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1、加强计算能力训练 注重综合思维能力培养谈考研线性代数复习考研数学名师黄先开首先跟大家谈一谈节约时间的20个办法1对于过去失败或未做的事情不要有内疚感。2提醒自己为重要的事情留出时间。3尽量早睡早起。4不要长时间地看电视或无目的地阅读报刊。5有效地利用等待的时间。6将表拨快3分钟。7随身携带空白卡片，随时记录自己的想法。8设定自己每天的生活目标，定期回顾。9按事情的重要性排序，首先做重要的事情。10更加巧妙地工作，而不仅仅是努力。11与你试图避免的事情正面交锋。12尽可能裁掉无结果的任务。13 一次完成一件事情，一次控制一项计划。14在早晨干有创造性的工作。15为自己和他人设立最终期限。16在所
2、有讨论中积极地倾听。17尽可能多地不要做与考研无关的事情。18定期清理废物，保持桌面整洁。19将所有的小事保留起来一次解决。20在采取行动完成下一个目标前设计行动步骤。众所周知，教育部考试中心研究生入学考试命题的基本原则是：严格按照考试大纲规定 的考试内容与考试要求命题，试题以考查基本概念、基本原理和基本方法为主，要加强对考 生的运算能力、逻辑思维能力、空间想像能力和综合应用所学知识解决实际问题能力的考查.根据这一命题原则并结合线性代数这门学科的特点，我认为考生在备考阶段的复习，一 方面要重视“三基”，通过全面系统的复习，扎扎实实把基础打好；另一方面要注重能力的 培养，特别是计算能力和综合思维
3、能力的培养.基础的重要性是不言而喻的，没有基础，其 他方面都无从谈起，但较好地把握了基础后，想要进一步有所提高，就必须注重能力的训练 了.线性代数这门课的特点主要有两个：一是试题的计算量偏大，无论是行列式、矩阵、线 性方程组的求解，还是特征值、特征向量和二次型的讨论都涉及到大量的数值运算，稍有不 慎，即会出错；二是前后内容紧密相连，纵横交织，既相对独立又密不可分，形成了一个完 整、独特的知识体系.在掌握好基本概念、基本原理和基本方法的前提下，下面谈谈在复习过程中应注意的一 些问题.一、加强计算能力训练，切实提高计算的准确性相当一部分同学在复习做题过程中会有这样的体会：对问题所涉及的概念、原理都
4、很清 楚，计算方法也知道，但就是无法算出正确答案来，或是计算有误，或是根本无法演算下去， 造成不应有的丢分.例1 (2003年数学三)已知齐次线性方程组(a1+ b) xi+ a x+ a x + +a x=0,a x1+ (a12+ b) x2+ a x + . . +a x=0,a x+ a x+ (a+ b) x + . . +a x=0,. . .a x+ a x+ a x.+ + (a +b) x=0.1nn1 12 23 3其中羌a尹0,试讨论a , a ,a和b满足何种关系时，i12ni = 1(1) 方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系
5、.分析 本题思路方法比较直接：当系数矩阵的行列式不为零时，仅有零解；当系数矩阵 的行列式等于零时，有非零解但涉及到行列式的计算、初等变换化矩阵为阶梯形以及求基 础解系等大量的计算问题，特别是含有多个参数，进一步增加了计算的难度解方程组的系数行列式n乙a + b aa ai23ni = 1乙 a + b a + b a a1i23n1i = 1n=( a + b) 1Z.7.7a + b aa + b aii23ni = 1:i = 1:1乙a + b aa. a + bi23ni = 11 a a .a23n0 b 0.0(丈 a + b) 00 b 0 = bnt(，歹、乙 a + b).i
6、=1.,i=1000 .b(1)当b尹0且壬a + b尹0时,l A I.尹0,方程组仅有零解a2a2a + ba2ii = 1(2)当b=0时，原方程组的同解方程组为a3a3a + bananana + baa-a123naa + ba-a123naaa + b -a1:2:3:n:aaa- a +123nI A l=ba x + a x H + a x = 0.1 12 2n n由 & 尹0可知a.(i=1,2,n)不全为零，不妨设a尹0 .因为秩r(A)=1,取x , x ,，x i1123ni二1为自由未知量，可得方程组基础解系为a = (- a , a ,0, ,0)t, a = (
7、- a ,0, a , ,0)t,，a121231n -1=(-a , 0, 0,，a. )T.当b = - a时,由 a尹0知b尹0，系数矩阵可化为( 次(a + b a a a Aa - a a a a123n1i23n-b b 00i = 1-110.0-b 0 b 0T: -1010-b 00b: : :71-1001 ji = 1A T100 A(-1由于秩r(A)=n - 1易知=0的基础解系为a = (1,1,1, . ,1)t.评注1本题行列式的计算方法很多，例如，系数矩阵可表示为aa - a12aa - a1:2:aa - a12A =nn 7A n+ b E = B + b
8、 E,而r(B)=1,可方便地求出B的特征值为0,0,0a.,于是 A = B+ bEi=1的特征值为人=b,人=b，人 =b,人=b + a ,12n-1nii = 1从而根据特征值可求出行列式为I A 1=I B + bE 1= bn-1 ( a + b).i=1评注2当b = - a时，注意到系数矩阵A的秩为r(A)=n-1,W a= (1,1,1)T尹0显 i=1然为Ax=0的一个解，即可作为基础解系.（3（2003年数学一）设矩阵A = 2122 2、(0 1 0 A求B + 2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵,E为3阶单位矩阵.然后计算B=P-1A*P及B+2E，于是7
9、00、(900、-25-4,B+2 E =-274-2-25 72-2570rB = P -1A * P =根据耸一9以 E - (B + 2 E) 1=可知B+2E的特征值为气=9,人3人一7=3.（人一9）2（人一3）,分析 本题是基础题型，思路非常明确：先求A*及P-1(322、(5-2-2、(01、解由A=232可得A * =-25-2,又由p =10:223 72-25 7:007最后求B+2E的特征值、特征向量，但计算量大稍有疏忽将很难得到最终的正确结果.，1可得11(0、1=9的所解9E-（B+2E） x =0,得基础解系为a(1、(-1有特征向量为k1-1+ k 2-11 0
10、J解3E - ( B+2E)x =7,kk2是不全为零的任意常数.，得基础解系为a3量为k3,k3为非零的任意常数.因此属于气=3的所有特征向评注 本题直接计算，工作量是相当大的.若由定义A a=入a,有A*aB (P ia) = (P - 1 A *P)(P - 1a) = P - 1 A a =I AlP - 1a, 入(I Al)(B + 2 E)(P - 1a)= + 2 P - 1a.人J若求出A的特征值入及对应特征向量a,则B+2E的特征值为+ 2及对应特征向量 力（22P-1a这样就不必求A*.且根据A =2222(2 22 2的特征值为0,0,6,从而A2 J的特征值为1,1,
11、7.二、扩展公式结论蕴涵，努力探索灵活解题途径线性代数概念多，公式、定理也多，巧妙地利用已有的公式与结论，往往可以达到简化计算的目的.例如有关A*的公式结论有:AA*=A*A=IAIE，由此还可推出一系列相关的公式:(1) I A * I=I A In-1 (n 2),(A * )* = I A In -2 A (n 3),(kA )* = kn-1A * (n 2).(2)若 A 可逆，则 A *=I A IA-i,(A*)-i = A.I A In, r (A) = n,(3) r (A *) = 2).0, r (A) n - 1.(4) (AT)* = (A*)t,(A- 1)* =
12、(A*)-1.(5)若A可逆，且入为A的特征值，则A*有一个特征值为性1例3（2000年数学一）设矩阵A的伴随矩阵A * =入(1000 0100101010-308 J，且 ABA1=BA1+3E，其中E是4阶单位矩阵，求矩阵B.分析 本题相当于解矩阵方程.若先从A*求出A-1及A，再代入已知关系式求B，则计算 量会相当大.考虑到题设与A*有关，若先用A*A=AA*=IAIE化简，则方便得多.解 由 ABA-1=BA-1+3E 先右乘 A，得 AB=B+3A,再左乘 A*，并利用 A*A=IAIE，得 A*AB=A*B+3A*A,即 IAIB= A *B+3IA IE.再由IA*I=IAI4
13、-i=AI3,得 IAI3=8，即 IAI=2.于是有 2B=A*B+6E, (2E-A*)B=6E.故(1000-1f 6 0 0 。01000600B = 6 ( E - A* -)=6=-101060601 030 - g1030 - 12 1例4 (2003年数学四)设矩阵A = 1 2111 :f 1 :1可逆，向量a =7b是矩阵A*的一个a J1i000 /设矩阵A =，则A与B(A)合同，且相似.(C)不合同，但相似.(B)合同，但不相似.(D)既不合同，又不相似.从而A与B不相似.解由I人E - A 1= 0得A的特征值为0, 3, 3,而B的特征值为0, 1, 1又r(A)
14、=r(B)=2,且A、B有相同的正惯性指数，因此A与B合同.故选(A).评注1)若A与B相似，贝0I AI=I B I ； r(A)= r(B)； tr(A )= tr(B); A与B有相同的特征值.2)若A、B为实对称矩阵，则A与B合同0 r(A)= r(B),且A、B有相同的正惯性指数.三、注重前后知识联系，努力培养综合思维能力线性代数不仅概念多，公式结论多，而且前后知识联系紧密，环环相扣，几乎从任何一 个知识点都可切入将前后知识联系起来考查.例如：行列式IAI=0 0矩阵A不可逆0 秩 r(A)n0A的行(列)向量组线性相关0 Ax=0有非零解0久=0是矩阵A的特征值fi可由a1，a2,
15、，an惟一线性表示B=x a +x a +x ar 112 2n n0 Ax=fi 有惟一解 x=(X,x2,xn)T,A=(a1，灼，,a)0 r(A)=r(A fi)=n0尹00 Ax=0只有零解0人=0不是A的特征值AB=0 0 A(b,b2,b)=0, B=( b1，b2,b)0 Ab =0, j=1,2, 槌o b1,b2,bs 均为 Ax=0 的解(n r(A)+r(B)n)o若b产0且A为n阶方阵时，b.为对应特征值卢0的特征向量AB=C o A(b1, b2，,br)=(C1, C2, C)o Ab.=C.,j=1,2,ro b为Ax=Cj的解.o C1, C2,Cr可由A的列
16、向量组a1, a2，,a线性表示.n r(C)=r(AB)r(A域 r(B).例8 (2003年数学一)设向量组I: a, a2,a可由向量组II: 6J2,艮线性表示，则(A)当rs时，向量组II必线性相关.(C)当rvs时，向量组I必线性相关.(C)当rs时，向量组I必线性相关.分析 本题可由定理“若a, a2,a可由外%, fi线性表出，且st，则a, a2, as 线性相关”，直接得正确选项(D).SS若不熟悉上述定理，可由反例通过排除法找到正确选项.也可根据上述结论用秩来判定：由题设，存在sXr矩阵尸，使(a,a2,4=(外必,供Ps*则 r(a , a，,a)=r( fi , fi
17、)PWr(fl , fi)Ws. 12 r - 1 s1s当rs时，有r(a, a，,a )Wsvr，此时a, a ,a必线性相关. 12 r12 r例9 (2002年数学一、二)已知4阶方阵A=a1, a2, a3, a4), a1, a, a3, a4均为4维列向量，其中a，a，a线性无关，a =2a-a，如果fi=a +a +a +a ,求线性方程组Ax=fi的通解.31、X 2尤k X 4 J代入如=夕，找出具体的方匕。J_匕 。J_ 匕 。分析本题可将 A=(a1, a , a , a4),fi=a +a+a +a 及 x=J_ 匕 。J_ 匕 。程，再按通常方法求解.也可由fi=a
18、1+a2+a3+a4即fi可由a1, a, a3, a4线性表示，相当于已知r 1 111k1J为Ax=fi的特解，为Ax=0的基础解系.再根据解的结构理及 a1-2a2+a3+0 a4=0 与 a2, a3, a4 线性无关知 论知Ax=fi的通解为r 1、r 1 1+ k-211、1 jk0 jX =，k为任意常数.评注 Ax=fi的解与fi可由A的列向量组线性表示之间可相互转换.例10已知3阶矩阵A与三维向量x，使得向量组x, Ax, A2x线性无关，且满足A3x=3Ax-2A2x.(1) 记P=(x, A, A2x)，求 3 阶矩阵 8,使 A=PBP1 ；(2) 计算行列式A+研分析
19、 A=PBP-i = AP=PB = P AP=B.本题(1)有多种方法求解:设法求出A的特征值、 特征向量；将B的每个元素作为未知量直接代入等式求解等等.但根据结论，由已知一组关系式：Ax=Ax,A2x=A2x,及A3x=3Ax-2A2x合并起来有(Ax,A2x ,A3x)=( A x A2x,3 A x-2A2x),f 0 00。f 0 0 0 :即 A(x, Ax, A2x)=(x, A x,A2x)1 0 3,也即AP=P1 0 3，可方便地求得、0 1- 2 /、0 1- 2 /(0 00 B= 1 03 .、0 1 - 2 /至于行列式的计算可用特征值(A、B有相同特征值)或相似矩
20、阵计算即可 (AB n A+EB+E).评注 从本题可见，矩阵运算AB=C与关系式Ab =C之间的转换可化为线性方程组的 j j解、矩阵的相似与对角化，进而还可利用特征值、相似矩阵求行列式等等.四、加强综合题型训练，全面系统地掌握好知识计算能力的提高不是一朝一夕的事，除了要不断归纳总结一些重要公式和结论并加以巧 妙、适当的应用外，还要靠平时的积累，要养成踏踏实实、有始有终将最后结果计算出来的 习惯，只要持之以恒、坚持练习，计算准确性的提高并不是一件困难的事而对整个知识的 融会贯通、综合应用也有赖于适当地多做这方面的练习，下面介绍几个综合性较强的例题.例11设A、B为三阶相似非零实矩阵，矩阵A=
21、(ajj)3 3满足护 (i,J=1,2,3)A为% 的代数余子式，矩阵B满足IE+2BI=IE+3BI=0,计算行列式A*B-A*+B-E|.“分析 由 IA*B-A*+B-EI= IA*(B-E)+(B-E)I= I(A*+E)(B-E)I= IA*+EI - IB-EI，知，只需计算IA*+EI及IB-EI.若能求出A或B的所有特征值，则问题即可解决.解 由 % =Ajj 知，At=A*，于是AAt=aA*=iaie，从而IAI2=iaAti=iiaiEI=IAI3，即 IA|2(1-|AI)=0.于是IAI=0 或IAI=1.又 A。0，不妨设 a 。0,由 IAI=a A +a A
22、+a A = a2 + a2 + a2 丰 0 ,知 =1.1111 1112 1213 13111213由IE+2BI=IE+3BI=0,知入=-上,入=-为B的两个特征值.1223因为AB，所以入=-；入=-1也为A的两个特征值.设入为A、B的另一特征值，根 122331=IAI=入入入=入，得 X = 6 .1 2 3633因为IA*B-A*+B-EI=I(A*+E)(B-E)I=A*+EI - IB-EI=IAt+EI - IB-EI.IAT+E|=|(A+E)T|=|A+EI =( X +1)( X +1) (X +1) = D7 =,1232 33f 3)f 4 一 - 5=10
23、,2 )L 3 JIB-EI=(入-1)(入-1)(入-1)=123故 A*B-A*+B-E=- 10 = 70.33评注本题综合考查了矩阵运算、行列式按行(列)展开定理、特征值的概念及利用特征 值求行列式等多个知识点.例12设A、B为mXn矩阵，则Ax=0与Bx=0同解的充要条件是(A) A、B为等价矩阵.(B) ATx=0与Bx=0同解.(C)A、B的行向量组等价.(D)A、B的列向量组等价.分析可用反例通过排除法得到正确选项.对于(A),相当于r(A)=r(B)，显然只是必要而非充分条件；对于(B),例如A=00)，B=120000,100/12V 2，显然Ax=0与Bx=0同解，10
24、)，B=1010 )01 /V 001 /11. 一1但ATx=0与BTx=0并不同解，排除(B)；对于(C)、(D)，考虑A=V显然A、B的列向量组等价，但Ax=0与Bx=0不同解，排除(D)，故应选(C).评注本题综合考查了矩阵等价、向量组等价与齐次方程组同解等多个知识点.对于(C)成立，也可这样证明：若如=0与Bx=0同解，考虑Ax = 0(I) Ax=0，(II) ，(III) Bx=0.Bx = 0则易知(I)、(II)、(III)同解，从而有1A r(A)=rVB=r(B)，由此可推导出A、B的行向量组等价.即列向量组a T,a T反过来，若A、B的行向量组等价，令1a。1a 2:
25、，B=1p p:2Va Jvp J，mm. ,aT 与 p T, p T,p T 等价，于是存在矩阵 p、q，使(a t,aT,. ,aT )= m12m12m(p T, P T,. , p T)P，(p T, p T,. , p T )=( a T,a T, .,a T )Q，即 A=PTB, B=QTA. 12m12m12m从而由 如=0有Bx=QTAx=0；反过来，由Bx=0，有Ax=PTBx=0，即 如=0与Bx=0同解.例13设A为三阶矩阵，入，)，入是A的三个不同特征值，对应特征向量为a ,a ,a，123123令 p=a. + a + a .证明p,Ap,A2p线性无关;(2)若
26、 A3p = Ap，求秩 r(A-E)及行列式A+2E.分析 证明一组向量线性无关一般用定义法，而求秩心-E）及行列式IA+2EI,由于不知 道A的具体形式，无法直接计算，可考虑先求出A的相似矩阵，再根据相似矩阵有相同的 秩及行列式求解即可.解 （1）设k 1 P + k2A0 + k3A20=O，由题设 Aa = Xa （i = 1,2, 3），于是 Ap = Aa + Aa + Aa = Xa + Xa + Xa ，A2p = X12a. + X2a+ X2a，代入整理得(k + k X + k X2 )a + (k + k X + k X2 )a + (k + k X + k X2) a
27、 = 0 .12 13 1112 23 2212 33 33必线性无关，于是有因为a 1,a2，a3是三个不同特征值对应的特征向量，k + k X + k X 2 = 0, 12 13 1 k + k X + k X 2 = 0, 12 23 21其系数行列式11X1X2X3X 2X 22X2必有 k = k = k = 0，故P,AP,A2线性无关.(2)由 A3。= Ap 有A(P,Ap,A20)=(Ap,A2P,A3P) = (Ap,A20,Ap )fO O O =(p,Ap,A2p) 1 0 1 ，0 1 Ojf 0 0 0 令 P=(p,Ap,A2。)，则 P 可逆，且P-AP= 1
28、 0 1 =8.010 J即 A8，于是 A-E-B-E，A+2E-B+2E. 从而有f-100。2 0 0r(A-E)=r(B-E)=r1-11=2,A+2EI=IB+2EI=12 1=6.01-1 j0 1 2评注 本题综合考查了行列式、矩阵的秩、线性无关、特征值与特征向量以及相似矩阵 的性质等多个重要知识点.例14设随机变量X的概率密度为1xco 尸， 0C兀 f （x） = 7 220,其他，对X独立地重复观察6次，用Y表示观察值大于-的次数，3又已知A= Y 4-2具有重特征值.-3 -35 )(1) 求A可对角化的概率；(2) 当A可对角化时，求可逆矩阵P，使P AP为对角形矩阵.
29、分析Y服从二项分布B(6, p)，其中 p=PX ：，而判定A可对角化，应先求出A的特征值，再根据特征值入的重数k与其线性无关特征向量的个数相等: n-r(入E-A)= k，将可对角化问题转化为特征矩阵入E-A的秩：r(入E-A)=n- k，由此确定Yiiiii的取值及其相应概率.解 （1）由于 P = j cos dx =，于是 YB 6,上3- 2222 I3X -11- 1 X -110X E - A = - YX - 42 = - YX - 4X - 233 X - 533X - 2X -110X -110（X - 2） - YX - 41=（X - 2） - 3 - YX - 703
30、31331=（人一2）（人 2 8 人 + 10 + Y）./ 1-11、若人=2为重根，则22-8 X2+10+Y=0，即Y=2.此时A= 24-2-3 -35 J|入E-A|=（入-2）2（入-6）.特征值为X =人=2，人=6.r 1)2r 1)C2 :匚1 -6 nV 2 JV 2 J15p = P (Y = 2)6541 1-1-223-3r 1因为 r(2E-A)=r -23V=1，属于特征值入广入广2的线性无关特征向量个数为3-r(2E-A)=2，表明A可对角化.若2为非重根，则人2-8人+ 10 + y =0有重根，则有82-4(10+ Y)=0，得 Y=6.此时A=I-31
31、2，仇E Al=(人6)2 (人2)，特征值为人=人=6，人=2.5 /因为 r(6E-A)=r - 63V=2尹1，表明A不可对角化.故A可对角化的概率为(2)由(1)知，A= 2-3 V=2,人=6.评注相关知识.r 111 :r 200 -10一 2,贝0有P -1AP =020V 013 7V006 7，令P= (a ,a ,a )=本题综合性较强不仅涉及到线性代数的多个知识点，还要求利用概率统计中的r 1:r 1:r 1 解(2E-A)x=0得特征向量a =1-1a 2 =0.解(6E-A)x=0得特征向量为a =3-2V0 JV1 J3V 7-312例15设A为三阶实对称矩阵，已知
32、Al= - 12，A的三个特征值之和为1.又a =齐次线性方程组(A*-4E)x=0的一个解向量，求A；(2) 求(A*+6E)x=0 的通解；(3) 求正交变换矩阵Q，化二次型xTAx为标准形.分析(1)设法求出A的所有特征值、特征向量，即可确定A； (2)(A*+6E)x=0的基础解 系，即为A*的特征值人=-6所对应的线性无关的特征向量，而A*与A对应特征值的特征 向量相同；(3)先将相同特征值的特征向量正交化，然后再单位化，以此为列所构成的矩阵Q即为所求正交变换矩阵.解由a为(A*-4E)x=0的解，知(A*-4E)a=0,即A*a=4a,于是 AA*a=4Aa,即 Al a =4A
33、a A a = ja =-3 a ,可见人=3为A的特征值，对应特征向量为设X1, X2为A的另两个特征值，利用X =- 33由题设 X + X + X = 1，XXX = l A l= -12 .231 2 3及上两式可解是X1的特征向量为X=r尤1XY 2V X J 3 /由A为实对称矩阵知:XT- a3=0，r 0:r 2 解得a =1,a =010 pu J21 V J即 X1-2X3=0，a ，知3X( a X, a X,1r 0 4 - 3)r 0 2 rr 1 02、A = (X a , X a , X a , ) a aa1 =)2001 0 0-020112233123V 2
34、 6 JV 0 1 - 2V2 0 - 21122A(2) 由 Aa = 2a , i = 1,2，矢口 A * Aa = 2 A * a ，即 A * a =a = - 6a，也即(A*+6E)a0，i=1,2,可见aa2即为(A*+6E)x=0的基础解系，故(A*+6E)x=0的通解为 k a + k a，其中k , k为任意常数.112212(3) 由于a 1,a2已正交，故只需将a 1,a2,a3单位化，有r 0:r 2、r 1、aa1a1门=L =1, n =2 = j0, n =3 = 01 l a l2 l a lV53 l a lV51V。J21V J3-2V 2 Jr 2。在1 : 右Q= (n e e )=100123120 rL寸5寸5 J则Q为正交矩阵，令X=Qy，则二次型f=XTAK可化为标准形f = 2 y 2 + 2 y 2 - 3 y 2. 123评注本题综合考查了线性方程组、实对称矩阵特征值与特征向量性质以及化二次型为 标准形等多个重要知识点.
