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1、二次函数y=ax2的图象与性质,1.在上届珠海航空节中，某飞行员在特技飞行表演过程中，表演了一个俯冲动作，飞机飞行的路线近似于二次函数y=x2，你能画出飞机飞行的路线图吗？,在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x2与y=-x2的图象.,函数图象画法,列 表,描 点,连 线,0,0.25,1,2.25,4,0.25,1,2.25,4,描点法,用光滑曲线连结时要自左向右顺次连结,0,-0.25,-1,-2.25,-4,-0.25,-1,-2.25,-4,观察并比较这两个图象，你发现有什么共同特和不同点？各自有什么特征，对应着的性质怎么样？,观察图象,回答问题串,(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进
2、行交流.,(2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点,并与同伴交流.,(3)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?,(4)当x0呢？,(5)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？,二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线。,这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴。,对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.,当x0(在对称轴的左侧)时,y随着x的增大而减小.,当x0(在对称轴的右侧)时,y随着x的增大而增大.,抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外),顶点是它的最低点,开口向上,并且向上无限伸展;当x=0时,函
3、数y的值最小,最小值是0.,当x0(在对称轴的左侧)时,y随着x的增大而增大.,当x0(在对称轴的右侧)时,y随着x的增大而减小.,y,抛物线y=-x2在x轴的下方(除顶点外),顶点是它的最高点,开口向下,并且向下无限伸展;当x=0时,函数y的值最大,最大值是0.,二次函数y=ax2的性质,.顶点坐标与对称轴,.位置与开口方向,.增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=x2,y=-x2,（0，0）,（0，0）,y轴,y轴,在x轴的上方(除顶点外),在x轴的下方(除顶点外),向上,向下,当x=0时,最小值为0.,当x=0时,最大值为0.,在对称轴的左侧,y随着x
4、的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.,根据图形填表：,例1 在同一直角坐标系中，画出函数y=x2，y=2x2的图象。,0,2,2,8,8,0,2,2,8,8,-1,当a0，图象开口向上顶点是抛物线的最低点，a越大开口越小反之越大,对称轴,1,-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9,-8,-6,-4,-2,2,4,6,8,y,x,0,y=-x2,y=-x2,y=-2x2,当a0时，图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大。,a确定着抛物线的,2.当a0时,抛物线y=ax
5、2在x轴的上方（除顶点外）,它的开口向上,并且向上无限伸展；当a0时,抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外）,它的开口向下,并且向下无限伸展.,3.当a0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.当a0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.,小结 拓展,1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.,由二次函数y=x2和y=-x2知：,当a的绝对值越大，则函数图象越靠近y轴.,4.抛物线y=ax2与y=-ax2关于X轴对称,也关于原点对称.,1.不画图象，说出抛
6、物线y=-4x2和y=x2的对称轴、顶点坐标和开口方向.,根据左边已画好的函数图象填空：（1）抛物线y=2x2的顶点坐标是,对称轴是，在 侧，y随着x的增大而增大；在 侧，y随着x的增大而减小，当x=时，函数y的值最小，最小值是,抛物线y=2x2在x轴的 方（除顶点外）。,（2）抛物线 在x轴的 方（除顶点外），在对称轴的左侧，y随着x的；在对称轴的右侧，y随着x的，当x=0时，函数y的值最大，最大值是，当x 0时，y0.,（0，0）,y轴,对称轴的右,对称轴的左,0,0,上,下,增大而增大,增大而减小,0,2.记r为圆的半径，S为该圆的面积，有面积公式S=r2，表明S是r的函数.画出函数S=
7、r2的图象.,函数S=r2的图象:注意r0的条件.,活动与探索,已知二次函数y=mx,m+m,当m取何值时它的图象开口向上。（1）当x取何值时y随x的增大而增大。（2）当x取何值时y随x的增大而减小。,练习,2、已知函数是二次函数，且开口向上。求m的值及二次函数的解析式，并回答y随x的变化规律,再见,请在此键入您自己的内容,已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。（1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点B（-1，-4）是否在此抛物线上。（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。,解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得-8=a(-2)2,解出a=-2,所求函数解析式为y=-2x2.,
8、（2）因为，所以点B（-1，-4）不在此抛物线上。,（3）由-6=-2x2,得x2=3,所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是,例2 已知一次函数,与函数,的图象如图所示，其中,与,轴、,轴交于A（2，0）、B（0，2）；与二次函数图象,的交点为P、Q，P、Q的纵坐标之比14，求这两个函数解析式.,讨论,（1）抛物线y=x2+1、y=x2-1的开口方向、对称轴、顶点各是什么？（2）抛物线y=x2+1、y=x2-1与y=x2抛物线有什么关系？,答：(1)它们开口方向向上，对称轴是y轴，顶点分别是（0，1）（0，-1）。,(2)把抛物线y=x2向上移1个单位，就得到抛物线y=x2+1；把抛物线y=x2向下平移1个单位，就得到抛物线y=x2-1。,把抛物线y=2x2向上平移5个单位，会得到哪条抛物线？向下平移3.4个单位呢？,思考,
