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1、无穷级数,无穷级数是研究函数的工具,表示函数,研究函数性质,数值计算,数项级数,幂级数,付氏级数,第九章 无穷级数,第一节 常数项级数的概念与基本性质,一、级数的概念,二、级数的基本性质,三、级数收敛的必要条件,一尺之椎，日取其半，永世不竭.,一、级数的概念1.级数的定义:,称为(实)常数项无穷级数.简称(实数项)级数.,(4)sn 称为级数的部分和数列.,称为级数的前 n 项部分和.,问题：上述级数定义中的“和式”只是形式上的，该如何理解无穷多个数量相加呢？,2.级数的收敛与发散:,(1)若级数的部分和数列 sn 有极限 s,(有限数),(2)若部分和数列sn没有极限,(不存在),(发散),
2、(3)余项,显然，级数收敛则其每个余项收敛；,级数是以“和”的形式出现的一个特殊数列(部分和数列)的极限，本质上是一个极限.,讨论级数 的敛散性,可以先求 sn,再求.,解,级数发散;,级数发散;,级数收敛;,级数发散.,综上,解,技巧 可利用将通项 an 拆项以求出 sn.,解,例3 判别无穷级数 的收敛性.,技巧 可利用对数运算性质求出 sn.,例4 证明调和级数 发散.,课本 Page 230 例3,证明 假设调和级数收敛于 S,则有,但,矛盾!,所以假设不真.,故调和级数 发散.,解,练习：判别无穷级数 的收敛性.,技巧 可利用等比数列求和公式求出 sn.,二、级数的基本性质,证明,在
3、级数前面加上或去掉有限项不影响级数的敛散性.,结论:级数的每一项同乘一个非零常数,敛散性不变.,结论:收敛级数可以逐项相加或逐项相减.,思考:,注意,收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛.,收敛,发散,推论 如果加括号后所成的级数发散,则原来级数也发散.,性质4 收敛级数任意加括号后所成的级数仍然收敛于原来的和.,例1 判断下列级数的敛散性.,注 当级数的通项为若干项之和时,可分别考虑以 其中每一项为通项的级数的敛散性,再利用级数逐项相加(减)的性质.,(收敛),(发散),例2 判断下列级数的敛散性.,解 考虑加括号后的级数,发散,从而原级数发散.,三、级数收敛的必要条件,证明,可见:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.,级数发散.,注意,并非级数收敛的充分条件.,但此级数发散.,例1 判断下列级数的敛散性.,(三个级数均发散),注,(4)判断级数 的敛散性.,(发散),四、小结,常数项级数的基本概念,级数的基本审敛法,3.按基本性质.,杂例：,例3,例4,练习,解:(1)令,则,故,从而,这说明级数(1)发散.,判断下列级数的敛散性,若收敛求其和:,因,进行拆项相消,这说明原级数收敛,其和为,(2),练习题,练习题答案,
