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1、二次函数中的面积计算问题,例1:已知抛物线y=x2+2x+3与x轴交于A,B两点，其中A点位于B点的左侧，与y轴交于C点，顶点为P，,S AOC=_,S BOC=_,(0,3),(-1,0),(3,0),(1,4),S COP=_,S PAB=_,S PCB=_,S ACP=_,在平面直角坐标系中，有两点A（-1，0），B（3，0），如图，小敏发现所有过A，B两点的抛物线如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么ACM与ACB的面积比不变，请你求出这个比值。（2004绍兴中考题）,二次函数中面积问题常见解决方法：,一、运用,二、运用,四、运用分割,三、运用相似,例1：如图1，抛物线顶点坐
2、标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B。（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）求CAB的铅垂高CD及SCAB；（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使SPAB,SCAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。,一、运用,（3）设P点的横坐标为x，PAB的铅垂高为h,练习1如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120，得到线段OB（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说
3、明理由（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及PAB的最大面积；若没有，请说明理由,解：（1）如图1，过点B作BMx轴于M由旋转性质知OBOA2AOB120，BOM60,M,C,（3）存在,x1代入直线AB的解析式,点C的坐标为(1，),P,（2）设经过A、O、B三点的抛物线的解析式为,2.如图，抛物线yx 2bxc与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；,P,
4、（3）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P，使PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由,3如图，已知抛物线yax 2bx4与直线yx交于点A、B两点，A、B的横坐标分别为1和4。（1）求此抛物线的解析式。（2）若平行于y轴的直线xm（0m,1）与抛物线交于点M，,（3）在（2）的条件下，连接OM、BM，是否存在m的值，使得BOM 的面积S最大？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由。,与直线yx交于点N，交x轴于点P，求线段MN的长（用含m的代数式表示）。,抛物线的解析式为yx 22x4,MNMPPNm 23m4,当m1.5时，S有最大值
5、。,如图，二次函数 图象与轴x交于A,B两点(A在B的左边)，与 y轴交于点C，顶点为M，为直角三角形,图象的对称轴为直线，P点是抛物线上位于A、C两点之间的一个动点，则 的面积的最大值为（）,C,（西湖区2011学年第一学期期末测试）,P,-3,-1,3,Q,P,Q,例2.（贵州省遵义市）如图，在平面直角坐标系中，RtAOB的顶点坐标分别为A（0，2），O（0，0），B（4，0），把AOB绕点O逆时针方向旋转90得到COD（点A转到点C的位置），抛物线yax 2bxc(a0)经过C、D、B三点（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为P，求PAB的面积；（3）抛物线上是否存在点M，使MB
6、C的面积等于PAB的面积？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由,二.运用,P,(1)抛物线经过B（4，0），C（2，0）可设抛物线的解析式为ya(x2)(x4),D（0，4）代入上式,（2）SPABS四边形PEOB SAOB SPEA6,（3）假设存在这样的点M，其坐标为M（x，y）,y2,E,C,练习1已知二次函数yx 2axa2（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点；（2）设a 0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为,时，求出此二次函数的解析式；（3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得PAB的面积为,？若存在，求出P点坐标；若
7、不存在，请说明理由,（1）a 24(a2)(a2)240不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点（2）设x1、x2是x 2axa20的两个根则x1x2a，x1x2a2此函数图象与x轴的两个交点的距离为,(x1x2)213即(x1x2)24x1x213(a)24(a2)13，整理得(a1)(a5)0，解得a1或a5a 0，a1此二次函数的解析式为yx 2x3,（3）设点P的坐标为（x，y）,|y|3，y3 再得x2或x3；x0或x1,P1（2，3），P2（3，3），P3（0，3）或P4（1，3）,2已知：t1，t2是方程t 22t240的两个实数根，且t1t2，抛物线y,x 2bxc的图象经
8、过点A（t1，0），B（0，t2）,（3）在（2）的条件下，当OPAQ的面积为24时，是否存在这样的点P，使OPAQ为正方形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由,（1）求这个抛物线的解析式；（2）设点P（x，y）是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形OPAQ是以OA为对角线的平行四边形，求OPAQ的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；,（3）当S24时,P的坐标为（3，4）、（4，4）当点P为（3，4）时，满足POPA，此时，OPAQ是菱形当点P为（4，4）时，不满足POPA，此时OPAQ不是菱形要使OPAQ为正方形，那么，一定有OAPQ，OAPQ，此时，点的坐标为
9、（3，3），而（3，3）不在抛物线上，故不存在这样的点P，使OPAQ为正方形,例3:如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x 22x80的两个根（1）求这条抛物线的解析式；（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PEAC，交BC于点E，连接CP，当CPE的面积最大时，求点P的坐标；,（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使QBC成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由,解：（1）解方程x22x80，得x12，x24 A（4，0），B（2，0）抛物线与x轴交于
10、A，B两点，可设抛物线的解析式为ya(x2)(x4)（a0）又抛物线与y轴交于点C（0，4），a2(4)4，,三、运用相似,（2）设点P的坐标为（m，0），过点E作EGx轴于点G，如图A（4，0），B（2，0），AB6，BPm2PEAC，BPEBAC,SCPESCBPSBPE,2m4，当m1时，SCPE有最大值3此时点P的坐标为（1，0）,G,练习1如图，已知抛物线yax 2bxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OAOC）是方程x 25x40的两个根，且抛物线的对称轴是直线x1（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求此抛物线
11、的解析式；,A（1，0），B（3，0），C（0，4）,当m2时，S有最大值2,D点坐标为（1，0）,（3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点D作DEBC交AC于点E，连结CD，设BD的长为m，CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由,如图，抛物线yax 22axc（a0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（4，0）（1）求该抛物线的解析式；,（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QEAC，交BC于点E，连接CQ，当CQE的面积最大时，求点Q的坐标；,（
12、3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）问是否有这样的直线l，使得ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由,2如图，在梯形ABCD中，DCAB，A90，AD6厘米，DC4厘米，BC的坡度i3:4动点P从A出发以2厘米/秒的速度沿AB方向向点B运动，动点Q从点B出发以3厘米/秒的速度沿BCD方向向点D运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止设动点运动的时间为t秒（1）求边BC的长；（2）当t为何值时，PC与BQ相互平分；（3）连结PQ，设PBQ的面积为y，探求y与t的函数关系式，求t为何值时，
13、y有最大值？最大值是多少？,BC10,t=,0 t,时,E,F,C,D,A,B,Q,P,E,综合，得,当t3秒时，y有最大值为,厘米2,3.（11杭州）（本小题满分12分）图形既关于点O中心对称，又关于直线AC，BD对称，AC=10，BD=6，已知点E，M是线段AB上的动点（不与端点重合），点O到EF，MN的距离分别为h1和h2，OEF与OGH组成的图形称为蝶形。,（1）求蝶形面积S的最大值；（2）当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时，求h1与h2 满足的关系式，并求h2的取值范围。,解：（1）由题意，得四边形ABCD是菱形.,，,即,.,由,ABDAEF,例4如图，抛物线yx 22xk
14、与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3）（图2、图3为解答备用图）（1）k，点A的坐标为，点B的坐标为；（2）设抛物线yx 22xk的顶点为M，求四边形ABMC的面积；,3,（1，0）,（3，0）,（2）M的坐标为（1，4）,S四边形ABMC SAOC SCOM SMOB9,四、运用分割方法,（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在抛物线yx 22xk上求点Q，使BCQ是以BC为直角边的直角三角形,D,（3）设D（m，m 22m3），连结OD，如图则0m3，m 22m30S四边形ABDC SAOC SC
15、OD SDOB,四边形ABDC的面积最大,（4）Q1（2，5）和Q2（1，4）,练习1如图，已知抛物线yax 2bx3（a0）与x轴交于点A(1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；,（3）如图，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标,yx 22x3,S四边形BOCE 最大，且最大值为,E,2如图，已知抛物线ya(x1)2,(a0)经过点A(2，0)，,抛物线的顶
16、点为D，过O作射线OMAD过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）问：当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OCOB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长,当t6s、5s、4s时，四边形DAOP分别为平行
17、四边形、直角梯形、等腰梯形,3.练习：如图，OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线y,xm与x轴交于点E,（3）若点P是（2）中求出的抛物线AE段上一动点（不与A、E重合），设四边形OAPE的面积为S，求S的最大值,（1）求点E的坐标；（2）求过A、O、E三点的抛物线解析式；,解：（1）过点A作AFx轴于F,AFOAsin602,m,E(4，0),（2）设过A、O、E三点的抛物线解析式为yax 2bxc抛物线过原点，c0,（3）设P(x0，y0),S最大,在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别是A（1，0）、B（4，0），点C在y轴的负半轴上，且ACB90（1）求点C的坐标；（2）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；,（3）直线lx轴，若直线l由点A开始沿x轴正方向以每秒1个单位的速度匀速向右平移，设运动时间为t（0t5）秒，运动过程中直线l在ABC中所扫过的面积为S，求S与t的函数关系式。,谢谢大家！,请多指教！,
