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1、二次函数的图象和性质(2),温故知新,向上,向下,(0,0),(0,0),y轴,y轴,当x0时，y随着x的增大而增大。,当x0时，y随着x的增大而减小。,x=0时,y最小=0,x=0时,y最大=0,y=x2,y=x2+1,5 2 1 2 5,函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的位置有什么关系?,函数y=x2+1的图象可由y=x2的图象沿y轴向上平移1个单位长度得到.,操作与思考,函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的形状相同吗?,相同,y=x2,y=x2-2,2-1-2-1 2,函数y=x2-2的图象可由y=x2的图象沿y轴向下平移2个单位长度得到.,函数y=x2-2的图象与y=x2的图
2、象的位置有什么关系?,操作与思考,函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的形状相同吗?,相同,函数y=ax2(a0)和函数y=ax2+c(a0)的图象形状，只是位置不同；当c0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象向 平移 个单位得到，当c0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象向 平移 个单位得到。,y=-x2-2,y=-x2+3,y=-x2,函数y=-x2-2的图象可由y=-x2的图象沿y轴向下平移2个单位长度得到.,函数y=-x2+3的图象可由y=-x2的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到.,图象向上移还是向下移,移多少个单位长度,有什么规律吗?,上加下减,相同,上,
3、c,下,|c|,(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象 向 平移 个单位得到；y=4x2-11的图象 可由 y=4x2的图象向 平移 个单位得到。,（3）将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的 抛物线的函数式是。将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的 抛物线的函数式是。,(2)将函数y=-3x2+4的图象向 平移 个单位可得 y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向 平移 个 单位得到可由 y=2x2的图象。将y=x2-7的图象 向 平移 个单位可得到 y=x2+2的图象。,上,5,下,11,下,4,上,7,上,9,y=4x2+3,y=-5x2-4,小试牛刀,当a
4、0时，抛物线y=ax2+c的开口，对称轴是，顶点坐标是，在对称轴的左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧,y随x的增大而，当x=时，取得最 值，这个值等于；当a0时,抛物线y=ax2+c的开口，对称轴是，顶点坐标是，在对称轴的左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧,y随x的增大而，当x=时，取得最 值，这个值等于。,y=-x2-2,y=-x2+3,y=-x2,y=x2-2,y=x2+1,y=x2,向上,y轴,(0,c),减小,增大,0,小,c,向下,y轴,(0,c),增大,减小,0,大,c,观察思考,（4）抛物线y=-3x2+5的开口，对称轴是，顶点坐标是，在对称轴的左侧，y随x的增大而，在对称轴
5、的右侧，y随x的增大而，当x=时，取得最 值，这个值等于。,6.二次函数y=ax2+c(a0)的图象经过点A（1，-1），B（2，5），则函数y=ax2+c的表达式为。若点C(-2,m),D（n,7）也在函数的图象上，则点C的坐标为 点D的坐标为.,（5）抛物线y=7x2-3的开口，对称轴是，顶点坐标是，在对称轴的左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧，y随x的增大而，当x=时，取得最 值，这个值等于。,下,y轴,(0,5),减小,增大,0,大,5,上,y轴,(0,-3),减小,增大,0,小,-3,y=2x2-3,(-2,5),或,小试牛刀,及时小结,向上,向下,(0,c),(0,c),y轴,y
6、轴,当x0时，y随着x的增大而增大。,当x0时，y随着x的增大而减小。,x=0时,y最小=0,x=0时,y最大=0,抛物线y=ax2+c(a0)的图象可由y=ax2的图象通过上下平移得到.,问题回顾,1.二次函数y=ax2+c的图象是什么？,答：是抛物线,2.二次函数的性质有哪些？请填写下表：,向上,Y轴,（0，0）,最小值是0,Y随x的增大而减小,Y随x的增大而增大,向下,Y轴,（0,0）,最大值是0,Y随x的增大而增大,Y随x的增大而减小,向上,Y轴,（0,c）,最小值是C,Y随x的增大而减小,Y随x的增大而增大,向下,Y轴,（0,c）,最大值是C,Y随x的增大而增大,Y随x的增大而减小,
7、比较函数 与 的图象,(2)在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象,完成下表,观察两个函数值之间有怎样的关系?,观察图象,回答问题,函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象的位置有什么关系?,函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象的形状相同吗?,函数y=3(x-1)2 的图象可由y=3x2的图象沿x轴向右平移1个单位长度得到.,相同,图象是轴对称图形对称轴是平行于y轴的直线:x=1.,顶点坐标是点(1,0).,二次项系数相同a0,开口都向上.,想一想,在同一坐标系中作二次函数y=3(x+1)2的图象,会在什么位置?,观察图象,回答问题,(1)函数y=3(x
8、-1)2的图象与y=3x2的图象的开口方向如何?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?,(2)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？,当x1时,y随的增大而增大,当x1时,y随x 的增大而减小,它的增减性会是什么样?,图象是轴对称图形.对称轴是平行于y轴的直线:x=1.,顶点坐标是点(1,0).,二次函数y=3(x+1)2与y=3x2的图象形状相同,可以看作是抛物线y=3x2整体沿x轴向左平移了1 个单位.,1.函数y=3(x+1)2的图象与y=3x2和y=3(x-1)2的图象有什么关系?它是轴对称图形
9、吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?,二次项系数相同a0,开口都向上.,想一想,二次函数y=3(x+1)2的图象的增减性会怎样?,当x-1时,y 随 的增大而增大,2.抛物线y=-3(x-1)2和y=-3(x+1)2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.,3.抛物线y=-3(x-1)2在对称轴(x=1)的左侧,当x1时,y随着x的增大而减小.当x=1时,函数y的值最大(是0);抛物线y=-3(x+1)2在对称轴(x=1)的左侧,当x1时,y随着x的增大而减小.当x=1时,函数y的值最大(是0).,二次函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的图象,4.抛
10、物线y=-3(x-1)2可以看作是抛物线y=-3x2沿x轴向右平移了1个单位;抛物线y=-3(x+1)2可以看作是抛物线y=-3x2沿x轴向左平移了1个单位.,X=-1,X=1,1.抛物线y=-3(x-1)2的顶点是(1,0);对称轴是直线:x=1;抛物线y=-3(x+1)2的顶点是(1,0);对称轴是直线:x=1.,1.抛物线y=a(x-h)2的顶点是(h,0),对称轴是平行于y轴的直线x=h.,3.当a0时,在对称轴(x=h)的左侧,y随着x的增大而减小;在对称轴(x=h)右侧,y随着x的增大而增大;当x=h时函数y的值最小(是0).当a0时,在对称轴(x=h)的左侧,y随着x的增大而增大
11、;在对称轴(x=h)的右侧,y随着x增大而减小;当x=h时,函数y的值最大(是0).,二次函数y=a(x-h)2的性质,2.当a0时,抛物线y=a(x-h)2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展;当a0时,抛物线y=a(x-h)2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.,X=h,X=h,4.越大,开口越小,越小,开口越大.,二次函数y=a(x-h)2与y=ax2的图象形状相同,可以看作是抛物线y=ax2整体沿x轴平移了 个单位(当h0时,向右移 个单位;当h0时,向左移 个单位)得到的.,二次函数y=a(x-h)2的性质,.顶点坐标与对称轴,.位置与开口方
12、向,.增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=a(x-h)2(a0),y=a(x-h)2(a0),（h，0）,（h，0）,直线x=h,直线x=h,在x轴的上方(除顶点外),在x轴的下方(除顶点外),向上,向下,当x=h时,最小值为0.,当x=h时,最大值为0.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.,根据图形填表：,1、一般二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象特点和函数性质,返回主页,前进,(1)是一条抛物线；(2)对称轴是:x=-(3)顶
13、点坐标是:(-,)(4)开口方向:a0时,开口向上；a0时,开口向下.,（1）a0时，对称轴左侧(x-)，函数值y随x的增大而增大。a-)，函数值y随x的增大而减小。（2）a0时，ymin=a0时，ymax=,(二)函数性质：,返回目录,试一试,例1.填空题（1）二次函数y=2（x+5）2的图像是，开 口，对称轴是，当x=时，y有最 值，是.（2）二次函数y=-3（x-4）2的图像是由抛物线y=-3x2 向 平移 个单位得到的；开口，对称轴是，当x=时，y有最 值，是.,抛物线,向上,直线x=-5,-5,小,0,右,4,向下,直线x=4,4,大,0,（3）将二次函数y=2x2的图像向右平移3个
14、单位后得到函数 的图像，其对称轴是，顶点是，当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小.（4）将二次函数y=-3（x-2）2的图像向左平移3个单位后得到函数 的图像，其顶点坐标，对称轴是，当x=时，y有最 值，是.,y=2（x-3）2,直线x=3,（3，0）,3,3,y=-3（x+1）2,（-1，0）,直线x=-1,-1,大,0,比一比,向上,直线x=h,（h,0),Y随x的增大而减小,最小值是0,Y随x的增大而增大,向下,直线x=h,(h,0),最大值是0,Y随x的增大而增大,Y随x的增大而减小,的图像可以由,向上平移一个单位,向右平移一个单位,向右平移一个单位,向上平移一个
15、单位,先向上平移一个单位,再向右平移一个单位,或者先向右平移一个单位再向上平移一个单位而得到.,观察的图像,x=-2,(-2,2),(-2,-3),抛物线,顶点坐标,对称轴,开口方向,增减性,最值,（-2，2）,（2，-3）,直线x=-2,直线x=2,向上,向下,当x=-2时,最小值为2,当x=2时,最大值为-3,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.,二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质,抛物线,顶点坐标,对称轴,开口方向,增减性,最值,y=a(x-h)2+k(a0),y
16、=a(x-h)2+k(a0),（h，k）,（h，k）,直线x=h,直线x=h,向上,向下,当x=h时,最小值为k.,当x=h时,最大值为k.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.,指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.,开口 对称轴 顶点坐标,向上,直线x=3,(3,5),向下,直线x=1,(1,0),向下,直线x=0,(0,1),向上,直线x=2,(2,5),向上,直线x=4,(4,2),向下,直线x=3,(3,0),1抛物线的上下平移（1）把二次函数y=(x+1)2
17、的图像，沿y轴向上平移个单位，得到_的图像；（2）把二次函数_的图像，沿y轴向下平移2个单位，得到y=x 2+1的图像.,考考你学的怎么样：,y=(x+1)2+3,y=x2+3,2抛物线的左右平移（1）把二次函数y=(x+1)2的图像，沿x轴向左平移个单位，得到_的图像；（2）把二次函数_的图像，沿x轴向右平移2个单位，得到y=x 2+1的图像.,y=(x+4)2,y=(x+2)2+1,(-1,0),(-1,3),x=-1,10.如图所示的抛物线：当x=_时，y=0；当x0时，y_0；当x在 _ 范围内时，y0；当x=_时，y有最大值_.,3,0或-2,2 x0,-1,3,13.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示（1）求解析式,(1,-1),(0,0),(2,0),当x 时，y0。,当x 时，y=0;,（2）根据图象回答：当x 时，y0;,x2,0 x2,x=0或2,
