析】方法一：如图，在同一直角坐标系内画出y=1与曲线y=x2-|x|+a的图象,观察图象可知，a的取值必须满足解得1a.,方法二：由x2-|x|+a=1得(|x|-)2=-a+，作出y=(|x|-)2的图象如图所示.故当0-a+,即1a 时，(|x|-)2
11、=-a+有四个解，即直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个交点.答案：1a,【误区警示】利用数形结合思想研究函数的零点(方程的根)、曲线交点问题，要注意以下两个方面(1)在去掉绝对值时要格外注意绝对值里面数值符号的变化.(2)在画图象时要考虑到端点等特殊情况.,函数与方程【典例1】(2012北京高考)函数f(x)的零点个数为()(A)0(B)1(C)2(D)3,【解题视角】由题目获取已知信息并分析如下：(1)已知信息：f(x)解析式中含有两个函数题目要求判断函数f(x)的零点的个数.(2)信息分析：利用函数与方程思想,把函数零点个数问题化为方程解的个数问题,再转化为两个函数图象的交点个数问
12、题.,【解题流程】选B.函数f(x)的零点个数，是方程=0的解的个数，是方程 的解的个数，也就是函数 与y=()x的图象的交点个数.在同一坐标系中作出两个函数的图象，可得交点个数为1.,【命题人揭秘】命题规律：纵观历年来高考试题，该高频考点的考查内容主要有：(1)已知函数判断零点的个数，所在区间，求函数零点.(2)利用函数零点及函数对应的方程解决综合性问题等.此类问题经常以选择题、填空题的形式考查，一般为中档难度.由于该部分知识为新课标新增内容，所以是高考考查热点.,备考策略：函数、方程是解决数学问题的两个重要工具，是高考复习的重点，零点问题将二者结合在一起，是高考的新增考点.在训练时(1)要
13、强化训练零点求法，函数与方程的转化技巧；(2)会结合图象利用数形结合判断零点个数、零点所在区间.考查函数性质与方程根与系数关系的综合应用题，一般难度较大，在复习中要有所准备，但题量不必太大.,创设新情境多方面考查学生探索能力【典例2】(2010北京高考)如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动.设顶点P(x,y)的轨迹方程是y=f(x)，则函数f(x)的最小正周期为_；y=f(x)在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为_.,说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动.沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺
14、时针旋转，如此继续.类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动.,【解题视角】由题目获取已知信息并分析如下：(1)已知信息：正方形PABC边长为1，函数y=f(x)为正方形顶点P(x,y)的轨迹方程.正方形沿x轴正方向滚动.先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形PABC可以沿着x轴负方向滚动.,(2)信息分析：让正方形沿x轴正方向滚动，观察分析P点运动轨迹，正方形以顶点A为中心顺时针旋转时，P点做以A为圆心，|PA|为半径的圆周运动；以顶点B为中心顺时针旋转，P点做以B为圆心，|PB|为半径的圆周运动；以此类推.作出点P的图象，从
15、图象可求出最小正周期与面积.,【规范解答】点P在一个周期内的运动轨迹如图所示.y=f(x)的最小正周期为4.y=f(x)在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为三个扇形：扇形PPA，扇形 扇形 与两个RtPAB,Rt 的面积之和，即答案：4+1,【阅卷人点拨】,二次函数1.二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)=_;(2)顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h,k)，则其解析式为:f(x)=_;(3)两根式：若相应一元二次方程的两根为x1,x2，则其解析式为f(x)=_.,【考点突破区】,ax2+bx+c(a0),a(x-h)2+k(a0),a(x-x1)(x-x2)(a0),2.二
16、次函数的图象和性质,R,R,b=0,b0,【状元心得】1.选择二次函数解析式的规律根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：,2.影响二次函数最值的三个要素与求法(1)与抛物线的开口方向、对称轴位置、区间三个要素有关，常见三者中有两定一不定;(2)常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得.提醒：当开口方向或对称轴位置或区间不确定时要分情况讨论.,3.三个二次之间的关系二次函数、二次方程、一元二次不等式之间可以相互转化.一般规律：(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从四个方面分析：开口方向
17、；对称轴位置；判别式；端点函数值符号.,(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解.(3)研究二次函数图象要结合二次函数对应方程的根及对应二次不等式的解集来确定图象形状.,函数与方程1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y=f(x)(xD),把使_的实数x叫做函数y=f(x)(xD)的零点.(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点三者间的关系方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与_有交点函数y=f(x)有_.,f(x)=0,x轴,零点,(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是_的一条曲线，并且有
18、_,那么函数y=f(x)在区间_内有零点,即存在c(a,b)，使得_,这个_也就是方程f(x)=0的根.,连续不断,f(a)f(b)0,(a,b),f(c)=0,c,2.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与零点的关系,(x1,0),(x2,0),(x1,0),无,2,1,0,【状元心得】1.函数零点个数的三种判定方法(1)直接法：令f(x)0，则有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理法.(3)图象法：先把所求函数分解为两个简单函数，再画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.,2.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步：确定区间
19、a，b，验证f(a)f(b)0，给定精确度；第二步：求区间a，b中点x1第三步：计算f(x1)(1)f(x1)=0,则x1就是函数的零点(2)若f(a)f(x1)0,则令b=x1(3)若f(b)f(x1)0,则令a=x1第四步：判断是否达到精确度即若|a-b|,则得到零点近似值a(或b),否则重复第二、三、四步.,函数模型及应用1.五类常见函数模型,2.解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)_：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)_：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)_：求解数学模型，得出数学结论；(4)_：
20、将数学问题还原为实际问题.,审题,建模,解模,还原,以上过程用框图表示如下：,【状元心得】1.一次、二次函数模型的适用条件(1)在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)；(2)有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等.一般利用函数图象的开口方向和对称轴与单调性解决，但一定要注意函数的定义域，否则极易出错.,2.分段函数的适用条件(1)很多实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数.如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数.(2)分段函
21、数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起.要注意各段变量的范围，特别是端点处.,忽视一元二次方程有实根的条件导致失误 二次函数与二次方程联系密切，函数的零点即为相应方程的根，函数有几个零点一般就意味着方程有几个根，在审题时一定要注意条件的转化和相互利用，避免因审题不细造成错解.【示例】已知：、是二次函数y=x2-(k-2)x+k2+3k+5(kR)的两个零点，求2+2的最大值,【易错易混区】,【错解】由题意得，、是二次方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的两实根，所以+=k-2，=k2+3k+5，所以2+2=(+)2-2
22、=(k-2)2-2(k2+3k+5)=-(k+5)2+19所以2+2的最大值为19.【错因】在错解中忽视了方程有两实根，判别式0的条件，使k的范围扩大，从而造成结果错误.,【自我校正】【解析】由题意得，、是二次方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的两根,=(k-2)2-4(k2+3k+5)0,解得-4k-.又+=k-2，=k2+3k+52+2=(+)2-2=(k-2)2-2(k2+3k+5)=-(k+5)2+19结合图象知k=-4时有最大值，此时2+2的最大值为18.,函数零点及零点存在性定理理解不透导致失误 学习函数零点的求解与判断，必须理解函数零点的意义及函数零点与对应方程的根的关系
23、，理解零点存在性定理，熟练掌握判断和求解的方法.如果对这些基础知识掌握不熟就会出现一些知识性错误.,【示例】关于函数零点的下列说法正确的是()(A)方程f(x)=0在区间(a,b)内有解，则f(a)f(b)0(B)单调函数f(x)在区间(a,b)内与x轴有交点，则f(a)f(b)0(C)函数的图象(图象是连续不断的)通过零点后函数值一定变号(D)函数的零点可以是一个数，也可以是一个点,【错解1】D【错因】错解1对于函数零点的概念把握不准，函数的零点是一个实数，而不是点.【错解2】A【错因】错解2对于函数零点的性质掌握得不准确，由函数f(x)在a,b内连续，f(a)f(b)0可得方程f(x)=0在区间(a,b)内有解，反之不成立.【错解3】C【错因】如y=x2，此函数图象通过零点后函数值不变号.,【自我校正】【解析】选B.单调函数f(x)在(a,b)内与x轴有交点，则存在x0(a,b),f(x0)=0,f(a),f(b)一定不等于零，且异号，即f(a)f(b)0.从“数”的角度看，函数的零点是f(x)=0对应的x值；从“形”的角度看，函数的零点是函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.连续函数的图象通过零点后函数值不一定变号，若函数f(x)满足f(a)f(b)0，则函数f(x)的图象通过零点后函数值变号.,
