圆形有界磁场中“磁聚焦”.docx

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1、圆形有界磁场中“磁聚焦”的相关规律练习潢川一中孙思文 2019年1月15日当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示。规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。【典型题目练习】1. 如图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁p场，MN是一竖直放置的感光板.从圆形磁场最高点P垂直磁场射入大 /J 】

2、、/ X X X X、量的带正电，电荷量为q，质量为m，速度为v的粒子，不考虑粒子间。, X X X xz的相互作用力，关于这些粒子的运动以下说法正确的是（）X七，A. 只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN上B. 对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心C. 对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长D. 只要速度满足v qBR，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上m2. 如图所示，长方形abed的长ad=0.6m，宽ab=0.3m，0、汾别是ad、bc的中点，以e为圆心eb为半径的四分之一圆弧和以0为圆MOd为半径的四分之一圆席h弧组成的区域内有

3、垂直纸面向里的匀强磁场（边界上无磁场）磁一：I感应强度B=0.25T。一群不计重力、质量m=3X10-7kg、电荷量q=+2 x 乂 :X 10-3C的带正电粒子以速度v=5X 102m/s沿垂直ad方向且垂直于_._璀xx磁场射人磁场区域，则下列判断正确的是（ ）一#XXA. 从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边B. 从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边一*X：C. 从Od边射入的粒子，出射点分布在ab边一D. 从ad边射人的粒子，出射点全部通过b点3. 如图所示，在坐标系xOy内有一半径为a的圆形区域，圆心坐标为O1 （a，0），圆内分 布有垂直纸面向里的匀强磁场，在直线y=a

4、的上方和直线x=2a的左侧区域内，有一沿x轴 负方向的匀强电场，场强大小为E，一质量为m、电荷量为+q （q0）的粒子以速度v从O 点垂直于磁场方向射入，当入射速度方向沿x轴方向时，粒子恰好从O1点正上方的A点射 出磁场，不计粒子重力，求：1（1）磁感应强度B的大小；（2）粒子离开第一象限时速度方向与y轴正方向的夹角；（3）若将电场方向变为沿y轴负方向，电场强度大小不变，粒子以速度v从O点垂直于磁 场方向、并与x轴正方向夹角0=300射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的总 时间t。4. 如图所示的直角坐标系中，从直线x=Tl到y轴区域存在两个大小相等、方向相反的有 界匀强电场，其中x

5、轴上方的电场方向沿y轴负方向，x轴下方的电场方向沿y轴正方向。在电场左边界从A （-21，-l0）点到C （-21，0） 点区域内，连续分布着电量为+q、质量为m的粒 子。从某时刻起，A点到C点间的粒子依次连续 以相同速度v沿x轴正方向射入电场。从A点 射入的粒子恰好从y轴上的A （0，-1）点沿沿 x轴正方向射出电场，其轨迹如图所示。不计粒 子的重力及它们间的相互作用。（1）求从AC间入射的粒子穿越电场区域的时间t和匀强电场的电场强度E的大小。（2）求在A、C间还有哪些坐标位置的粒子通过电场后也能沿x轴正方向运动？（3）为便于收集沿x轴正方向射出电场的所有粒子，若以直线x=210上的某点为圆

6、心的圆 形磁场区域内，设计分布垂直于xOy平面向里的匀强磁场，使得沿x轴正方向射出电场的粒 子经磁场偏转后，都能通过x=210与圆形磁场边界的一个交点。则磁场区域最小半径是多大？ 相应的磁感应强度B是多大？5. 如图所示，在xoy坐标系中分布着三个有界场区：第一象限中有一半径为r=0.1m的圆形 磁场区域，磁感应强度B1=1T，方向垂直纸面向里，该区域同时与x轴、y轴相切，切点分 别为A、C；第四象限中，由y轴、抛物线FG （ y = -10x2 + x-0.025，单位：m）和直线DH（y = x-0.425，单位：m）构成的区域中，存在着方向竖直向下、强度E=2.5N/C的匀强电 场；以及

7、直线DH右下方存在垂直纸面向里的匀强磁场B2=0.5T。现有大量质量m=1X10-6kg（重力不计），电量大小为q=2X10-4C，速率均为20m/s的带负电的粒子从A处垂直磁场 进入第一象限，速度方向与y轴夹角在0至1800之间。（1）求这些粒子在圆形磁场区域中运动的半径；（2）试证明这些粒子经过x轴时速度方向均与x轴垂直;（3）通过计算说明这些粒子会经过y轴上的同一点，并 求出该点坐标。6. 如图所示，真空中一平面直角坐标系xOy内，存在着两个边长为L的正方形匀强电场区 域1、11和两个直径为L的圆形磁场区域m、w。电场的场强大小均为E,区域I的场强方 向沿X轴正方向，其下边界在X轴上，右

8、边界刚好与区域II的边界相切；区域II的场强方向 沿y轴正方向，其上边界在x轴上，左边界刚好与刚好与区域W的边界相切。磁场的磁感应域W的圆心坐标为（0，）、磁场方向垂直于xOy平面向里。强度大小均为2 ：2mE，区域m的圆心坐标为（0，L ）、磁场方向垂直于xOy平面向外；区 qL2两个质量均为m、电荷量均为q的带正电粒子M、N，在外力约_l束下静止在坐标为（_3L22L）、（ _ 1L，虹L）的两 224点。在x轴的正半轴（坐标原点除外）放置一块足够长的感光板，板面垂直于xOy平面。将 粒子M、N由静止释放，它们最终打在感光板上并立即被吸收。不计粒子的重力。求:（1）粒子离开电场I时的速度大

9、小。（2）粒子M击中感光板的位置坐标。（3）粒子N在磁场中运动的时间。7. 如图所示，半圆有界匀强磁场的圆心O1在x轴上，OO距离等于半圆磁场的半径，磁感应 强度大小为B、虚线MN平行x轴且与半圆相切于P点。在MN上方是正交的匀强电场和匀强 磁场，电场场强大小为E，方向沿x轴负向，磁场磁感应强度大小为B2。B1，B2方向均垂直 纸面，方向如图所示。有一群相同的正粒子，以相同的速率沿不同方向从原点、射入第I 象限，其中沿x轴正方向进入磁场的粒子经过P点射入MN后，恰好在正交的电磁场中做直 线运动，粒子质量为m，电荷量为q （粒子重力不计）。求：(1) 粒子初速度大小和有界半圆磁场的半径。(2)

10、若撤去磁场B2,则经过P点射入电场的粒子从y轴出电场时的坐标。(3) 试证明：题中所有从原点O进入第I象限的粒子都能在正交的电磁场中做直线运动。8. 如图甲所示，真空中有一个半径r=0.5m的圆形磁场，与坐标原点相切，磁场的磁感应强 度大小B=2.0X10tT，方向垂直于纸面向里，在x=r处的虚线右侧有一个方向竖直向上的宽 度L=0.5m的匀强电场区域,电场强度E=1.5X 103N/C，在x=2m处有一垂直x方向的足够长的荧光屏，从O点处向不同方向发射出速率相同的比荷q = 1.0x 109。/kg带负电的粒子，粒 m子的运动轨迹在纸面内。一个速度方向沿y轴正方向射入磁场的粒子M，恰能从磁场

11、与电场 的相切处进入电场。不计重力及阻力的作用。求：(1) 粒子M进入电场时的速度。(2) 速度方向与y轴正方向成30 (如图中所示)射入磁 场的粒子N，最后打到荧光屏上，画出粒子N的运动轨迹并 求该发光点的位置坐标。9. 如图甲所示，质量m=8.0X10包kg，电荷量q=1.6X10T5C的带正电粒子从坐标原点O处沿 xOy平面射入第一象限内，且在与x方向夹角大于等于30的范围内，粒子射入时的速度方 向不同，但大小均为v2.0X 107m/s。现在某一区域内加一垂直于xOy平面向里的匀强磁场, 磁感应强度大小B=0.1T，若这些粒子穿过磁场后都能射到与y轴平行的荧光屏MN上,并且 当把荧光屏

12、MN向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变。(兀=3.14)求：(1) 粒子从y轴穿过的范围。(2) 荧光屏上光斑的长度。(3) 从最高点和最低点打到荧光屏MN上的粒子运动的时间差。(4) 画出所加磁场的最小范围(用斜线表示)。M y答案1D2D3解：(1)设粒子在磁场中做圆运动的轨迹半径为R,牛顿第二定律D u2B =qvB = m. 口有*,粒子自A点射出，由几何知识 ，计算得出(2)粒子从A点向上在电场中做匀减运动，设在电场中减速的距离为1mt：-mv1两1 = 0- - m.v卯=训由，得 ”.所以中最高点的坐标为(3) 粒子在磁场中做圆运动的周期 粒子从磁场中的P点射出，因磁场圆和粒

13、子的轨迹圆的半径相等,构成菱形，故粒子从P点的出射方向与y轴平行，粒子由O到P所对应的圆心角为七由几何知识可以知道，粒子由P点到x轴的距离,*盘，粒子在电场中做匀变速运动，在电场中运动的时间.：， 粒子由P点第2次进入磁场，由Q点射出，构成菱形，由几何知识可以知道Q点在 x轴上,粒子由P到Q的偏向角为七_ T则：粒子先后在磁场中运动的总时间，粒子在场区之间做匀速运动的2何-5)切=时间，计算得出粒子从射入磁场到最终离开磁场的时间,.(2-1 7T = 1 卜也= I 目- -.4(1)从A点射出的粒子，由A到A的运动时间为T,根据运动轨迹和对称性可得x轴方向：”，(6分)y轴方向：三=I -

14、L -得：;11分)(2) 设到C点距离为Ay处射出的粒子通过电场后也沿x轴正方向，粒子第一次达x轴用I (jEA + 徵=脚 A + *+ A + g = 2 + (A +1)，时At，水平位移为 x, I .(6分)若满足，则从电场射出时的速度方向也将沿x轴正方向(11分)A 4- 7 = - +y = I。解之得：+ +- 即AC间y坐标为:(n = 1，2,3，)(3) 当n=1时，粒子射出的坐标为二一当n=2时，粒子射出的坐标为当nN3时，沿x轴正方向射出的粒子分布在到y己之间（如图）到二之间的距离为“ -l/un=+-2 = L=：二 则磁场的最小半径为 -若使粒子经磁场偏转后会聚

15、于一点，粒子的运动半径与磁场 圆的半径相等（如图），（轨迹圆与磁场圆相交，四边形 ：.八为棱形）由木得：.（22分）（22 分）mu己凹廿=胡mvjixlO-Fo2xlO-x2hi = 0. Im5（1）根据1得（2）考察从A点以任意方向进入磁场的粒子,设其从K点离开磁场，*和*分别是磁场区 域和圆周运动的圆心，因为圆周运动半径和磁场区域半径相同，因此- 为菱形，离 开磁场时速度垂直于,即垂直于x轴，得证小珀）危.说）、（3）设粒子在第四象限进入电场时的坐标为，离开电场时的坐标为，离开电场时速度为，在磁场区域做圆周运动的半径为政（说_豹）=| m两一| *疽为皿=ill= -2 -0.025

16、说=-0.425并将.和,，艮=X代入得因的方向与DH成，且半径刚好为x坐标值，则粒子做圆周运动的圆心必在y轴上，在此磁场中恰好（0. -0.425）经过四分之一圆周,并且刚好到达H处,H点坐标为，故得口 mE砂闻=血十nFi.Fi,由牛顿第二定律得：，计算得出： 计算得出“,=J 耍 .V m2粒子在磁场中做匀速圆周运动由牛顿第二定律得因M运动的轨道半径与磁场区域的半径相同故M在磁场III中运动四分之一周期后经过原点进入磁场IV.再运动四分之一周期后平行于件由雁电场中运确间t = 沿龟场力位移=护W、尊X)2 = * W Z ；所以假设成立运动轨迹如图所示沿电场方向的速度vy = at =(

17、馨速度偏向角的正切tan。= = 印 2 设出电场后沿对由方向的位移为.则tang = is!麻以鸟=?X2M击中感光板的横坐标为T = | +L+Xl = 2L，位置坐标为(21.0).西L 据在磁场III中由几何关系得:rose = = 冷所以0 = 30 .圆强对应的圆心角0 = 180-30 = 150 w 粒子在运动的周期r=17 J芸所以粒子在磁场hi中运动的时间，= 忠丁=普寸罗*由对称关系得粒子在磁场in、iv中运动时间相同故粒子在磁场中运动的时间为 = 2*=等/关gB# = E(i7解：(1)在MN上方,粒子做匀速直线运动，洛伦兹力与电场力平衡，故E珈=百Bl则：,，根据题

18、意知粒子在磁场-中圆周运动半径与该磁场半径相同,(2)在电场中粒子做类平抛运动:1粒子在区域I中运动由动能定理得正方向离开磁场.然后进入电场II做类平抛运动假设M射出电场后再打在对由的感光板上.则.3 N做圆周运动的轨道半径与磁场区域的半径相同.分析可得N将从b点进入磁场由坐标原点。离开磁场III进入磁场.然后从d点离开磁场IV其部分轨迹如图所示一T = 7? = |-V = Tg-。r BL ,计算得出：矿=如7?=譬寿则：；正确云-=(3)证明:设从O点入射的任一粒子进入：磁场时，速度方向与x轴成角，粒子出磁 场与半圆磁场边界交于Q点，如图所示，OOiOQOQ找出轨迹圆心，可以看出四边形.

19、,四条边等长是平行四边形，所以半径,与平行.0?Q所以从Q点出磁场速度与 垂直，即与x轴垂直，所以垂直进入MN边界.B?gj岳=E(i进入正交电磁场E、中都有：，故做直线运动.8解：(1)根据题意及几何关系可得，粒子甲在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径:-.疽 洛伦兹力提供向心力，故有：V m Rv = l.QxlO ni/s可得粒子进入电场时的速度：,、，、1 时一一 ,(2)粒子乙在磁场中转过角后从P点垂直电场线进入电场,运动轨迹如图所示：在电 场中的加速度大小:a = = 1.5xlO3xlxlOfl = 1.5xl012m/sa m.粒子乙穿出电场时:Vi, = at邛=tix - =

20、1 Sx 10lv0 5x -t = 0.75x lOm/slxlO111蜘“些=空军=0成如1x1伊,=1.5r = 0.750? 在磁场中：A 55xlOiax( -T)2 =0. IS 75 mlx IO117,1土 1=。弓X lu在电场中侧移：:飞出电场后粒子做匀速直线运动：必=乙拓皿=(2-0-5-0.5)x0.75 = 0.75m 灯 y = 】-虎-乩= -lm,故则该发光点的坐标：.ev(LS m g9解:设磁场中运动的半径为R,牛顿第二定律得：,计算得出：带入数值计算得出：当把荧光屏MN向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变，说明电子出射方向平行，都沿-x 方向，所加磁场为圆形，半径为.为*(1)电子从y轴穿过的范围:初速度沿y轴正方向的粒子直接过y轴 速度方向在与X方向成的粒子，转过的角/q F?0Tti粒子从y轴穿过的范围,即 ：;w = (2)如图所示，初速度沿y轴正方向的粒子，钢.00?B 时速度方向在与X方向成的粒子，转过的圆心角为圆心角ZOOA = H = 3。 = R Rtxh渊.右，如* = =味12荧光屏上光斑的长度:为(3)粒子旋转的周期：在磁场中的时间差：出磁场后，打到荧光屏的时间差：从最高点和最低点打到荧光屏MN上的粒子运动的t = i = ( +0.5)xl0-s5时间差：(4) 最小磁场范围就是所有粒子运动的范围，如下图阴影部分: