地球椭球与椭球计算理论.docx

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1、第六章地球椭球与椭球计算理论本章提要:本章讲述地球椭球与参考椭球的概念，进而介绍椭球的基本几何参数，基本坐 标系及其相互关系。同时，讲述椭球面同地面之间的关系，如何将地面观测元素（水平方向 及斜距等）归算至椭球面上。在对本章的学习中，要建立起空间的概念，只有建立了地球椭 球的这些基本空间概念后，才能更好地学习控制测量的内业数据处理等相关知识。 6.1地球椭球的基本几何参数及其相互关系6.1.1地球椭球的基本几何参数地球椭球：在控制测量中，用来代表地球的椭球，它是地球的数学模型。参考椭球:具有一定几何参数、定位及定向的用以代表某一地区大地水准面的地球椭球。 地面上一切观测元素都应归算到参考椭球面

2、上，并在这个面上进行计算。参考椭球面是大地 测量计算的基准面，同时又是研究地球形状和地图投影的参考面。地球椭球的几何定义：O是椭球中心，NS为旋转 轴，a为长半轴，b为短半轴。子午圈：包含旋转轴的平面与椭球面相截所得的椭 圆。纬圈:垂直于旋转轴的平面与椭球面相截所得的圆， 也叫平行圈。赤道：通过椭球中心的平行圈。地球椭球的五个基本几何参数：椭圆的长半轴a椭圆的短半轴b椭圆的扁率a= QaI椭圆的第一偏心率e =侦2一如a椭圆的第二偏心率d=E如b其中a、b称为长度元素；扁率a反映了椭球体的扁平程度。偏心率e和口是子午椭圆 的焦点离开中心的距离与椭圆半径之比，它们也反映椭球体的扁平程度，偏心率愈

3、大，椭球 愈扁。两个常用的辅助函数，W第一基本纬度函数，V第二基本纬度函数：W = v1 - e2sin2 BV = ；1 + ef2 cos2 B我国建立1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球;建立1980年国家大地坐标系 应用的是1975年国际椭球；而全球定位系统（GPS）应用的是WGS-84系椭球参数。几种常见的椭球体参数值克拉索夫斯基椭球体1975年国际椭球体WGS-84椭球体a6 378 245.000 000 000 0 (m)6 378 140.000 000 000 0 (m)6 378 137.000 000 000 0 (m)b6 356 863.018 773 04

4、7 3 (m)6 356 755.288 157 528 7 (m)6 356 752.314 2 (m)c6 399 698.901 782 711 0 (m)6 399 596.651 988 010 5 (m)6 399 593.625 8 (m)a1 / 298.31 / 298.2571/298.257 223 563e 20.006 693 421 622 9660.006 694 384 999 5880.006 694 379 901 3ef 20.006 738 525 414 6830.006 739 501 819 4730.006 739 496 742 276.1.2

5、地球椭球参数间的相互关系其他元素之间的关系式如下：1 a = by 1 + e 2, b = aP 1 - e 2 c = aV = W(1 + e”，W =1 -e2e2 = 2a a2 牝 2a(b W = 41 - e 2 - V = - - VIa )/ ( a、V = J1 + e2 W = - - WI b )W 2 = 1 - e 2 sin2 B = (1 - e 2)V 2V 2 = 1 +门 2 = (1 + e2)W 2式中，W第一基本纬度函数，V第二基本纬度函数。 6.2椭球面上的常用坐标系及其相互关系6.2.1大地坐标系P点的子午面NPS与起始子午面NGS所构成的二

6、面角L，叫做P点的大地经度，由起始子午面起算，向东 为正，叫东经（0180），向西为负，叫西经（0穴 180）。P点的法线P与赤道面的夹角B，叫做P点的 大地纬度。由赤道面起算，向北为正，叫北纬（090）； 向南为负，叫南纬（090 ）。大地坐标系是用大地经度L、大地纬度B和大地高H表示地面点位的。过地面点P的子 午面与起始子午面间的夹角叫P点的大地经度。由起始子午面起算，向东为正，叫东经（0 180），向西为负，叫西经（0-180）。过P点的椭球法线与赤道面的夹角叫P点的大 地纬度。由赤道面起算，向北为正，叫北纬（090）， 向南为负，叫南纬（0 -90）。从地面点P沿椭球法 线到椭球面的距

7、离叫大地高。大地坐标坐标系中，P点 的位置用L , B表示。如果点不在椭球面上，表示点的位 置除L , B外，还要附加另一参数一一大地高H，它同 正常高H正常及正高H正有如下关系H = H正常+。（高程异常）H = H正+ N（大地水准面差距）6.2.2空间直角坐标系以椭球体中心0为原点，起始子午面与赤道面交线为X轴，在赤道面上与X轴正交的方向为y轴，椭球体的旋转轴为Z轴，构成右手坐标 系0 - XYZ，在该坐标系中，P点的位置用X, Y, Z表 示。地球空间直角坐标系的坐标原点位于地球质心（地心坐标系）或参考椭球中心（参心坐标系），z轴 指向地球北极，x轴指向起始子午面与地球赤道的交 点，y

8、轴垂直于XOZ面并构成右手坐标系。6.2.3子午面直角坐标系设P点的大地经度为L，在过P点的子午面上， 以子午圈椭圆中心为原点，建立x,y平面直角坐标系。在该坐标系中，P点的位置用L, x, y表示。6.2.4大地极坐标系M为椭球体面上任意一点，MN为过M点的子午线，S 为连结MP的大地线长，A为大地线在M点的方位角。以M 为极点，MN为极轴，S为极半径，A为极角，这样就构成 大地极坐标系。在该坐标系中P点的位置用S , A表示。椭球面上点的极坐标（S , A）与大地坐标（L , B）可以 互相换算，这种换算叫做大地主题解算。6.2.5各坐标系间的关系椭球面上的点位可在各种坐标系中表示，由于所

9、用坐标 系不同，表现出来的坐标值也不同。1. 子午面直角坐标系同大地坐标系的关系过P点作法线Pn，它与x轴之夹角为B，过P点作子 午圈的切线TP，它与x轴的夹角为（90 + B）。子午面 直角坐标x,y同大地纬度B的关系式如下：a cos B a cos Bx = .7 =vl-e2 sin2 B Wa (1 - e 2)sin Ba *、 . _ b sin By = =(1 - e 2)sin B =-vl- e2 sin2 B WV2. 空间直角坐标系同子午面直角坐标系的关系空间直角坐标系中的P2 P相当于子午平面直角坐标系中的y，前者的0相当于后者的x，并且二者的经度L相同i2X =

10、xcosLY = x sin L Z = y3. 空间直角坐标系同大地坐标系的关系同一地面点在地球空间直角坐标系中的坐标和在大地坐标系中的坐标可用如下两组公式转换。x =(N + H )cos B cos LN/+ H)Y B 和 Lz = N1 - e A h sin BL = arctan x八z + Ne 2 sin BB = arctan-fX2 + 2e 2)zH = - Nsin B式中:，可由长短半径按式e 22算得。N法线长度，可由式N = a /1一 e2 sin2 B算得。6.3几种主要的椭球公式过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫做法截面，

11、法截面同椭球面交线叫法截线(或法截弧)。包含椭球面一点的法线，可作无数多个法截面， 相应有无数多个法截线。椭球面上的法截线曲率半径不同于球面上的法截线曲率半径都等于 圆球的半径，而是不同方向的法截弧的曲率半径都不相同。6.3.1子午圈曲率半径子午椭圆的一部分上取一微分弧长DK = ds， 相应地有坐标增量dx，点n是微分弧dS的曲率中 心，于是线段Dn及Kn便是子午圈曲率半径M。任意平面曲线的曲率半径的定义公式为：豚 dSM = dB子午圈曲率半径公式为:M = 1W 3cNM = 或 M =V 3V 2M与纬度B有关.它随B的增大而增大，变化规律如下表所示:BM说明B = 0。，一、c在赤道

12、上，M小于赤道半径aM = a(1 - e 2) = i0L(1 + e2)30。 B 90。B = 90。a(1 - e 2) M c-,a此间M随纬度的增大而增大在极点上，M等于极点曲率半径cM = ：= c6.3.2卯酉圈曲率半径过椭球面上一点的法线，可作无限个法截 面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭 球面相截形成的闭合的圈称为卯酉圈。在图中 PEE即为过P点的卯酉圈。卯酉圈的曲率半径 用N表示。为了推导N的表达计算式，过P点作以O 为中心的平行圈PHK的切线PT，该切线位于垂 直于子午面的平行圈平面内。因卯酉圈也垂直于 子午面，故PT也是卯酉圈在P点处的切线。即 PT垂直于Pn

13、。所以PT是平行圈PHK及卯酉圈 PEE在P点处的公切线。卯酉圈曲率半径可用下列两式表示：6.3.3任意法截弧的曲率半径子午法截弧是南北方向，其方位角为0或180。卯 酉法截弧是东西方向，其方位角为90。或270。现在来讨 论方位角为A的任意法截弧的曲率半径Ra的计算公式。任意方向A的法截弧的曲率半径的计算公式如下：RA 1 +门 2 cos 2 A 1 + e 2 cos 2 B cos 2 A(7-87)6.3.4平均曲率半径NN在实际际工程应用中，根据测量工作的精度要求，在一定范围内，把椭球面当成具有适 当半径的球面。取过地面某点的所有方向Ra的平均值来作为这个球体的半径是合适的。这个球

14、面的半径一一平均曲率半径R：R MNb c N a .-R = =y (1 e 2)W 2 V 2 V W 2因此，椭球面上任意一点的平均曲率半径R等于该点子午圈曲率半径M和卯酉圈曲率 半径N的几何平均值。6.3.5子午线弧长计算公式子午椭圆的一半，它的端点与极点相重合；而赤道又把子午线分成对称的两部分。如图所示，取子午线上某微分弧PP = dx，令P点纬度为B， P点纬度为B + dB，P点的子午圈曲率半径为M，于是有：dx = MdB从赤道开始到任意纬度B的平行圈之间的弧长可由下列积分求 出：X = j B MdB 0 式中M可用下式表达：M = a a cos 2B + a cos 4B

15、 a cos 6B + a cos 8Ba = m +2 + m +#m m +其中:a2m=+2m+2157m16 832m +am 一 +3 m+ -7 m4816 632 80028 416 6128 8m ma = -+ -8-63216ma = 8-8128经积分，进行整理后得子午线弧长计算式:aaaaX = a B 2- sin 2B + 4 sin 4B 一 g sin 6B + sin 8B为求子午线上两个纬度B1及气间的弧长，只需按上式分别算出相应的X1及X2，而后取差:AX = 乂2 -X，该AX即为所求的弧长。12克拉索夫斯基椭球子午线弧长计算公式：X = 111134.

16、861B。16036.480 sin 2B +16.828 sin 4B 0.022 sin 6 BX = 111134.861B。 32005.780sin B cos B 133.929 sin3 B cos B 0.697 sins B cos B1975年国际椭球子午线弧长计算公式：X = 111133.005B。16038.528 sin 2B +16.833 sin 4 B 0.022 sin 6 BX = 111133.005B。 32009.858sin BcosB 133.960sin3 BcosB 0.698sins BcosB6.3.6底点纬度计算在高斯投影反算时，已知高

17、斯平面直角坐标(X, Y)反求其大地坐标(L,B)。首先X 当作中央子午线上弧长，反求其纬度，此时的纬度称为底点纬度或垂直纬度。计算底点纬度 的公式可以采用迭代解法和直接解法。(1) 迭代法在克拉索夫斯基椭球上计算时，迭代开始时设B i = X /111134 .8611f以后每次迭代按下式计算：Bf+i = (X - F (Bf )/111134.8611F(Bf) = -16036.4803 sin 2Bf + 16.8281sin 4Bf - 0.0220 sin 6Bf重复迭代直至Bi+1 - Bif 10:时或者H 2 000m时，则应分别考虑加垂线偏差改正和标高差改正。在特殊情况下

18、，应该根据测区的实 际情况作具体分析，然后再做出加还是不加改正的规定。如下表所示：三差改正主要关系量一等垂线偏差&加标高差H截面差S是否要加改正二等三、四等加酌情不加6.4.3电磁波测距边长归算椭球面电磁波测距仪测得的长度是连接地面两点间的直线斜距，也应将它归算到参考椭球面上。如图，大地点Q1和Q 2的大地高分别为H 1和H 2。其间用电 磁波测距仪测得的斜距为5，现要求大地点在椭球面上沿法线的投影点Q；和Q；间的大地线的长度S。在工程测量中边长一般都是几公里，最长也不过十几公里，因此，所求的大地线的长度可以认为是半径N1 + e 2 cos 2 B cos 2 A相应的圆弧长。电磁波测距边长

19、归算椭球面上的计算公式为:77TRAD 3+24R 2A电磁波测距边长归算的几何意义为:（1）计算公式中右端第二项是由于控制点之高差引起的倾斜改正的主项，经过此项改 正，测线已变成平距；（2）第三项是由平均测线高出参考椭球面而引起的投影改正，经此项改正后，测线已 变成弦线；（3）第四项则是由弦长改化为弧长的改正项。电磁波测距边长归算至椭球面上的计算公式还可用下式表达:S = 7D 2 Ah 2 1 - D 3+24 R 2A显然第一项即为经高差改正后的平距。本章作业1 .野外测量的基准面、基准线各是什么？测量计算的基准面、基准线各是什么？为什 么野外作业和内业计算要采取不同的基准面？2.试写出

20、椭球的基本元素及其基本关系式。3 .我国解放后主要采用哪两种参考椭球?其主要参数是什么?4.绘图并说明表示椭球面上点位的三种常用坐标系统。5 .在报纸上经常看到X X号轮船在东经XXX度，北纬X X度遇险一类的报导，试问 这是指的什么坐标系，为什么？6. 写出参考椭球体的五个基本元素及相互间的关系。7. 参考椭球体扁率的变化，椭球体的形状发生怎样的变形？8. 简要说明并图示地面某一点的大地高、正常高以及大地水准面差距的几何意义。9. 什么是大地测量的基本坐标系？有何优点？(2)大地纬度；(4)南极、北极;(6 )予午线、主圈；(8)大地方位角；(10 )大地体；(12 )参考椭球。10 .名词解释(1)大地经度；(3)大地坐标系;(5)子午面；(7)平行圈、赤道；(9)大地水准面；(11)总地球椭球；11 .用公式表示空间直角坐标系和大地坐标系之间的关系。12 .大地坐标系和天文坐标系各以什么作基准面和基准线？13 .卯西圈曲率半径N与子午圈曲率半径M何时有最大值？何时有最小值？14 .何谓椭球面上的相对法截线和大地线？试鉴别下列各线是否为大地线并简要说明 理由：(1)任意方向法截线；(2)子午圈；(3)卯西圈；(4)平行圈。