外接球与内切八大模型.docx

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1、外接球与内切八大模型-老师专用类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）图1图2图4(3)题-2方法:找三条两两垂直的线段，直接用公式（2R）2 = a2 + b2 + c2，即2R =展2 + b + c2，求出R例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4,体积为16，则这个球的表面积是（C ）A. 16兀B. 20kC. 24兀D. 32兀（2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为%与，则其外接球的表面积是 9兀解：（1） V = a2h = 16，a = 2，4R2 = a2 + a2 + h2 = 4 + 4 +16 = 24，S = 24兀，选 C

2、;（2）4R2 = 3 + 3 + 3 = 9, S = 4kR2 = 9兀（3）在正三棱锥S - ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM MN，若侧棱SA = 2招，则正三棱锥S - ABC外接球的表面积是。36k解:引理:正三棱锥的对棱互垂直。证明如下：如图（3） -1,取AB, BC的中点D, E，连接AE, CD，AE, CD交于乩连接SH，则H是底面正三角形ABC 的中心，SH 平面 ABC，SH AB，AC = BC, AD = BD，. CD AB，. AB 平面 SCD，AB SC，同理：BC SA，AC SB，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图(3)2， AM MN

3、，SB/MN，AM SB , AC SB，. SB 平面 SAC,SB SA，SB SC, SB SA，BC SA,SA 平面 SBC，. SA SC，故三棱锥S - ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，(2R)2 = (2.3)2 + (2(3)2 + (2 t3)2 = 36，即 4R2 = 36，正三棱锥S - ABC外接球的表面积是36k(4)在四面体S - ABC中，SA 1平面ABC , ABAC = 120。, SA = AC = 2, AB = 1,则该四面体的外接球的表面积为(D ) A.11nB.7兀C.10 兀3(5)如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，

4、那么它的外接球的表面积是(6)已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为解析：(4)在 AABC 中，BC2 = AC2 + AB2 2AB - BC - cos120 = 7，BC = 万，AABC的外接球直径为2r =法嘉小=W(2R)2 = (2r)2 + SA2 =.40 仁 4S+ 4 =，S =，选 D33(5)三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为。,b,c( a,b,c g R + )，则ab = 12bc = 8，abc = 24，a = 3，b = 4，c = 2, (2R)2 = a2 + b2 + c2 =

5、29，S = 4kR2 = 29兀， ac = 6(6) (2R)2 = a2 + b2 + c2 = 3，4 “ 43百3V =兀R 3 =兀=兀3382类型二、垂面模型(一条直线垂直于一个平面)1.题设：如图5，PA1平面ABC解题步骤：第一步:将AABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接PD，则PD必过球心O ；第二步：O1为AABC的外心，所以OO11平面ABC，算出小圆O1的半径叩=r (三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得图5a _ bsin A sin Bcsin C=2r)，OO1 = 2 PA ；第三步:利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R)

6、2 = PA2 + (2r)2 = 2R = ,PA2 + (2r)2 ； R2 = r2 + OO2 = R = r2 + OO 22.题设：如图6, 7, 8, P的射影是AABC的外心O三棱锥P - ABC的三条侧棱相等O 三棱锥P - ABC的底面NABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点O1B图7-2图6图7-1图8O图8-3图8-2图8-1O*7解题步骤:第一步:确定球心O的位置，取AABC的外心则P,。, q三点共线;第二步：先算出小圆q的半径如广r再算出棱锥的高POi=h （也是圆锥的高）;第三步：勾股定理：OA2 = OA2 + OO2 方法二:小圆直径参与构造大圆。n R

7、2 = (h 一 R)2 + r2，解出 R例2 一个几何体的三视图如右图所示163则该几何体外接球的表面积为（A. 3兀B. 2兀C.D.以上都不对解：选 C, G;3 R)2 +1 = R23 -诲R + R2 +1 = R2, 4 - 2*R = 0,R =, S = 4 兀R 2兀、；33类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）图9-1图9-2图9-4图9-31.题设:如图9-1,平面PAC 平面ABC，且AB BC （即AC为小圆的直径）第一步:易知球心O必是APAC的外心，即APAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC = 2r ；第二步：在APAC中,可根据正弦定理二二=一J = 一

8、）=2R，求出Rsin A sin B sin C2. 如图92,平面PAC 平面ABC，且AB BC （即AC为小圆的直径）OC 2 = OC 2 + OO 2 = R 2 = r 2 + OO 2 = AC = 2jR2 O1O 23. 如图9-3，平面PAC 平面ABC，且AB BC （即AC为小圆的直径），且P的射影是AABC的外心 O三棱锥P ABC的三条侧棱相等O三棱P ABC的底面AABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥 的顶点解题步骤：第一步：确定球心O的位置，取AABC的外心。1，则P, O, O1三点共线；第二步：先算出小圆O1的半径AO = r，再算出棱锥的高PO1= h

9、（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：OA2 = O1 A2 + OO2 n R2 = （h R）2 + r2，解出R4. 如图93,平面PAC 平面ABC，且AB BC （即AC为小圆的直径），且PA AC，贝利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：（2R）2 = PA2 + （2r）2 0 2R = .A2 + （2r）2 ； R2 = r2 + OO12 O R = Jr2 + OO2例3 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为2百，则该球的表面积为（2）正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为*2,各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 解：（1）由正弦定理或找球

10、心都可得2R = 7, S = 4kR2 = 49兀，4兀 （2）方法一：找球心的位置，易知r = 1，h = 1，h = r，故球心在正方形的中心ABCD处，R = 1，V =项方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是ASAC的外接圆，此处特殊，RtASAC的斜边是球半径， 4兀2 R = 2, R = 1，V =项(3)在三棱锥P- ABC中，PA = PB = PC =、3，侧棱PA与底面ABC所成的角为60则该三棱锥外接球的体积为()A.兀B。C。 4兀3D。解：选D,圆锥A, B,C在以r =的圆上，R = 1(4)已知三棱锥S - ABC的所有顶点都在球O的求面上，ABC是边长为1

11、的正三角形，SC为球O的直径，且SC = 2，则此棱锥的体积为()AA.D.箜2解：OO = y!R2 r2 = |1 一 （料）2 =3，h = 3，v = 1 Sh = 1.巨逃33 436类型四、汉堡模型(直棱柱的外接球、圆柱的外接球)图 10-1图 10-2图 10-3题设：如图10-1,图10-2，图10-3，直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以 是任意三角形) 第一步：确定球心O的位置，O是AABC的外心，则OO 1平面ABC ；第二步：算出小圆O的半径AO = r，OO = 2 AA = 2h ( AA = h也是圆柱的高)；一 . 一 ，h、 一 :h-

12、第三步:勾股定理：OA2 = OA2 + OO2 n R2 = (-)2 + r2 n R = |r2 + ()2，解出 R例4 (1) 一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,9且该六棱柱的体积为6,底面周长为3，则这个球的体积为871解：设正六边形边长为a，正六棱柱的高为h，底面外接圆的关径为r，则a = 3,底面积为 S =6 -4- (2)2 = 8 ， y柱=Sh = 8 h=， h = t3， r2 =(_)2 +(2)2=1，4兀R = 1，球的体积为v =（2）直三棱柱ABC - A1BC1的各顶点都在同一球面上，若AB = AC =

13、 AA = 2 , ABAC = 120。，则此球的表面积等于解：BC = 23， 2r = = 4， r = 2， R =、c5 ， S = 20r sin120（3）已知AEAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA = EB = 3, AD = 2, AAEB = 60。，则多面体 E ABCD 的外接球的表面积为。16兀解析:折叠型，法一：AEAB的外接圆半径为=后，Oq=1,5-J133 13R = p1 + 3 = 2 ；法二：O M = -，r = O D = , R2 = + = 4， R = 2，S = 16兀兀（4）在直三棱柱ABC-ABC中，AB = 4,AC

14、= 6,A = ,AA = 4则直三棱柱ABC-ABC的外接球 111311 1 1160的表面积为 O 兀. 冒牝72.方2r = 3- =，r =，一一 一一一 1解析：BC2 = 16 + 36-2-4-6- = 28，BC = 2%72R2 = r2 + （竺2 =癸+ 4 =竺，S =坚兀2333类型五、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠（如图11）图11第一步：先画出如图所示的图形，将ABCD画在小圆上，找出ABCD和AABD的外心气和H2 ；第二步：过H1和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心0，连接OE, OC ；第三步：解AO

15、EH1，算出OH1，在RtAOCH中，勾股定理：OH2 + CH; = OC2例5三棱锥P - ABC中，平面PAC 平面ABC， PAC和 ABC均为边长为2的正三角形，则三棱锥P - ABC外接球的半径为 o-24解析：2r = 2r =.小=二2 sin 60。1.321r = r = , O H = , 1 2y323R 2 = OH 22法二：O2H /，O H = = , AH = 1,1 v3一 _，- 一 515R2 = AO2 = AH2 + O H2 + OO2 = - , R =亍类型六、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接

16、球半径（AB = CD，AD = BC，AC = BD）第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步:设出长方体的长宽高分别为a,b,c , AD = BC = x , AB = CD = y , AC = BD = z ,列方程组，7/cc、7x 2 + y 2 + z 2 b2 + c2 = y2 n (2R)2 = a2 + b2 + c2 =补充：V = abc - 6 abc x 4 = abc-_: ,x 2 + y 2 + z 2第三步：根据墙角模型，2R =,.a2 + b2 + c2 = 2R 2 = x 2 + 顼2，R = x2 + y2 + z 2，求出

17、R ,例如，正四面体的外接球半径可用此法。例6 （1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积 .（2） 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上， 在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（C. 4A 3枳D侦-AD. 43解：（1）截面为APCO，面积是2 ;（2）高h = R =1,底面外接圆的半径为R =1，设底面边长为a，则2R =福=2，。=3其中底面的三个顶点3D.工12（1）题解答图1v;3二棱锥的体积为 =3 Sh =才（3）在三棱锥A BCD中，AB = CD = 2, AD = BC = 3, AC =

18、 BD = 4,则三棱锥A BCD外接球的表面 积为。=兀解析：如图12,设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为。,b, c ,则12 + b 2 = 9, b2 + c2 = 4， c2 + a2 = 16 2(a2 + b2 + c2) = 9 + 4 +16 = 29， 2(12 + b2 + c2) = 9 + 4 +16 = 29，,29 ,2929a 2 + b 2 + c 2 = 4 R 2 = S =兀2 ,2 ,2（4）如图所示三棱锥A BCD，其中AB = CD = 5, AC = BD = 6, AD = BC = 7,则该三棱锥外接球的表 面积为.解

19、析:同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长设长宽高分别为a,b, c，2(a2 + b2 + c2) = 25 + 36 + 49 = 110，a2 + b2 + c2 = 55, 4R2 = 55，S = 55兀【55兀；对称几何体；放到长方体中】（5）正四面体的各条棱长都为y2，则该正面体外接球的体积为解析:这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，2R = .*,r q, v=4丸.臣=己丸2382类型七、两直角三角形拼接在一起（斜边相同，也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥）模型图13题设：ZAPB = ZACB = 90，求三棱锥P ABC外接球半径（分析：取公共的斜

20、边的中点O，连接OP,OC，则OA = OB = OC = OP = ； AB，二O为三棱锥P ABC外接球球心，然后在OCP中求出半 径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值。 例7（1）在矩形ABCD中，AB = 4, BC = 3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B AC D，则 四面体ABCD的外接球的体积为（）125125125125A. 兀B.兀C.兀D.兀12963一 一一 一 5 _ 4 一 4 125 125兀解：（1） 2 R = AC = 5， R = -， V = nR3 = *）-=，选 C23386在矩形ABC

21、D中，AB = 2, BC = 3，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥A BCD的外 接球的表面积为.解析：（2） BD的中点是球心O， 2R = BD =十13，S = 4兀R2 =13兀;类型八、锥体的内切球问题1. 题设：如图14,三棱锥P - ABC上正三棱锥,求其外接球的半径。第一步:先现出内切球的截面图，E,H分别是两个三角形的外心；第二步:求DH = 3 BD , PO = PH - r，PD是侧面AABP的高；第三步：由APOE相似于APDH，建立等式：E =黑，解出rDH PD2. 题设：如图15,四棱锥P - ABC上正四棱锥，求其外接球的半径第一步：先现出内切

22、球的截面图，P,O,H三点共线；第二步：求FH = ； BC，PO = PH - r，PF是侧面APCD的高；OG PO第三步：由APOG相似于APFH，建立等式：= ，解出HF PF3 .题设：三棱锥P - ABC是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；B图14C图15第二步:设内切球的半径为r，建立等式：匕ABC = Vo ABC + Vo pab + Vo pac + VonV =1S - r +1S - r +1S - r +1S - r = 1( S + S + S + S ) -

23、rP-ABC 3 AABC3 PAB 3 PAC 3 PBC 3AABCAPABPACAPBC第三步：解出r =3VP ABCO-ABCO-PABO-PACO-PBC习题：1.若三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，且SA = 2, SB = SC = 4，则该三棱锥的外接球半径为()A。3B. 6C. 36D。9解：【A】(2R)2 = U4 +16 +16 = 6，R = 3【三棱锥有一侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形】【共两种】_2.三棱锥S-ABC中，侧棱SA 平面ABC，底面ABC是边长为拓的正三角形，SA = 2拓，则该三 32兀 棱锥的外接球体积等于。一 担 _. 一一_一 ._

24、 _4 一 32兀解析：2r = 2, (2R)2 = 4 +12 = 16， R2 = 4， R = 2，外接球体积二兀8 =sin 60。33【外心法(加中垂线)找球心;正弦定理求球小圆半径】3. 正三棱锥S-ABC中，底面ABC是边长为方的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等 于.一242解析：AABC外接圆的半径为，三棱锥S ABC的直径为2R = =：=，外接球半径R =；=，sin 60。 、3v3或R2 = (R- v3)2 +1， R = =，外接球体积V = nR3 = 丸. = 32、3兀，、；333 3v3274.三棱锥P - ABC中，平面PAC 平面ABC

25、, PAC边长为2的正三角形 P - ABC外接球的半径为.一24一 2解析：PAC的外接圆是大圆，2R = .=、，R =，sin 60v335.三棱锥 P ABC 中，平面 PAC 平面 ABC，AC = 2，PA = PC = 3，P - ABC外接球的半径为。“ PA2 + PC2 - AC2 9 + 9 - 4 7 ., ,7、 16 - 2 解析：cos /P = , sin2 /P = 1 - (_)2 =2PA - PC2 - 3 - 3 9 9812 R =告=是=, R =牛AB BC,则三棱锥AB BC，则三棱锥sin /P =圮996.三棱锥 P - ABC 中，平面PAC 平面 ABC, AC = 2，PA 1 PC，AB 1 BC，则三棱锥P - ABC 外接球的半径为。解：AC是公共的斜边，AC的中点是球心O，球半径为R = 1