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1、复杂电阻网络的处理方法在物理竞赛过程中经常遇到，无法直接用串联和并联电路的规律求出整个电路电阻的情况，这样的电路也就是我们 说的复杂电路，复杂电路一般分为有限网络和无限网络.那么，处理这种复杂电路用什么方法呢？下面，我就结合自 己辅导竞赛的经验谈谈复杂电路的处理方法.一：有限电阻网络原则上讲解决复杂电路的一般方法，使用基尔霍夫方程组即可。它包含的两类方程出自于两个自然的结论：（1）对 电路中任何一个节点，流出的电流之和等于流入的电流之和。电路中任何一个闭合回路，都符合闭合电欧姆定律。下 面我介绍几种常用的其它的方法。1：对称性简化所谓的对称性简化，就是利用网络结构中可能存在的对称性简化等效电阻
2、的计算。它的效果是使计算得以简化，计 算最后结果必须根据电阻的串、并联公式；电流分布法；极限法等来完成。在一个复杂的电路中，如果能找到一些完全对称的点，那么当在这个电路两端加上电压时，这些点的电势一定是相 等的，即使用导线把这些点连接起来也不会有电流（或把连接这些点的导线去掉也不会对电路构成影响），充分的利 用这一点我们就可以使电路大为简化。例（1）如图1所示的四面体框架由电阻都为R的6根电阻丝连接而成，求两顶点A、B间的等效电阻。e 令 慰1图2分析：假设在A、B两点之间加上电压，并且电流从A电流入、B点流处。因为对称性，图中CD两点等电势，或者 说C、D间的电压为零。因此，CD间的电阻实际
3、上不起作用，可以拆去。原网络简化成简单的串、并联网络使问 题迎刃而解。解:根据以上分析原网络简化成如图2所示的简单的串、并联网络，由串、并联规律得Rab=R/2若每一个金属圈的原长电阻为R，试求图中A、B两点例（2）三个相同的金属圈两两正交地连成如图所示的形状， 之间的等效电阻.图4图5AG分析：从图3中可以看出，整个电阻网络相对于AB的电流流入、流出方式上具有上下对称性，因此可上下压缩成 如图所时的等效减化网络。从如图4所示的网络中可以看出，从A点流到O电流与从O点到B电流必相同；从A1 点流到O电流与从O点到B1电流必相同。据此可以将O点断开，等效成如图5所示的简单网络，使问题得以求解。解
4、：根据以上分析求得Rab=5R/48例（3）如图6所示的立方体型电路，每条边的电阻都是R.求A、G之间的电阻是多少？分析：假设在A、G两点之间加上电压时，显然由于对称性D、B、E的电势是相等的，C、F、H的电势也是相等 的，把这些点各自连起来，原电路就变成了如图7所示的简单电路。解：由简化电路，根据串、并联规律解得R=5R/6AG(同学们想一想，若求A、F或A、E之间的电阻又应当如何简化?)例(4)在如图8所示的网格形网络中，每一小段电阻均为R，试求A、B之间的等效电阻Rab。分析：由于网络具有相对于过A、B对角线的对称性，可以折叠成如图9所示的等效网络。而后根据等电势点之间 可以拆开也可以合
5、并的思想简化电路即可.解法(a):简化为如图9所示的网络以后，将3、O两个等势点短接，在去掉斜角部位不起作用的两段电阻，使之等 效变换为如图10所示的简单网络。最后不难算得Rao=Rob=5r/14Rab= Rao+Rob=5R/7解法(b)：简化为如图所示的网络以后，将图中的O点上下断开，如图11所示，最后不难算得Rab=5r/72：电流分布法设定电流I从网络A电流入，B电流出。应用电流分流思想和网络中任意两点之间不同路径等电压的思想，建立以 网络中的各电阻的电流为未知量的方程组，解出各电流I的比例关系，然后选取A到B的某一路经计算A、B间的电压，再由Rab=Uab/Iab即可算出Rab 例
6、：有如图12所示的电阻网络，求A、B之间的电阻Rar AB分析：要求A、B之间的电阻Rab按照电流分布法的思想，只要设上电流以 后，求得A、B间的电压即可。C图12解：设电流由A流入，B流出，各支路上的电流如图所示。根据分流思想可得I2=II1I3=I2I1=I2I1A、O间的电压，不论是从AO看，还是从ACO看，都应该是一样的，因此T ZQT) _ZTT、T)I(2R)(I I)R+ (I 2I)R解得 I12I/5取AOB路径，可得AB间的电压UABI1*2R+I4R根据对称性I I II =3I/5421所以 Uab=2I/5*2R+3I/5*R=7IR/5RabUab/I=7R/5这种
7、电流分布法事实上已经引进了基尔霍夫定律的思想，所以有一定的一般性。3： Y变换IaA2复杂电路经过Y变换，可以变成简单电路。如图13和14所示分别为网络和Y网络,两个网络中得6个电阻 abIb满足怎样的关系才能使这两个网络完全等效呢？ 所谓完全等效，就是要求Uab=Uab,Ubc=Ubc,Uca=UcaI=I I =I I=Ia A, b B, c C在Y网络中有I R -LR=U Ka a b b abIR IR=U图14c c a a caI +L+I =0图 13abc解得 I =R U J(R R+RR +R R )+ RU /(R R+RR +R R)a c ab a b b c c
8、 a b ca a b b c c a在网络中有Iab=Uab/RabIca=Uca/RcaIa=Iab-Ica解得 IA=(UAB/RAB)( UCA/RCA)因为要求Ia=IA，所以RU J(RR+RR+RR ) + R U / (RR+RR+RR ) = (U/R用)(UrJRr,)cabab b c c a b ca a b b c c aAB ABCA CA又因为要求Uab= UAB , Uca= UCA 所以要求上示中对应项系数相等，即Re=(R R+RR +RR ) / R -(1)匕人=(R R+RR +R R ) / R-AB a b b c c a cCA a b b c
9、c a b-(2)用类似的方法可以解得Rbc= (RaRb+RbRc+RcRa)/ Ra-(3)(1)、(2)、(3)三式是将 Y 网络变换到网络的一组变换式。在(1)、(2)、(3)三式中将Rab、Rbc、Rca作为已知量解出Ra、Rb、Rc即可得到Ra=RAB大RCA/(RAB+RBC+RCA)-(4)Rb=RAB RBC/(RAB+RBC+RCa) - (5) Rc=RBC*RCa/ (RAB+RBC+RCA) -(6)(4)、(5)、(6)三式是将网络变换到Y网络的一组变换式。A图15分析：此题无法直接用串、并联规律求解，B图19例(1)求如图15所示双T桥网络的等效电阻Rab。网络元
10、变换成两个小的网络元，再直接用串、并联规律求解即可。解:原网络等效为如图16所示的网络，由此可以算得Rab=118/93Q4：电桥平衡法如图19所示的电路称为惠斯通电桥，图中R1 R2、R3、R4分别叫电桥的臂,G 是灵敏电流计。当电桥平衡(即灵敏电流计的示数为零)的时候，我们称之为 电桥平衡.这时有T II TT P T PT P T PI1=I2, I3=I4，I1Ri=I3R3, I2R2=I4R4有这些关系可以得到r1/r2=r3/r4上式称之为电桥平衡条件，利用此式简化 对称性不明显的电路，十分方便.例:有n个接线柱，任意两个接线柱之间都接有一个电阻R求任意两个接线柱之间的电阻。分析
11、：粗看本题根本无法求解，但是能充分利用电桥平衡的知识，则能十分方便 得求解。解：如右图所示,设想本题求两接线柱A、B之间的等效电阻，根据对称性易知，其 余的接线柱CDE-中，任意两个接线柱之间的电阻无电流通过，故这些电阻都 可以删除，这样电路简化为A、B之间连有电阻R,其余(n-2)个接线柱之间仅有电阻分别与A、B两点相连，它们之间没有电阻相连.即1/Rab=1/R+1/ 2R/(n2)所以RAB=2R/n二：无限电阻网络无限电阻网络分为线型无限网络和面型无限网络，下面我们就这两个方面展开讨论1：线型无限网络所谓“线型”就是一字排开的无限网络，既然研究对象是无限的，就可以利用“无限”这个条件，
12、再结合我们以上讲 的求电阻的方法就可以解决这类问题.COOD例(1)如图所示的电路是一个单边的线型无限网络，每个电阻的阻值都是R，求A、B之间的等效电阻Rab。图21解：因为是“无限”的，所以去掉一个单元或增加一个单元不影响等效电阻即Rab应该等于从CD往右看的电阻RcdRAB=2R+R 大 RCD/( R+RCD)=RCD整理得Rcd2-2RRcd-2R2=0解得：Rcd=(1+3i/2)R= Rab例(2) 一两端无穷的电路如图22所示，其中每个电阻均为r求a、b两点之间的电阻。解:此电路属于两端无穷网络，整个电路可以看作是由三个部分组成的，如图所示则Rab=(2Rx+r)r/ (2Rx+
13、2r)即是无穷网络，bbi之间的电阻仍为Rx贝Rx= (31/21) r代入上式中解得Rab= (6-31/2)大r/62：面型无限网络3解线性无限网络的指导思想是利用网络的重复性，而解面型无限网络的指导思想是利用四个方向的对称性.例(1)如图27所示是一个无穷方格电阻丝网络的一部分，其中每一小段电阻丝的阻值都是R求相邻的两个结点A、B之间的等效电阻.分析：假设电流I从A点流入，向四面八方流到 无穷远处，根据对称性，有I/4电流由A点流到 B点。假设电流I经过无限长时间稳定后再由四面 八方汇集到B点后流出，根据对称性，同样有I/4 电流经A点流到B点。图27解：从以上分析看出，AB段的电流便由
14、两个I/4叠加而成，为I/2因此Uab=(I/2)*rA、B之间的等效电阻RAB=UAB/I=r/2例(2)有一无限平面导体网络，它有大小相同的正六边型网眼组成，如下图所示。所有正六边型每边的电阻均为Ro, 求间位结点a、b间的电阻。电流由a流向c，有I/6电流由c流向b.分析：假设有电流I自a电流入，向四面八方流到无穷远处，那么必有I/3有I/3电流由c流向b。再假设有电流I由四面八方汇集b点流出，那么必有I/6电流由f流向c， 解:将以上两种情况结合,由电流叠加原理可知Iac=I/3+I/6=I/2 (由 a 流向 c)Icb=I/3+I/6=I/2 (由 c 流向 b) 因此ab之间的等效电阻为R =U k/I= (I R+I kR)/I=Rnab ab ac 0 cb 0，0
