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1、平面向量应用举例练习题一、选择题1一物体受到相互垂直的两个力f1、f2的作用，两力大小都为5N，则两个力的合力的大小为()A10N B0N C5N D.N2河水的流速为2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为()A10m/sB2m/s C4m/s D12m/s3(2010山东日照一中)已知向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，若|a|2，|b|3，ab6，则的值为()A. B C. D4已知一物体在共点力F1(lg2，lg2)，F2(lg5，lg2)的作用下产生位移S(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W为()Alg2 Blg5 C1 D25
2、在ABC所在的平面内有一点P，满足，则PBC与ABC的面积之比是()A. B. C. D. 6点P在平面上作匀速直线运动，速度v(4，3)，设开始时点P的坐标为(10,10)，则5秒后点P的坐标为(速度单位：m/s，长度单位：m)()A(2,4) B(30,25) C(10，5) D(5，10)7已知向量a，e满足：ae，|e|1，对任意tR，恒有|ate|ae|，则()Aae Ba(ae) Ce(ae) D(ae)(ae)8已知|1，|，点C在AOB内，AOC30，设mn，则()A. B3 C3 D.二、填空题9已知a(1,2)，b(1,1)，且a与ab的夹角为锐角，则实数的取值范围是_10
3、已知直线axbyc0与圆O：x2y24相交于A、B两点，且|AB|2，则_.三、解答题11已知ABC是直角三角形，CACB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE2EB.求证：ADCE.12ABC是等腰直角三角形，B90，D是BC边的中点，BEAD，垂足为E，延长BE交AC于F，连结DF，求证：ADBFDC.13(2010江苏，15)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，2)，B(2,3)，C(2，1)(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(t)0，求t的值14一条宽为km的河，水流速度为2km/h，在河两岸有两个码头A、B，已知ABkm，船在水中最
4、大航速为4km/h，问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B码头？用时多少？15在ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BNBD，求证：M，N，C三点共线16如图所示，正方形ABCD中，P为对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量方法证明PAEF.17如图所示，在ABC中，ABAC，D是BC的中点，DEAC，E是垂足，F是DE的中点，求证AFBE.平面向量应用举例参考答案1答案C解析根据向量加法的平行四边形法则，合力f的大小为55(N)2. 答案B解析设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则|v1|2，|v|10，vv1.v2vv1，vv1
5、0，|v2|2.3答案B解析因为|a|2，|b|3，又ab|a|b|cosa，b23cosa，b6，可得cosa，b1.即a，b为共线向量且反向，又|a|2，|b|3，所以有3(x1，y1)2(x2，y2)x1x2，y1y2，所以，从而选B.4答案D解析W(F1F2)S(lg2lg5,2lg2)(2lg5,1)(1,2lg2)(2lg5,1)2lg52lg22，故选D.5答案C解析由，得0，即2，所以点P是CA边上的三等分点，如图所示故.6答案C解析5秒后点P的坐标为：(10,10)5(4，3)(10，5)7答案C解析由条件可知|ate|2|ae|2对tR恒成立，又|e|1，t22aet2ae
6、10对tR恒成立，即4(ae)28ae40恒成立(ae1)20恒成立，而(ae1)20，ae10.即ae1e2，e(ae)0，即e(ae)8答案B解析m|2nm，mn|23n，1，3.二、填空题9 答案且0解析a与ab均不是零向量，夹角为锐角，a(ab)0，530，.当a与ab同向时，abma(m0)，即(1，2)(m,2m)，得，且0.10 答案2解析|AB|2，|OA|OB|2，AOB120.|cos1202.三、解答题11证明以C为原点，CA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系设ACa，则A(a,0)，B(0，a)，D，C(0,0)，E.，.aaa0，ADCE.12 证明如图，以B为原点，
7、BC所在直线为x轴建立直角坐标系，设A(0,2)，C(2,0)，则D(1,0)，(2，2)设，则(0,2)(2，2)(2，22)，又(1,2)由题设，0，22(22)0，.，又(1,0)，cosADB，cosFDC，又ADB、FDC(0，)，ADBFDC.13解析(1)由题设知(3,5)，(1,1)，则(2,6)，(4,4)所以|2，|4.故所求的两条对角线长分别为4和2.(2)由题设知(2，1)，t(32t,5t)由(t)0，得(32t,5t)(2，1)0，从而5t11，所以t.14 解析如图所示，设为水流速度，为航行速度，以AC和AD为邻边作ACED且当AE与AB重合时能最快到达彼岸根据题
8、意ACAE，在RtADE和ACED中，|2，|4，AED90.|2，sinEAD，EAD30，用时0.5h.答：船实际航行速度大小为4km/h，与水流成120角时能最快到达B码头，用时半小时15证明.因为，()，所以，. 由于，可知3，即.又因为MC、MN有公共点M，所以M、N、C三点共线16分析本题所给图形为正方形，故可考虑建立平面直角坐标系，用向量坐标来解决，为此只要写出和的坐标，证明其模相等即可证明建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为a，则A(0，a)设|(0)，则F，P，E，所以，因为|22aa2，|22aa2，所以|，即PAEF.17证明ABAC，且D是BC的中点，0.又，0.，F是DE的中点，.()()()()0.，AFBE.
