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1、数学周报,2.4二次函数的应用（第3课时）,浙教版九年级（上册）,1.利用函数解决实际问题的基本思想方法?解题步骤?,实际问题,数学问题,问题的解,创设情景,引入新课,2.二次函数应用的思路怎样?,(1)理解问题,(2)分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系,(3)用数学的方式表示出它们之间的关系,(4)用数学知识求解,(5)检验结果的合理性,拓展等,创设情景,引入新课,合作交流,探究新知,我们来看一个例子：=1米秒，a=1米秒，下面我们列表看一下和的关系.t（秒）0123456S（米）0 1.5 4 7.5 12 17.5 24注意，这里的时间必须从开始等加速时开始计时，停止等加速时停止
2、计时.t的取值范围，很明显是t0，而S的取值范围，同样是S0.下面我们来看看它的图象：,(2)自由落体位移我们知道，自由落体位移是直线等加速运动的特殊情况，它的初始速度为0，而每秒增加的速度为9.8米秒，我们用表示，但这个不是9.8牛顿千克自由落体位移的公式为：,我们再来看看这个函数的表格：t（秒）S（米）4.9 19.6 44.1 78.4 122.5 176.4图象我们就不画了，它只是直线等加速运动的特殊情况，图象大同小异,(3)动能现在我们来看另一方面的问题.我们知道，物体在运动中具有的能量叫做动能，动能与物体的质量和速度有关.比如说，有个人走过来不小心撞上你，或许没什么，但如果他是跑步
3、时撞上你，说不定会倒退几步，而假如你站在百米终点线上，想不被撞倒都不容易.这是因为对方具有的动能随速度的增大而增大.我们用E表示物体具有的动能（焦耳），m表示物体的质量（千克），用v表示物体的速度（米秒），那么计算物体动能的公式就是：,来看一个表格（m=1千克）：v（米/秒）0 1 23 45 6E（焦耳）00.5 2 4.5 8 12.518v的取值范围显然是v0，E的取值范围也是E0，所以它的图象和前两个没什么区别.,通过上面几个问题的研究，我们认为二次函数在物理 方面的实际应用中的特点，在于物理学上对取值范围 的要求大部分都是要求该数值大于等于，所以图象 大部分是二次函数图象的一半，除原
4、点外，图象都在 第一象限.还有，物理学上用到的公式，一般很少有 常数项.现在我们反过来研究：物体运动某一路程或物体自由 下落到某一高度需要多少时间？,例1:一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为10m/s,经过t(s)时求的高度为h(m).已知物体竖直上抛运动中，(v0表示物体运动上弹开始时的速度，g表示重力系数，取g=10m/s2).问球从弹起至回到地面需多少时间？经多少时间球的高度达到3.75m?,例1:一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为10m/s，经过t(s)时求的高度为h(m).已知物体竖直上抛运动中，(v0表示物体运动上弹开始时的速度，g表示重力系数，取g10m/s2).问球从弹起至
5、回到地面需多少时间？经多少时间球的高度达到3.75m?,分析：,从图象可以看到图象与x轴交点横坐标0和2,分别就是球从地面弹起后到地面的时间，此时h=0,所以也是一元二次方程 的两个根，这两个时间差即为所求.,根据已知条件,我们易写出h关于t的二次函数解析式,并画出函数的大致图象.,t(s),h(m),0,1,2,5,3.75,例1:一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为10m/s，经过t(s)时求的高度为h(m).已知物体竖直上抛运动中，(v0表示物体运动上弹开始时的速度，g表示重力系数，取g10m/s2).问球从弹起至回到地面需多少时间？经多少时间球的高度达到3.75m?,解:由题意,得h(
6、m)关于t(s)的二次函数的解析式为,取h=0,得一元二次方程,答:球从弹起至回到地面需2s,经过0.5s或1.5s球的高度达到3.75m.,结论 从上例我们看到，可以利用解一元二次方程求二次函数的图象与横轴(或平行于横轴的直线)的交点坐标.反过来，也可以利用二次函数的图象求一元二次方程的解.,在直角坐标系中画出函数 的图象，,例2 利用二次函数的图象求方程x+x-1=0的近似解,观察图得到点A的横坐标，,点B的横坐标,解:设,得到与x轴的交点为A、B，则点A、B的横坐标x1、x2就是方程的解,1,0,1,2,x,y,2,-2,-1,-1,-2,-3,A,B,0,1,2,x,y,1,2,-2,
7、-1,-1,-2,-3,A,B,想一想：将x1=0.6和x2=-1.6代入x+x-1，其值分别是多少？,结论我们知道，二次函数y=ax+bx+c(a0)的图象与x轴的交点的横坐标x1、x2就是一元二次方程ax+bx+c=0(a0)的两个根.因此我们可以通过解方程ax+bx+c=0来求抛物线y=ax+bx+c与x轴交点的坐标；反过来，也可以由y=ax+bx+c的图象来求一元二次方程ax+bx+c=0的解.,练一练,一球从地面抛出的运动路线呈抛物线,如图,当球离抛出地的水平距离为30米时,达到最大高度10米.,(1)求球运动路线的函数解析式和自变量的取值范围,(2)求球被抛出多远,(3)当球的高度
8、为5米时,球离抛出地的水平距离是多少,0,30,x(m),y(m),10,由题意得h=30,k=10,把(0,0)代入前式,得0=900a+10,练一练,用求根公式求出方程x+x-1=0的近似解,并由此检验例2中所给图象解法的精确度.,解:,课堂小结,1.理顺利用函数解决实际问题的基本思想和基本思路.,2.二次函数的图象与x横轴的交点的横坐标即为一元二次方程的解,反过来也对.,某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10米，入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误.（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由。,回顾与思考,爱学数学爱数学周报,再见,数学周报将提供更多更有趣的资料给大家,
