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1、第二十二章 二次函数,22.2二次函数与一元二次方程,复习回顾：,我们已经知道，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）根的情况与“=b2-4ac”有关：,1.当0时，方程ax2+bx+c=0（a0）有两个不等实数根,2.当=0时，ax2+bx+c=0（a0）有两个相等实数根,3.当0时，方程ax2+bx+c=0（a0）没有实数根.,观察与思考,ax2+bx+c=0（a0）和y=ax2+bx+c（a0）之间的关系和区别是怎么样？,区别：一个是方程，一个是二次函数.,关系：当函数y=ax2+bx+c的值为0时，就得到方程 ax2+bx+c=0,活动1：,如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成3
2、0角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，考虑以下问题：,探究新知,（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行 时间？,（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行 时间？,（2）球的飞行高度 能否达到20m？如果能，需要多少飞行 时间？,（4）球从飞出到落地要用多少时间？,活动2.讨论分析：,由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数h=20t5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高
3、度可以达到问题中h的值.否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值.,上面问题（1）可以转化为已知二次函数h=20t5t2的值为15，求自变量t的值.可以解一元二次方程20t-5t2=15(即5t2-20t+150);反过来，解方程5t2-20t+150又可以看作已知二次函数y=5t2-20t+15的值为0，求自变量t的值.,解：（1）当h=15m时，解方程 15=20t-5t2,t2-4t+3=0,解得：t1=1,t2=3.当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.,解：（2）当h=20m时，解方程：20=20t-5t2,t2-4t+4=0,解得：t1=t2=2.当球飞行2秒时，它的高度为20
4、米.,解：（3）当h=20.5m时，解方程：20.5=20t-5t2,即t2-4t+4.1=0,(-4)2-4 4.10,方程无解.即球的飞行高度达不到20.5米.,解：（4）当小球落地，则h=0m时，解方程：0=20t-5t2,转化为：t2-4t=0,解得：t1=0,t2=4.当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米.即0秒时 球地面飞出，4秒时球落回地面,二次函数与一元二次方程的关系：一般地，可以利用二次函数y=ax+bx+c深入探究一元二次方程ax+bx+c=0,已知二次函数，求自变量的值,解一元二次方程的根,重难点精讲,1.二次函数（1）yx2x2；（2）yx26x9；（3）yx2x1.的
5、图象如图所示.观察并回答：,（1）以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？（2）当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？,yx2x2（1）抛物线yx2x2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是2，1.（2）当x取公共点的横坐标时，函数的值是0.由此得出方程x2x2=0的根是2,1.,yx26x9（1）抛物线yx26x9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.（2）当x3时，函数的值是0.由此得出方程 x26x9=0有两个相等的实数根3.,yx2x1.（1）抛物线yx2x1与x轴没有公共点.（2）方程x2x1=0没有实数根.,总结：一元
6、二次方程的根与二次函数与x轴交点的关系,1.当0时，方程ax2+bx+c=0（a0）有两个不等实数根:,2.当=0时，方程ax2+bx+c=0（a0）有两个相等实数根,3.当0时，方程ax2+bx+c=0（a0）没有实数根.,此时函数y=ax2+bx+c与x轴没有交点,下列二次函数的图象与 x 轴有交点吗?若有，求出交点横坐标.,（1）y=x2x-2（2）y=4x2-4x+1（3）y=2x2-2x+1,令 y=0，解一元二次方程的根,巩固练习,（1）解：当y=0时，x2+x-2=0（x2）（x1）=0 x1=-2，x2=1 与 x 轴有交点，有两个交点。,（2）解：当y=0时，4x2-4x+1
7、=0（2x1）2=0 x1=x2=0.5 与 x 轴有一个交点.,（3）解：当y=0时，2x22x+1=0（-2）2421=-40 与 x 轴没有交点.,这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.,归纳：,一般地，如果二次函数y=ax+bx+c=0的图像与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程ax+bx+c=0的根.,（1）如果抛物线yax2bxc与x轴有公共点，公共点的横坐 标是x0，那么当xx0时，函数的值是0，因此xx0就是方 程ax2bxc0的一个根.,（2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.,
8、由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根.由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的.,1.可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根;,近似值的求法：,总结：,2.可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围.,巩固应用,利用函数图象求方程x22x20的实数根（精确到0.1）.,解：作y=x2-2x-2的图象(如右图所示)它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7,2.7.方程x2-2x-2=0的实数根为 x10.7，x22.7.,1.根据下列表格的对应值:判断方程ax2+bx+c=0(a0,a,b,c为常数)一个解x的范围是()A.3xx3.24xx3.26
9、,C,课堂练习,2.二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表：,利用二次函数的图象可知，当函数值y0时，x的取值范围是（）,Ax0或x2 B0 x2Cx1或x3 D1x3,D,A.有两个同号的实数根B.有两个异号的实数根C.有两个相等的实数根D.没有实数根,-3.3,B,x1,x2,3.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴 是直线 x=-1,由图象知,关于x的 方程ax2+bx+c=0的两个根分别是 x1=1.3,x2=.,4.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图,则关于x的方程ax2+bx+c-3=0根的 情况是(),5.小颖用几何画板软件探索方程ax2+bx+c=0的实数根，
10、作出了如图所示的图象，观察得一个近似根为x1=-4.5，则方程的另一个近似根为x2=_(精确到0.1）,2.5,6.已知抛物线y=x2-4x+3（1）求该抛物线与x轴的交点坐标；（2）当x取何值时，y0？,解：（1）y=x-4x+3=（x-1）（x-3）该抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（3，0）；,y=x2-4x+3=（x-2）-1，,当x1或x3时，y0,（2）由（1）知，该抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（3，0）,该抛物线的顶点坐标是（2，-1），且抛物线的开口方 向向上，大致图象如图所示：,7.（1）请在坐标系中画出二次函数y=x2-2x的大致图象；（2）根据方程的根与函数图象的关系，将方程x2-2x=1的根在图上近似的表示出来（描点）；（3）观察图象，直接写出方程x2-2x=1的根（精确到0.1）,解：（1）如下图，y=x2-2x=（x-1）2-1，作出顶点，作出与x轴的交点，连线平滑,（2）正确作出点M，N；（3）写出方程的根为-0.4，2.4,课堂小结,二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系：,有两个交点,有两个不相等的实数根,只有一个交点,有两个相等的实数根,没有交点,没有实数根,b24ac 0,b24ac=0,b24ac 0,今天我们学习了哪些知识？,
