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1、二.通项公式,二项式定理的复习1.二项展开式：,这个公式叫做二项式定理,等号后面的式子叫做(a+b)n的二项展开式,其中 Cnk(k=0,1,2,n)叫做二项式系数。二项展开式中的第k+1项为Cnkan-kbk叫做二项展开式的通项,通项公式:TK+1=Cnkan-kbk,2.二项展开式的特点(1)项数：展开式有共n+1项(2)系数：都是组合数，依次为Cn0，Cn1，Cn2，Cn3，Cnn(3)指数的特点：1)a的指数 由n 0(降幂)2)b的指数由0 n(升幂)3)a和b的指数和为n,3.二项式定理的几个变式：,(a-b)n(1+x)n,=1+Cn1x+Cn2x2+Cnkxk+Cnnxn,4.
2、扬辉三角：,表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两数的和.,1 3 3 1,1 4 6 4 1,1 5 10 10 5 1,1 6 15 20 15 6 1,1 2 1,通项公式的应用:Tk+1=Cnkan-kbk,一利用二项式定理和展开式的通项公式可以求某些特殊项，如含某个幂的项、常数项、有理项、最大项等问题。在这里要分清二项展开式中的各项的“二项式系数”与“系数”的区别，这是两个不同的概念，“二项式系数”仅指Cn0、Cn1、CnrCnn这些组合数而言，不包括字母a、b所表示式子中的系数。通项Cnkan-kbk是展开式中的第k+1项，而不是第k项。,解:在(1-2x)7的展
3、开式中,第四项为 T4=C73(-2x)3=-280 x3,第四项的二项式系数是C73=35；第四项的系数是C73(-2)3=-280.,例1：求(1-2x)7的展开式中,第四项的二项式系数和第四项的系数。,注意某项的二项式系数和项的系数的区别。,注意：展开式中第 r+1 项的二项式系数 与第 r+1项的系数不同。,.,注意：展开式中第 r+1 项的二项式系数 与第 r+1项的系数不同。,注意：展开式中第 r+1 项的二项式系数 与第 r+1项的系数不同。,在实际应用过程中，这个公式很有作用，我们 可以用这个展开式来求一些复杂数的近似值。,根据精确度的要求，从第三项起的各项都可以省去，所以,例
4、4：在二项式 的展开中式，前三项系数成等差数列，求展开式中所 有的有理项。,分析：本例是典型的特定项的问题，涉及到前三项和有理项，可以用通项公式来解决。,例4：在二项式 的展开中式，前三项系数成等差数列，求展开式中的所有有理项。,解：二项展开式的通项公式是:前三项的r=0,1,2，得系数为:t1=1,t2=,t3=由已知得:t1+t3=2t2,1+得n=8.通项公式:k=0,1,2,8TK+1为有理项，16-3k是4的倍数，k=0,4,8,有理项有三项，依次为:T1=x4,T5=35x/8,T9=1/256x2,例5.已知()n(nN)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比为10:1。(1)
5、求展开式各项系数的和；(2)求展开式中含x 的项。(3)求展开式中系数最大的项和系数最小的项。,例5.已知()n(nN)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比为10:1。(1)求展开,式各项系数的和；(2)求展开式中含 x 的项。(3)求展开式中系数最大的项和系数最小的项。,分析：要灵活、正确的应用二项展开式的 通项公式。(1)先根据通项公式得到第五项与第三项 的系数，再由已知条件求出n的值。由“赋值法”求各项系数的和。,例5.已知()n(nN)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比为10:1。(1)求展开,式各项系数的和；(2)求展开式中含 x 的项。(3)求展开式中系数最大的项和系数最
6、小的项。,(2)根据通项公式先出求含x 的项是展开式中的第几项，然后把它代入通项公式。(3)这个二项展开式在奇数项系数是正的，偶数项系是负的，所以只须考虑系数的绝对值最大。,例5.已知()n(nN)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比为10:1。(1)求展开式各项系数的和,解：()n展开式中的通项为,Tk+1=Cnk()nk()k=(2)kCnk()n5k,T5=T4+1=24Cn4x,T3=T2+1=22Cn2x,第五项的系数与第三项的系数分别为,24Cn4、22Cn2;,例5.已知()n(nN)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比为10:1。(1)求展开式各项系数的和,由题意得：2
7、4Cn422Cn2=101,n25n24=0；,解得 n=8 或 n=3(舍)。,令x=1，代入()8,令x=1,得(1-2)8=1,所以各项系数和为1。,例5.已知()n(nN)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比为10:1。,(2)求展开式中含 x 的项。,解：展开式通项为：,Tk+1=(2)kc8kx,则条件=，解得k=1,展开式中含x 的项为,T2=(2)1C81x=16 x。,例5.已知()n(nN)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比为10:1。,(3)求展开式中系数最大的项和系数最小的项。,解：展开式中的第r项、第r+1项、第r+2项的系数绝对值分别为C8r-12r-1、
8、C8r2r、C8r+12r+1若第r+1项的系数的绝对值最大，则有,C8r12r1C8r2rC8r2rC8r+12r+1,解得 5r6，,例4.已知()n(nN)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比为10:1。,(3)求展开式中系数最大的项和系数最小的项。,即系数的绝对值最大为第6或7项，因为 第6项为负的、第7项为正的，,所以，展开式中系数最大的项是：,系数最小的项是T6=1792。,T7=1792；,例6:(1)求(1-x)3(1+x)10展开式中x5的系数；(2)求(x+2)6展开式中的常数项,分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展
9、开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式,解：（1）(1-x)3(1+x)10展开式中的x5可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：用(1-x)3 展开式中的常数项乘以(1+x)10 展开式中的x5项，可以得到C105 x5；用(1-x)3 展开式中的一次项乘以(1+x)10 展开式中的x4项可得到(-3x)(C104x4)=-3C104x5；用(1-x)3 展开式中的x2乘以(1+x)10 展开式中的x3项可得到3x2(C103x3)=3C103x5；用(1-x)3 展开式中的x3乘以(1+x)10 展开式中的x2项可得到(-x3)(C102x2)=-C102x5；得x5项为:(C1
10、05-3C104+3C103-C102)x5=-63x5,(2)求(x+2)6展开式中的常数项解：,通项公式：Tr+1=,当r=6时，得常数项为：T7=C126=924,分析：(1+x-x2)6不是二项式，通过1+x-x2=(1+x)-x2或1+(x-x2)把它看成二项式展开 解：方法一：(1+x-x2)6=(1+x)-x26=(1+x)6-6(1+x)5x2+15(1+x)4x4-其中含x5 的项为：含x5项的系数为6,例5：求(1+x-x2)6展开式中x5的系数,方法二：(1+x-x2)6=1+(x-x2)6=1+6(x-x2)+15(x-x2)2+20(x-x2)3+15(x-x2)4+6(x-x2)5+(x-x2)6 其中含x5 的项为:6x5x5 项的系数为6,方法3：本题还可通过把(1+x-x2)6看成6个1+x-x2 相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项，x5 项可由下列几种可能得到 5个因式中取x，一个取1得到 3个因式中取x，一个取-x2，二个取1得到 1个因式中取x，二个取-x2，三个取1得到;合并同类项为:x5项的系数为6,
