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1、2.2.2 二次函数的图象和性质,诸城六中：王国伟,二次函数是初等函数中的重要函数，在解决各类数学问题和实际问题中有着广泛的应用。在高中数学的学习中对二次函数的知识要做必要的提高和加深，二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系十分密切，揭示和认识它们的相互联系，以求相互为用，具有重要的意义。,学习二次函数，首先要掌握它的定义、图象和性质，要会在各种条件下，应用待定系数法确定二次函数的解析式，要灵活应用二次函数的图象和性质分析问题和解决问题。深刻领会数形结合、函数方程等重要数学思想方法，对拓宽学生解题思路、发展智力、培养能力，具有十分重要意义。,函数y=ax2+bx+c(a0)叫做二次函数，
2、它的定义域是R.,特别地，当b=c=0时，则二次函数变为y=ax2(a0).它的图象是顶点为原点的抛物线，a0时，开口向上；a0时，开口向下.这个函数为偶函数，y轴为图象的对称轴。,对于任意一个特殊的二次函数y=ax2，当x的绝对值无限地逐渐变小时，函数值的绝对值也随着无限地变得越来越小，其图象就从x轴的上方（或下方）无限地逼近x轴。,在同一坐标系中，对于函数y=ax2，当a的绝对值逐渐变大时，它的图象为抛物线且开口逐渐变小.,y=ax2.gsp,例1.研究函数 的图像与性质.,解：（1）配方得,所以函数y=f(x)的图像可以看作是由y=x2 经一系列变换得到的，具体地说：先将y=x2 的图像
3、向左移动4个单位，再向下移动2个单位得到.,y=c(x+4)2-2.gsp,（2）函数与x轴的交点是：函数与y轴的交点：,函数的对称轴是x=4，事实上如果一个函数f(x)满足：f(h+x)=f(hx)，那么函数f(x)关于x=a对称.,(6，0)和(2，0),（0，6）,（3）函数图像的对称性质：,（4）函数f(x)在(,4上是减函数，在4,+)上是增函数.,（5）函数f(x)在x=4时，取得最小值2，记为ymin=2.它的图象顶点为(4，2),例2.试述二次函数f(x)=x24x+3的性质，并作出它的图象。,（1）配方得f(x)=(x+2)2+7.,由(x+2)20得，该函数对任意实数x都有
4、f(x)7，当且仅当x=2时取等号，即f(2)=7。这说明函数f(x)在x=2时取得最大值7，记为ymax=7，所以函数图象的顶点时(2，7).,(2)求函数图象与x轴的交点.令x24x+3=0，解得x1=2+，x2=2，说明函数的图象与x轴的交点坐标是(2+,0)，(2,0).,(3)画函数f(x)=x24x+3的图象.,因为f(x)=(x+2)2+7.所以它的图象是由y=x2的图象向左平移2个单位后，再向上平移7个单位得到.,y-(x+a)2+b.gsp,(4)函数f(x)=(x+2)2+7关于直线x=2成轴对称图形，在区间(，2上是增函数，在区间2，+)上是减函数.,二次函数的性质：一般
5、地，对于二次函数f(x)=ax2+bx+c，都可以通过配方化为,其中,（1）函数的图象是一条抛物线，抛物线的顶点坐标是(h，k)，抛物线的对称轴是直线x=h；,（2）当a0时，抛物线开口向上，在x=h处取最小值ymin=k=f(h)；在区间(,h上是减函数，在h,+)上是增函数.,（3）当a0时，抛物线开口向下，在x=h处取最大值ymax=k=f(h)；在区间(,h上是增函数，在h,+)上是减函数.,例3.求函数y=3x2+2x+1的值域和它的图象的对称轴，并说出它在哪个区间上是增函数？在哪个区间上是减函数？,解：因为函数y=3x2+2x+1=3(x+)2+,所以ymin=f()=.函数的值域
6、是,+).,函数的对称轴是x=,它在区间(,上是减函数，在区间,+)上是增函数。,例4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，试判断下列各式的正负号.ab，ac，a+b+c，ab+c，2a+b，2ab.,解：a0，c0，f(1)0，所以a+b+c0，,f(1)0，所以ab+c0，,2a，2a+b0;,2ab0.,例5.已知抛物线y=的对称轴是x=2，（1）求m的值，并判断抛物线开口方向；（2）求函数的最值及单调区间。,解：（1）因为抛物线的对称轴是x=2，所以，解得m=2，m10，抛物线的开口向上.,（2）原函数整理得y=x24x+3=(x2)21.所以当x=2时，ymin=1.单调
7、增区间为2,+)，单调减区间为(,2.,例6.已知函数f(x)=x24x+1，不计算函数值，比较f(1)、f(1)、f(4)、f(5)的大小。,解：f(x)=x24x+1=(x2)23，对称轴是x=2，在区间2,+)上是增函数.f(1)=f(23)=f(2+3)=f(5)，f(1)=f(21)=f(2+1)=f(3)，所以f(1)f(4)f(1)=f(5).,例7.已知奇函数f(x)的定义域为R，且当x0时，f(x)=x22x+3，求f(x)的解析式。,解：因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0，当时x0，所以f(x)=(x)22(x)+3=x2+2x+3又f(x)=f(x)，,所以x0时，f
8、(x)=x22x3.,函数f(x)=,奇函数、偶函数关系.gsp,例8.已知二次函数y=x2mx+m2，（1）证明：无论m为何值时，函数的图象与x轴总有两个交点；（2）m为何值时，这两个交点之间的距离最小。,解：（1）=m24m+8=(m2)2+40，所以无论m为何值时，函数的图象与x轴总有两个交点；,（2）设方程的两个解分别为x1，x2，则x1+x2=m，x1x2=m2，,(x1x2)2=(x1+x2)24x1x2=m24m+8=(m2)2+4.,所以当m=2时，|x1x2|最小，最小值是2.,例9.已知函数f(x)=ax2+bx(a，b为常数)，x1，1，（1）若函数f(x)为偶函数，且f(1)=1，求a，b的值；（2）若函数f(x)为奇函数，且f()=,求f(x)的值域。,（1）若函数f(x)为偶函数，且f(1)=1，求a，b的值；,解：因为函数f(x)=ax2+bx为偶函数，所以b=0，又f(1)=1，所以a=1.f(x)=x2.,（2）若函数f(x)为奇函数，且f()=,求f(x)的值域。,解：函数f(x)为奇函数，则a=0，b=1，所以f(x)=x，x1，1，所以值域是1，1.,总结,1、图像,2、性质,谢谢大家！,相信你们是最棒的！,教师：王国伟,
