塑性力学复习纲要讲解.docx

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1、复习纲要第一章绪论1. 弹性与弹性变形物体受到不大的外力作用后产生的变形，在外力除去后可以全部恢复，物体仍保持原有的形 状和尺寸。这种性质称为材料的弹性，这种可以全部恢复的变形叫弹性变形。这时称物体处于弹 性状态。2. 塑性与塑性变形当外力超过一定限度后，在物体某些部分内，任意点上的应变将不随应力的消失而恢复。这 种变形不可恢复的性质称为塑性，不随应力消失而恢复的那部分变形称为塑性变形。3. 弹性区与塑性区在加载过程中，物体的一部分产生塑性变形时，称该部分已进入塑性状态，同时将该部分称 为物体的塑性区，未进入塑性状态的区域则为弹性区。4. 塑性变形的特点(1) 塑性应变和应力之间不再有一一对应

2、的关系。塑性变形不仅与当前的应力状态有关，还 与加载的历史有关。(2) 应力与应变(或应变率)之间呈非线性关系。5. 塑性力学研究的主要内容(1) 建立在塑性状态下应力与应变(或应变率)之间的关系。(2) 研究物体受外力作用进入塑性状态后产生的应力和变形，包括研究在加载过程中的每一 时刻，物体内各点的应力和变形。以及确定弹性区与塑性区的建。(3) 有时根据需要还可以绕过加载过程中应力与变形的变化而直接去求物体达到极限状态 (塑性变形无限制发展，物体已达到它对外力的最大承载能力)时的荷载，即极限荷载。这种研究方法通常称为极限分析。6. 塑性力学的基本假设1、材料的塑性行为与时间、温度无关(在我们

3、所研究的范围内，通常不考虑时间因素对变形 的影响(如弹性后效、蠕变等)，而且只限于考虑在常温下和缓慢变形的情形，所以也忽略温度和 应变速度对材料性质的影响。)2、材料具有无限的韧性3、材料是均匀的、连续的，并在初始屈服前为各向同性，且拉伸和压缩的应力-应变曲线一 致；4、任何状态下的总应变可以分解为弹性和塑性两部分，且材料的弹性性质不因塑性变形而改5、对应于塑性变形部分的体积变化为零，静水压力不产生塑性变形。7. 简单拉伸与压缩试验（1）拉伸试验由拉伸应力一应变曲线可知:图1.1图1.2 拉伸开始阶段a和&成正比，变形全是弹性的。P点的纵坐标 称为比例极限。 应力超过p后，a与e不再成正比，但

4、变形仍是弹性的。Q点的纵坐标称为弹性极限。 应力超过后，在SA段内应力不再增加，而应变继续增长，这种现象称为屈服现象。对应于R点的应力称为上屈服极限，对应于SA的应力称为下屈服极限。一般把下屈服极限称为屈 服极限，以s表示。 对于没有明显的屈服阶段，常规定以产生某一指定的残余应变（例如0.必时的应力作为屈 服极限。记为02。常常认为（广e= s），在aV s阶段，服从虎克定律a = E。这里E是弹性模量，它 也是a e曲线初始直线段的斜率。 A点以后如欲继续产生变形，则需继续加载，a e关系如曲线ABF，这一阶段称为强化阶段。在这一阶段中，任一点上曲线的斜率E ，称为强化模量，一般E1 p以后

5、，设从任一点B处开始卸载，则a e曲线为通过B点且与初始直线段OP平行的直线BCD，当全部应力卸完时即达到横坐标轴上的D点，原来在B 点时整个应变8为OH，卸载后DH段消失，故DH段即为相应于B点的弹性应变,而残余应 变OD段，即为相TB点的塑性应变p。故有8= ： p。同时可以看出，卸载至任意点C时， 卸掉的应力 与恢复的应变 之间也应当服从虎克定律，即E （见图1.1）由图1.1也可以看出BD线上的C点与OP线上的C 点具有同样的纵坐标，也就是说受有同样大小的应力，而 其横坐标，也就是产生的应变却完全不同。这也说明在塑性力学中应力和应变没有一一对应的关 系。所产生的应变，不仅和所受的应力有

6、关，而且和加载历史有关。设从D点再重新加载。a 8曲线几乎完全沿原来的卸载直线DCB上升，直至非常接近B 点处才略有弯曲最后到达BF段上的一点S ,，（非常接近B点，也可以近似地认为与B点重合）。 这样可以看到，经过一次塑性变形以后再重新加载的试件，其弹性段增大了（图中S点或B点高 于S点），屈服极限提高了（可以认为S，点或B点的纵坐标为重新加载时的屈服极限）。这种现象 称为强化现象，相当于S，点或B点的应力称为后继屈服极限。自S点以后再继续加载时将仍沿 原来未经卸载的a 8曲线SF前进。图1.1中a 8曲线至F点后开始下降，这意味着应力降低而应变仍可继续增长，直至C 点试件破坏。实际上这是由

7、于在F点处试件已开始出现颈缩现象，试件截面积A与原始截面积A0 相差甚大，仍以A0除P得到的已不是试件的真实应力。以瞬时截面积A去除P才可较真实地反P映试件中的应力，这时一 云称为真应力。图1.1中的虚线FG 即表示在这一阶段真应力与应变 A之间的关系。（2）压缩试验Buschinger效应试验表明，对大多数金属在小变形阶段，压缩a 8曲线与拉伸a 8曲线基本一致。可认 为两者的弹性模量，屈服极限是相同的，如图（a）所示。(a)(b)具有强化性质的材料在正向加载并且在塑性发展到一定的程度之后卸载，然后再反向加载。如果 材料是单晶体，反向屈服应力比正向初始屈服应力大，即正向强化时反向也得到强化；

8、如果材料是非单晶体，反向屈服应力比正向初始屈服应力小，这种现象称为Bauschinger效应。（如图心）所示）（3）静水压力试验（a）静水压力与材料体积改变近似地服从线弹性规律。对于一般应力状态下的金属材料，当发生较大的塑性变形时，可以忽略弹性的体积改变，而认为材料在塑性状态时体积是不可压缩 的；（b）材料的塑性变形与静水压力无关。即对一般金属,体积应变完全是线性弹性的,并且静水压力不产生塑性变形,它对屈服极限 的影响完全可以忽略不计。8. 应力应变曲线的理想化模型（1）理想塑性材料 理想弹塑性模型对有相当长屈服阶段的材料可以假设这段水平线一直延伸直至破坏，而忽略后面的强化，这种模型叫做理想弹

9、塑性模型。如图（a）所示。这种模型的材料应力应变关系为（a）（b）E 当I Issgn当| |式中sgn为符号函数sgn 8 =当0,当0。 理想刚塑性模型。如果所研究的问题具有较大的塑性变形，因而弹性变形可以忽略时，可以假设无弹性变形，只有塑性变形。这种模型叫做理想刚塑性模型。如图化）所示。这种模型的材料的应力应变关系sgns（2）强化材料对没有明显屈服阶段的材料，不能将进入塑性状态以后的应力应变关系用一条水平线来描述，根据曲线的形状可以采用以下几种模型：(a)(b)(c)线性强化弹塑性模型图（a）所示为线性强化弹塑性模型，它的应力应变关系为:E当|sE ( |)kgn当| | 线性强化刚塑

10、性模型如果可以忽略弹性变形，即成为图（b）所示的线性强化刚塑性模型，其应力应变关系为:E1q | ）sgn 幂强化模型曲线如图代）所示，其应力应变关系为：B| |nsgn其中0na2a3，则13max225.三维应力圆表示应力状态特征的参数在图2.5中的a轴上取OPOPOP.之长分别等于三个主应力八、a2、a3，以P2P3,1 2312323P1P3 , P1P2为直径作三个圆，命名为圆A,圆B及圆C,则圆A即代表平行于、的所有截面上 的正应力和剪应力，圆B和C分别代表平行于a 2和平行于a 3所有截面上的正应力和剪应力。阴 影区则表示不与任何主应力平行的斜截面上的正应力和剪应力。在a轴上取O

11、M =am,并将轴移至过M点处，则在以M为原点的a、轴上，此三维应力圆即为应力偏张量的应力圆。此时有图2.5MP 1=1S1MP 2=2S2MP 3=3S3三维应力圆以及应力偏张量是由P、P2 , P3三点的相对位置来确定的。表示应力状态的Lode参数：(1)单向拉伸：1 0，23 0 ,有：=T。(2)纯剪切：2，13,有：=0。(3)单向压缩：12 ，3，有=16.应变张量及其分解、应变不变量在小变形情况下，应变分量与位移分量的关系为:uuv,xxxyyx yxvvwyyyzzyzywwuzZzxxzxz因为，所以，决定应变状态的独立应变分量有六个。它们形成xyyxyzzyzxxz一个对称

12、的应变张量:11xxyxzr x2 xy 2 xz11ijyxyyz2 yxy2 yz112 zx2 zyzzxzyz如果用U、u2、u3表示位移分量u、v、w,则应变分量的各个分量与各位移分量的关系可以用张量形式表示:! (u u ) oij 2 i,jj下标中的“，”表示求导。与应力张量类似，可以把应变张量分解为球张量及偏张量，即110011x2 xy2xzmxm2 xy2 xz111100*2 yxy2yzm2yxym2 yz11112 zx2 zyz00m2zx2 zyzm如果令eee11xxyxzxm2 xy2xz11eeeeijyxyyz2yxym2yz11eee2zx2 zyzm

13、zxzyz贝U*式可与为：ij m ij ij在变形过程中，如体积不变，则m=0,应变偏张量与应变张量相等:iJ eiJ分别以，I2, I3表示应变偏张量的第一、第二、第三不变量，则有:Ie ee31xyzxy*mI(e ee ee e )222)2x y 1(y zz x4xyyzzx3()2()2()2222)6 xyyzzx2xyyzzxI1111e e ee2e2e 2x y z4xy yz zx4 xyz4 yzx4z xy当x，y，z轴方向和主轴重合时:I2、I3还可以写成：1e eo .2 ij ji1_e e e3 iJ Jk kJ7. 几种特定截面上的应变（1）八面体面上的剪

14、应变:八面体面上的正应变:（3）xy zxyyz等效应变（应变强度）:其物理意义是：对于应变状态（），用上式算出的应变强度七，和体zxi积不变（即泊松比二万）的情兄下单向拉伸时（七182=83=2的应变强度相等，或者说，从应变强度的角度看，应变状态（x/ zxyyz zx）和应变状态（二，8 2 = 813f ）是相当的。3 2 1（4）等效剪应变（剪应变强度）:其物理意义是：对于应变状态（纯剪切情况下（xy的角度看，应变状态（yz zxz xy相当的。二 MJ 二)2()2()2-v( 2 83* 122331，zy0,xy，yzzx8.各斜截面皿上的剪应变及最大剪应变:），用上式算出的剪应

15、变强度r,和xy yz zxr）时的剪应变强度相等，或者说，）和应变状态yzzx从剪应变强度0,xy1如果规定1828 3,则Y2为最大剪应变:9.表示应变状态的Lode参数。2()9113ma-13(1)单向拉伸:0,2二一1。纯剪切:0,1二0。(3)单向压缩:0,2二1。0,有习题:80MPa120MPax1.某一点的应力状态为：15MPa ；试写出该点应力的zx（1）应力张量；（2）应力球张量；（3）应力偏张量；（4）即写出口，狙和s口的关系表达式）100MPa，xxy45MPayz30MPa，写出该点处应力张量分解的张量符号表达式。（提示:2.已知某点的主应力为80MPa 力以及该点

16、处的等效应力。2 120MPa ，3 100MPa，求该点处八面体面上的正应力和剪应第四章、第五章 塑性本构关系1. 塑性力学研究的主要内容塑性力学主要研究在复杂应力状态下的屈服条件，加载准则，强化条件（只对强化材料）以 及塑性应力应变关系的规律。2. 屈服条件的一般形式屈服条件应该和所有应力分量有关，因而可以写成：f （ ,） = Cx y z xy yz zx式中，称为屈服函数，C是与材料性质有关的常数。若材料各向同性，则：f（ ，） = C （f是，的对称函数）123123或f（I, I, I ）=C2123因为应力球张量不影响屈服，且J=0，故屈服条件还可以写为：弓（J2, J3）=C

17、因为J3是应力偏量各分量的三次函数，当所有应力分量均改变符号（即由拉变压）时，J3也 变号。但由实验结果可知，对一般韧性金属材料抗拉和抗压是具有对称性质的，即所有应力分量 均改变符号时，屈服函数的值应当不变。故可断定：屈服函数应当是应力偏张量第二，第三不变 量J2和J3的函数，同时又必须是J3的偶函数。3. 应力空间以 2， 3为坐标的三维空间，叫做应力空间（如图3.1所示）。，应力空间中的一点P，就代表一个应力状态，它的三个主应力是2，3图3.14. 屈服曲面屈服条件表达式表示应力空间中的一个曲面，称为屈服曲面。5. 等倾线与n平面等倾线：应力空间中通过原点与111q， q， h）。3 -y

18、 3 V 31方向余弦为（轴正方向成相同夹角的直线，称为等倾线。3方程式为：123等倾线上的任意点所代表的应力状态都是球张量，其偏张量为零。n平面：经过原点O以等倾线为法线的平面称为兀平面（见图3.2）,方程式为：23 丸平面上的任意点所代表的应力状态，其球张量为零，这个应力状态本身就是一个偏张量。设应力空间中任一点P表示应力状态 上的两个分量。和OS,则0Q和OS分别表示这一应力状态的球张量和偏张量。5.屈服曲面和屈服轨迹在应力空间中，靠近坐标原点且包括原点在内，有一个弹性区（在这个区内的点所表示的应 力状态处于弹性阶段），而在其外则为塑性区（其中各点所表示的应力状态已进入塑性阶段）。这 两

19、个区的分界面就是屈服曲面，也就是屈服条件方程在应力空间中所代表的曲面，是一个柱面，其母线平行于等倾线。屈服曲面与兀平面的交线叫做屈服轨迹。6.n平面上的点所代表的应力状态图3.5 （a）示出在应力空间中一点P （或矢量0P ）表示一个应力状态（、a2、a3），现 在将矢量0P分解为与三个坐标轴平行且首尾相接的三个矢量0A、AB、BP，即0A II q轴，长兀平面为q，AB I q轴，长为q，BP平行于q轴，长为q。(a)(b)矢量OS沿x轴及y轴的分量为图3.52/、1/(0S)x =0Acos30-BScos30=|3 (q-q2)(q1。2)/、小小 矿1(OS )y=-OAsin30+

20、A*B-BSsin30=对(2OS的长度:OS上(OS)y Tn 2)2 (2)2 (3q2q3,则有-1。3)就可以得到兀平面上代表它的1,因而-30q2q3的规定排列，则S点可位于兀平面的任何点，而没有-30 0,加载dfv0,卸载df= 0中性变载当采用Mises屈服条件时，屈服函数是应力偏张量第二不变量J2或应力强度q，这时的加载 准则为：db0或d0,加载1 dv 0或 d 40，卸载、dbj= 0或d 4= 0中性变载(2)对理想塑性材料r dfv0,卸载:df= 0加载当采用Mises屈服条件时，有rdai= 0或 d 4= 0 加载daiv0 或 d JjV0，卸载由实验结果得

21、知，加载时产生新的塑性变形，卸载及中性变载时均不产生新的塑性变形，其 各应力分量与各应变分量的改变服从弹性规律。注意：加载或卸载都是对一个点上的整个应力状态而言。在加载过程中某些应力分量可能增 加而另一些可能减小，但只要根据加载准则判断是加载，则就说在这个点是加载，而不能说这个 点对某些应力分量加载，而对另外的应力分量是卸载。如是加载，则在所有方向上都要使用塑性 应力应变关系；如是卸载，则在所有方向上都要使用弹性应力应变关系。11. 简单加载和复杂加载(1) 简单加载与复杂加载简单加载：在加载过程中各应力分量按某一参数七成比例地单调增长，即口 t匕(这里X 为某一固定的应力状态)时，称为简单加

22、载，即比例加载。简单加载时，在应力空间中代表应力状态的点在连接原点O与代表应力状态X的点A的直 线上移动。加载路径是通过原点的直线。(2) 复杂加载：不符合上述比例关系的加载方式叫复杂加载。复杂加载时加载路径可以是通过原点或不通过原点的曲线或折线。12. 简单加载原理对小变形的受力物体，满足下列三个条件即可保证物体内所有各点都处于简单加载(充分条 件)：(1) 物体上所有外加荷载(包括表面力和体积力)成比例增长。如有位移边界条件，只能是 零位移边界条件；(2) 应力强度和应变强度呈幂关系i A n；1(3) 材料不可压缩，即泊松比。乙实际上，当材料进入塑性后，上面第三条基本是满足的，而第二条中

23、的幂关系又可以近似地 描述大部分金属材料的应力应变关系。因而可以近似地认为只要物体上的所有外荷载成比例增 长，就可在物体内所有各点实现简单加载。13. 强化假设实验结果表明，对强化材料，其加载曲面与初始屈服曲面相比，不仅有形状及大小变化，而 且还有位置的移动。因此，Tresca屈服条件和Mises屈服条件只适用于理想塑性材料；或者只作 为强化材料第一次开始屈服的初始屈服面，而不能正确描述已进入塑性阶段并己产生一定塑性变 形(强化)以后的屈服性质。实验结果还表明，加载曲面与初始屈服曲面相比，其形状大小的变 化及位置的移动规律相当复杂，难以用数学模型来精确描述。因此，实际计算中往往作各种不同 的假

24、设，再依据这些假设建立相应的强化条件。(1)等向强化假设加载曲面与原始屈服曲面在几何形状上完全相似，其中心位置没有移动。随着塑性变形大小 的不同，其胀大的程度也不同。根据这种假设，只要知道加载路径中最远离初始屈服曲面的点，就可以得到对应的加载曲面。设屈服函数f (si)，其中s”为应力偏张量(球张量不影响屈服)。对理想塑性材的屈服条件可 写为f (s.) ij则在等向强化假设下的加载曲面(即强化条件)可写为：f(s.) C (q)ij式中，q为强化参数，恒为正值，如果取Mises屈服函数，对理想塑性材料屈服条件为:2J =_sJ2 31又知J2 =2 si. s，故上式也可写为2sij sj=

25、3 2=C （常数）则在等向强化假设下的强化条件即可写为：s” sj= C (q)(2)随动强化假设(运动强化假设)假设加载曲面与初始屈服面形状大小完全一致，但随加载路径而平移。也就是在强化的 相反方向加载时其屈服应力将降低。设强化后加载曲面的中心移至O，点。以电表示屈服曲面中心移动的距离OO，在六维应力空 间中的各分量，则在随动强化假设下的强化条件应为：的大小与塑性应变张量成正比，即有：&i j 二h p式中，h为随材料而不同的常数，可由实验确定。随动强化假设的最大优点是能比较正确地反映Bauschinger效应，在承受反复荷载时比较容易 反映实际情况。但加载曲面的形状大小完全没有改变，与实验结果也不符。只有在加载路径与原 来强化方向比较接近的情况下，这一假设才与等向强化假设一样能较好地符合实验结果。此外等 向强化假设在数学运算上更为简便，应用较多。（3）其他形式的假设其中一种是将等向强化与随动强化结合起来，认为在强化时，初始屈服面既有位置的移动又 有大小的变化。如下图所示。这时的强化条件应写为：侬口一电） =C（q）