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1、因式分解的常用方法第一部分：方法介绍因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主 要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等因式分解的一般步骤是：(1) 通常采用一 “提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤 都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或 可利用公式法继续分解；(2) 若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数 法、试除法、拆项(添项)等方法；。注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。一、提公因式法： ma+mb+mc=m(a+b+c)二
2、、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因 式分解中常用的公式，例如：(1) (a+b)(a-b) = a2-b2a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (a 土 b)2 = a22ab+b2a2 2ab+b2=(a b)2 ；(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).下面再补充两个常用的公式：(5) a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2；(6) a3+b3+c3-3abc=(a+b
3、+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；例.已知 a，b，c 是 A ABC 的三边，且 a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca，则AABC的形状是()山直角三角形 B等腰三角形 C等边三角形D等腰直角三角形解：a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca n 2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2bc + 2can (a 一 b)2 + (b 一 c)2 + (c 一 a)2 = 0 n a = b = c三、分组分解法.(一)分组后能直接提公因式例1、分解因式： am + an + bm + bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公
4、因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a,后两项都含有 5,因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考 虑两组之间的联系。解：原式=(am + an) + (bm + bn)=a(m + n) + b(m + n)每组之间还有公因式！=(m + n)(a + b)例2、分解因式： 2ax 一 10ay + 5by 一 bx解法一：第一、二项为一组；第三、四项为一组。解：原式=(2ax - 10ay) + (5by - bx)=2a (x 一 5 y) 一 b( x 一 5 y)=(x 一 5y)(2a 一 b)练习：分解因式1、 a2 ab +
5、ac bc(二)分组后能直接运用公式例3、分解因式： x 2 一 y 2 + ax + ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、解法二：第一、四项为一组； 第二、三项为一组。原式=(2ax - bx) + (-10ay + 5by) =x(2a 一 b) 一 5 y (2a 一 b) =(2a 一 b)(x 一 5y)xy 一 x 一 y +12、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式=(x2 - y2) + (ax + ay)=(x + y)(x y) + a( x + y)=(x + y)(x y + a)例4、分解因式：a2 2ab + b2 c
6、2解：原式=(a2 2ab + b2) c2=(a b)2 c 24、x2 一 y2 一 z2 一 2 yz(2)ax2 bx2 + bx ax + a b (4)a2 6ab + 12b + 9b2 4a (6) 4a2x 4a2y b2x + b2y (8)a2 2a + b2 2b + 2ab +1 (10) (a + c)(a c) + b(b 2a)=(a b c)(a b + c)练习：分解因式3、x2 x 9y2 3y综合练习：(1) x 3 + x 2 y 一 xy 2 一 y 3(3) x2 + 6xy + 9y2 一 16a2 + 8a 一 1(5)a4 2a3 + a2
7、9(7) x2 一 2xy 一 xz + yz + y2(9)y(y 2) (m 1)(m +1)(11)a2(b + c) + b2(a + c) + c2 (a + b) + 2abc(12)a3 + b 3 + c 3 3abc四、十字相乘法.(一)二次项系数为1的二次三项式直接利用公式 x2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)进行分解。特点：(1)二次项系数是1；(2)常数项是两个数的乘积；(3) 一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律？例.已知0V a 0而且是一个完全平方数。于是 = 9 - 8a为完全平方数，a = 1例5、分解
8、因式：X2 + 5 x + 6分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于 6=2X3=(-2)X(-3)=1 X6=(-1)X(-6),从中可以发现只有 2X3的分解适合，即2+3=5。1 -一一_一一- 2解：X2 + 5X + 6 = X2 + (2 + 3)X + 2 x 313=(X + 2)( x + 3)1X 2+1X 3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数 的代数和要等于一次项的系数。例6、分解因式：X2 - 7X + 6解：原式=X2+(-1) + (-6)X + (一1)(-6)1-1=(X 1)( X 6)1-6(-1) + (-
9、6) = -7练习 5、分解因式(1) X2 +14x + 24 (2) a2 - 15a + 36 (3) X2 + 4x - 5 练习 6、分解因式(1) X2 + x - 2(2) y2 - 2y -15(3) X2 -10x - 24(二) 二次项系数不为1的二次三项式一- ax 2 + bx + c条件：(1) a = a1 a 2a. c 1(2) c = c ca / c(3) b = a c + a cb = a c + a c1 22 11 22 1分解结果： ax2 + bx + c = (a x + c )(a x + c )例7、分解因式：3x2 - 11x +10分析
10、：1X-23 r-5(-6) + (-5) = -11解：3x2 - 11x +10 = (X - 2)(3X - 5)练习7、分解因式： (1) 5x2 + 7x - 6(2) 3x2 - 7x + 2(3) 10X2 -17X + 3(4) - 6y2 +11 y +10(三) 二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：a2 - 8ab - 128b2分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。1 r 8b 1-16b8b+(-16b)= -8b解：a2 - 8a b-12 82 = a2 + 8b + (-16b)a + 8b x (-16b)=(a +
11、 8b)(a - 16b)练习8、分解因式(1)工2 - 3xy + 2y2例 10、x2 y2 一 3 xy + 2把xy看作一个整体1、，-1 r -2(-1)+(-2)= -3解：原式=(xy -1)(xy - 2)(2)a2x2 - 6ax + 8(2) m 2 - 6mn + 8n 2(3)a 2 - ab - 6b 2 (四)二次项系数不为1的齐次多项式例9、 2 x 2 一 7 xy + 6 y 21 /-2y2, 、-3y (-3y)+(-4y)= -7y解：原式=(x 2y)(2x 3y)练习9、分解因式：(1)15x2 + 7xy 4y2综合练习 10、(1)8x6 - 7
12、x3 -1(2)12x2 - 11xy -15y2(3)(x + y)2 - 3(x + y) -10(4)(a + b)2 - 4a - 4b + 3(5)x2y2 - 5x2y - 6x2(6)m2 - 4mn + 4n2 - 3m + 6n + 2(7)x2 + 4xy + 4y2 -2x-4y-3 (8)5(a + b)2 + 23(a2 -b2)- 10(a-b)2(9)4x2 - 4xy - 6x + 3y + y2 -10(10)12(x + y)2 +11(x2 - y2) + 2(x- y)2思考：分解因式： abcx 2 + (a 2 b 2 + c 2) x + abc五
13、、换元法。、换单项式例1分解因式x6 + 14x3y + 49y2.分析：注意到x6=(x3)2，若把单项式x3换元，设x3= m，则x6= m2,原式变形为m2 + 14m y + 49y2= (m + 7y)2 = ( x3 + 7y)2.(2)、换多项式例 2分解因式(x2+4x+6) + (x2+6x+6) +x2.分析：本题前面的两个多项式有相同的部分，我们可以只把相同部分换元，设 x2 +6= m，则 x2+4x+6= m+4x， x2+6x+6= m+6x，原式变形为(m+4x)(m+6x)+x2= m2 +10mx+24x2+x2= m2 +10mx+25x2=(m+5x)2=
14、 ( x2 +6+5x)2=(x+2)(x+3)2= (x+2) 2 (x+3)2.以上这种换元法，只换了多项式的一部分，所以称为“局部换元法”. 当然，我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元，就成了 “整体 换元法”.比如，设x2+4x+6=m，则x2+6x+6=m+2x，原式变形为m(m+2x)+ x2 = m2+2mx+x2= (m+x)2= ( x2+4x+6+x)2= ( x2+5x+6)2=(x+2)(x+3)2= (x+2) 2 (x+3)2.另外，还可以取前两个多项式的平均数进行换元，这种换元的方法被 称为“均值换元法”，可以借用平方差公式简化运算对于本例，设m= 2 (
15、x2+4x+6) + (x2+6x+6)= x2+5x+6，贝x2+4x+6=m-x，x2+6x+6=m+x， (m+x)(m-x)+x2= m2-x2+x2 = m2= (x2+5x+6)2= (x+2)(x+3)2=(x+2) 2 (x+3)2.例 3分解因式(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24.分析:这道题的前面是四个多项式的乘积，可以把它们分成两组相乘， 使之转化成为两个多项式的乘积.无论如何分组，最高项都是x2,常数项 不相等，所以只能设法使一次项相同.因此，把(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)分组 为(x-1) (x+2)(x-3)(x+4) = (x 2+x-2)
16、 (x2+x-12)，从而转化成例 2 形式加以 解决.我们采用“均值换元法”，设m= 2 (x2+x-2)+(x2+x-12)=x2+x-7，则 x2+x-2=m+5，x2+x-2= m-5，原式变形为(m+5)(m-5)+24=m2-25+24=m2-1=(m+1)(m-1)=( x2+x-7+1)( x2+x-7-1) =(x2+x-6)( x2+x-8)= (x-2)(x+3)( x2+x-8).、换常数例 1分解因式 x2(x+1)-2003X2004x.分析：此题若按照一般思路解答，很难奏效.注意到2003、2004两 个数字之间的关系，把其中一个常数换元.比如，设m=2003，则
17、2004=m+1. 于是，原式变形为x2(x+1) -m(m+1)x= xx(x+1)-m(m+1) = x(x2+x-m2-m)=x(x2 -m2) +(x-m)= x(x+m) (x-m)+(x-m) =x(x-m)(x+m+1)= x(x-2003)(x+2003+1)= x(x-2003)(x+2004).例 13、分解因式(1)2005x2 - (20052 -1)x - 2005(2) (x +1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) + x2解：(1)设2005= a，则原式= ax 2 - (a 2 -1)x - a=(ax +1)( x - a)=(2005 x +1)
18、( x 2005)(2)型如qbcd + e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式=(x 2 + 7 x + 6)( x 2 + 5 x + 6) + x 2设 x 2 + 5 x + 6 = A，贝U x 2 + 7 x + 6 = A + 2 x原式=(A + 2 x) A + x 2 = A 2 + 2 Ax + x 2=(A + x)2 = (x 2 + 6 x + 6)2练习 13、分解因式(1) (x2 + xy + y2)2 4xy(x2 + y2)(2) (x2 + 3x + 2)(4x2 + 8x + 3) + 90(3) (a2 +1)2 + (a2 + 5)
19、2 一 4(a2 + 3)2例 14、分解因式(1) 2x4 一 x3 - 6x2 一 x + 2观察：此多项式的特点一一是关于土的降式排列，每一项的次数依次少1， 并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。方法：提中间顼的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式= x2(2x2 一 x - 6 - 1 + ) = x2 b(x2 + ) 一 (x + -1) - & xx211-设 x + t，则 x2 + t2 2一x 一 尸2 (一)=x2(2t - 5)( + 2)=.，原式=x2 2( 12 -2) -1 - 6】=x2 kt2 -t-10) r2v.x 2 2
20、 x + 5 x + Ix人r 2 r1)x2 x + - - 5x x +一+ 2I x Vx )x 2 一 5 x + 2 )(2 + 2x +1)(I+K)寸 + (寸 X)(I+K)KH (寸+K寸)+ (寸 IKSzK)Kn 寸+K寸+K寸 ZKS gKnm(S+XT 一+x ma+x) H (I X)(I + (I + X ZX)(I + 3s+ ZXTI+。w乾I螯寸(I)祁因建虫，3尽。趣枳温,K(zx + x)z +一 + ZX+云 + 奏(s9 + XLZWT 寸X9 (I)TrIg 蜷7XTsx(Ti x)(- i mn(Tx)急n(s + x寸义打ZKKZ+Mn-I+Z
21、XIM 日 XZKKX寸一+ R 一 一 zKn(+ + I + X 寸 “建TUI y 1J I *I + X寸 + ZH+ gH寸寸x (E) (Z X)(I XZ)Z(I + XNw权旺辟l/W/ Ms) +K(lz + w/) + 义9 6 + zKn (膏 + XN x)(w/ + + x). + M x)g+x)n9I + x+ 义9 6 + 盛(膏 + M x)?+ + X)双氽居眼41 昭穆柚幽昼。(M X)(A + X)荥氽弋国义9 6+zxwE福足机骚“骚氽9 qI + x+义9 6+ZXE氽，91 尽 寸(X +K) +寸 X + 寸K(N+ ZH+ 寸x (寸) 5x)
22、+z(i3+5+x) (z)Z(Z X)(I + XU (寸+岸 ZX)(I + XUx2 +一 6 y 2 + x +13 y 6 = x2 + xy 6y 2 + (m + n)x + (3n 2m) y - mnm + n = 1cm = -2对比左右两边相同项的系数可得3n - 2m = 13，解得,n = 3mn = -6,原式=(x + 3 y 2)( x 2 y + 3)例17、(1)当m为何值时，多项式x2 - y2 + mx + 5y - 6能分解因式，并分 解此多项式。(2)如果x3+ax2 + bx + 8有两个因式为x +1和x + 2，求a + b的值。(1)分析：前
23、两项可以分解为(x + y)(x y),故此多项式分解的形式必 为(x + y + a)(x y + b)解：设 x2 - y 2 + mx + 5y - 6 = (x + y + a)(x y + b)则 x 2 - y 2 + mx + 5 y - 6 = x2 - y 2 + (a + b)x + (b - a) y + aba + b = ma = 2a = 2比较对应的系数可得：，b a = 5，解得：b = 3 或 b = 3ab = 6m = 1m = 1.当m = 1时，原多项式可以分解；当 m = 1 时，原式=(x + y 2)(x y + 3)； 当 m = -1 时，原
24、式=(x + y + 2)( x y 3)(2)分析：x3+ax2 + bx + 8是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘， 因此第三个因式必为形如x + c的一次二项式。解：设 x 3 + ax 2 + bx + 8 = (x +1)( x + 2)( x + c)则 U x 3 + ax 2 + bx + 8 = x 3+(3 + c) x 2 + (2 + 3c) x + 2ca = 3 + c a = 7. 0(x2 - 4)(x2 - 10x + 21) + 100的值一定是非负数4. 因式分解中的转化思想例：分解因式：(a + 2b + c)3 - (a + b)3 - (b
25、+ c)3分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c 的关系，努力寻找一种代换的方法。解：设 a+b=A， b+c=B， a+2b+c=A+B原式=(A + B)3 - A3 - B3=A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 - A3 - B3=3A2B + 3AB2= 3AB(A + B)=3(a + b)(b + c)(a + 2b + c)说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要 的。中考点拨例 1.在 AABC 中，三边 a,b,c 满足 a2 - 16b2 - c2 + 6ab + 10bc = 0求证：a + c = 2b证明
26、：/ a2 一 16b2 一 c2 + 6ab + 10bc = 0a2 + 6ab + 9b2 - c2 + 10bc - 25b2 = 0即(a + 3b)2 - (c - 5b)2 = 0(a + 8b - c)(a - 2b + c) = 0,/ a + b c. a + 8b c,即a + 8b 一 c 0于是有a - 2b + c = 0即 a + c = 2b说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不 能丢分。例 2.已知：x + = 2，则x3 +=xx3解： x3 += (x +)(x2 1 +)=(x +)(x + -)2 - 2 - 1x x=2 X 1
27、=2说明：利用x2 +=(x + i)2 - 2等式化繁为易。x2x题型展示1.若X为任意整数，求证：(7 -x)(3-x)(4-x2)的值不大于100。解：(7 - x)(3 - x)(4 - x2) -100=-(x - 7)(x + 2)(x - 3)(x - 2) - 100=-(x2 - 5x - 14)(x2 - 5x + 6) - 100=-(x2 - 5x) - 8(x2 - 5x) + 16=-(x2 5x 4)2 V 0.(7 x)(3 x)(4 x2) 100说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大 于100，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解
28、等方法恒等变形 成完全平方是一种常用的方法。2.将a2 + (a + 1)2 + (a2 + a)2分解因式，并用分解结果计算62 + 72 + 422。解：a2 + (a + 1)2 + (a2 + a)2=a2 + a2 + 2a + 1 + (a2 + a)2=2(a2 + a) + 1 + (a2 + a)2=(a2 + a + 1)2. 62 + 72 + 422 = (36 + 6 + 1)2 = 432 = 1849说明：利用因式分解简化有理数的计算。实战模拟1. 分解因式：(1) 3x5 一 10x4 - 8x3 - 3x2 + 10x + 8(2) (a2 + 3a - 3)
29、(a2 + 3a + 1) -5(3) x2 - 2xy - 3y2 + 3x - 5y + 2(4) x3 - 7x + 62. 已知：x + y = 6， xy = -1，求：x3 + y3 的值。3. 矩形的周长是28cm，两边x,y使x3 + x2y - xy2 - y3 = 0，求矩形的面 积。4. 求证：n3 + 5n是6的倍数。(其中n为整数)5. 已知：a 、 b 、 c 是非零实数，且1 11 111、a2 + b2 + c2 = 1，a(+ ) + b(+ ) + c(+ ) = -3，求 a+b+c 的值。b cc aa b6. 已知：a、b、c为三角形的三边，比较a2
30、+ b2 - c2和4a2b2的大小。经典三：因式分解练习题精选一、填空：（30分）1、若x2+ 2（m - 3）x +16是完全平方式，则m的值等于2、 x2 + x + m = （x 一 n）2 贝g m =n =3、2x3y2与12x6y的公因式是4、若xm 一 yn =(x + y2)(x 一 y2)(x2 + y4)，则 m=, n= 5、在多项式3y2 5y3 = 15y5中，可以用平方差公式分解因式的有，其结果是6、若x2 + 2(m - 3)x +16是完全平方式，则m=。7、 x 2 + () x + 2 = (x + 2)( x +)8、已知 1 + x + x2 + x2
31、004 + x2005 = 0,则 x2006 = 9、若16( a b)2 + M + 25是完全平方式M=10、x 2 + 6x +(_)= (x + 3)2，x 2 + ()+ 9 = (x 3)211、若9 x 2 + k + y 2是完全平方式，则k=。12、若x2 + 4x一 4的值为0，则3x2 +12x一5的值是13、 若 x2 一 ax 一 15 = (x +1)(x 一 15)则 a =。14、若 x + y = 4, x2 + y2 = 6 则 xy = 。15、方程尤2 + 4x = 0，的解是。二、选择题：(10分)1、多项式 一 a (a - x)(x - b) +
32、 ab(a 一 x)(b - x)的公因式是()A、一a、B、- a(a - x)(x - b) C、a(a - x)D、- a(x - a)2、若 mx2 + kx + 9 = (2x 3)2，则 m, k 的值分别是()A、m=2, k=6, B、m=2, k=12, C、m=4, k=12、D m=4, k=12、 3、下列名式：x2 - y2,-x2 + y2,-x2 - y2,(-x)2 + (-y)2,x4 - y4 中能用平方差公式分解因式的有()A、1 个，B、2 个，C、3 个，D、4 个4、计算(1-3 (1-)(1-寿的值是()A、1 B、Lc.L D旦2 201020三
33、、分解因式：(30分)1 、 x4 - 2x3 - 35x22、3x6 - 3x23、25(x - 2y)2 - 4(2y - x)24、x 2 一 4 xy 一 1 + 4 y 25、x5 - x6、x 3 17、ax 2 bx 2 bx + ax + b a8、x4 18x2 +8110、(x +1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) 24四、代数式求值(15分)一C1C 1、已知 2x y = 3 , xy = 2，求 2x4y3 x3y4 的值。2、若x、y互为相反数，且(x + 2)2 (y +1)2 = 4，求x、y的值3、已知a + b = 2，求(a2 b2)2 8(a
34、2 + b2)的值五、计算：(15) 3(1)0.75 x 3.66 X 2.664(2)(3)2x562 + 8x56x22 + 2x442六、试说明：(8分)1、对于任意自然数n，(n + 7)2 (n 5)2都能被动24整除。2、两个连续奇数的积加上其中较大的数，所得的数就是夹在这两个连续奇 数之间的偶数与较大奇数的积。七、利用分解因式计算（8分）1、一种光盘的外D=11.9厘米，内径的d=3.7厘米，求光盘的面积。（结果 保留两位有效数字）2、正方形1的周长比正方形2的周长长96厘米，其面积相差960平方厘 米求这两个正方形的边长。八、老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四个同学分别对这个多项式进 行了描述：甲：这是一个三次四项式乙：三次项系数为1，常数项为1。丙：这个多项式前三项有公因式丁：这个多项式分解因式时要用到公式法若这四个同学描述都正确请你构造一个同时满足这个描述的多项式，并将 它分解因式。（4分）经典四：一、因式分解选择题1、代数式 a3b2上 a2b3,上 a3b4+a4b3,a4b2 a2b4 的公因式是(22A、a3b2B、a2b2C、a2b3D、a3b32、用提提公因式法分解因式5a(x y)10b(x y)，提出的公因式应当为()A、5a 10bB、5a+ 10b C、5(x y)D、y x3、 把一8m3+12m2 + 4m分解因式，结果是()A、
