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1、第14章 狭义相对论基础自从十七世纪，牛顿的经典理论形成以后，直到二十世纪前，它在物理学界一直处于 统治地位.历史步入二十世纪时，物理学开始深入扩展到微观高速领域，这时发现牛顿力 学在这些领域不再适用.物理学的发展要求对牛顿力学以及某些长期认为是不言自明 的基本概念作出根本性的改革.从而出现了相对论和量子理论.本章介绍相对论的基本 知识，在下章里将介绍量子理论的基本知识.14.1狭义相对论产生的历史背景一、力学相对性原理和经典时空观力学是研究物体运动的.物体的运动就是它的位置随时间的变化.为了定量研究这 种变化，必须选择适当的参考系，而力学概念以及力学规律都是对一定的参考系才有意 义的.在处理
2、实际问题时，视问题的方便,我们可以选择不同的参考系.相对于任一参考 系分析研究物体的运动时，都要应用基本的力学规律，这就要问对于不同的参考系，基本 力学定律的形式是完全一样的吗？同时运动既然是物体位置随时间的变化，那么无论 是运动的描述或是运动定律的说明，都离不开长度和时间的测量.因此与上述问题紧密 联系而又更根本的问题是：相对于不同的参考系，长度和时间的测量结果是一样的吗？ 物理学对于这些根本性问题的解答，经历了从牛顿力学到相对论的发展.在牛顿的经典理论中，对第一个问题的回答，早在1632年伽利略曾在封闭的船舱里 仔细的观察了力学现象，发现在船舱中觉察不到物体的运动规律和地面上有任何不同.
3、他写到：“在这里（只要船的运动是等速的），你在一切现象中观察不出丝毫的改变， 你也不能根据任何现象来判断船是在运动还是停止,当你在地板上跳跃的时候,你所通 过的距离和你在一条静止的船上跳跃时通过的距离完全相同，”.据此现象伽利略得到 如下结论：在彼此作匀速直线运动的所有惯性系中,物体运动所遵循的力学规律是完全 相同的，应具有完全相同的数学表达式.也就是说，对于描述力学现象的规律而言，所有 惯性系都是等价的，这称为力学相对性原理.对第二个问题的回答,牛顿理论认为，时间和空间都是绝对的,可以脱离物质运动而 存在，并且时间和空间也没有任何联系.这就是经典的时空观，也称为绝对时空观.这种 观点表现在对
4、时间间隔和空间间隔的测量上,则认为对所有的参考系中的观察者，对于 任意两个事件的时间间隔和空间距离的测量结果都应该相同.显然这种观点符合人们 日常经验.依据绝对时空观,伽利略得到反映经典力学规律的伽利略变换.并在此基础上，得出 不同惯性参考系中物体的加速度是相同的.在经典力学中，物体的质量m又被认为是不 变的，据此，牛顿运动定律在这两个惯性系中的形式也就成为相同的了，这表明牛顿第二 定律具有伽利略变换下的不变性.可以证明,经典力学的其他规律在伽利略变换下也是 不变的.所以说，伽利略变换是力学相对性原理的数学表述,它是经典时空观念的集中体现.二、狭义相对论产生的历史背景和条件19世纪后期，随着电
5、磁学的发展，电磁技术得到了越来越广泛的应用，同时对电磁 规律的更加深入的探索成了物理学研究的中心，终于导致了麦克斯韦电磁理论的建立. 麦克斯韦方程组是这一理论的概括和总结，它完整的反映了电磁运动的普遍规律，而且 预言了电磁波的存在，揭示了光的电磁本质.这是继牛顿之后经典理论的又一伟大成就.光是电磁波，由麦克斯韦方程组可知，光在真空中传播的速率为c = 2.988 x108 m/s寻0S 0它是一个恒量，这说明光在真空中传播的速率与光传播的方向无关.按照伽利略变换关系，不同惯性参考系中的观察者测定同一光束的传播速度时，所 得结果应各不相同.由此必将得到一个结论：只有在一个特殊的惯性系中，麦克斯韦
6、方 程组才严格成立,即在不同的惯性系中，宏观电磁现象所遵循的规律是不同的.这样以来, 对于不可能通过力学实验找到的特殊参考系，现在似乎可以通过电磁学、光学实验找到, 例如若能测出地球上各方向光速的差异，就可以确定地球相对于上述特殊惯性系的运 动.为了说明不同惯性系中各方向上光速的差异，人们不仅重新研究了早期的一些实 验和天文观察，还设计了许多新的实验.迈克耳孙一一莫雷实验就是最早设计用来测量 地球上各方向光速差异的著名实验.然而在各种不同条件下多次反复进行测量都表明： 在所有惯性系中,真空中光沿各个方向上传播的速率都相同，即都等于C.这是个与伽利略变换乃至整个经典力学不相容的实验结果，它曾使当
7、时的物理学 界大为震动.为了在绝对时空观的基础上统一的说明这个实验和其他实验结果,一些物 理学家，如洛伦兹等，曾提出各种各样的假设，但都未能成功.1905年,26岁的爱因斯坦另辟蹊径.他不固守绝对时空观和经典力学的观念，而是 在对实验结果和前人工作进行仔细分析研究的基础上，从全新的角度来考虑所有问题. 首先，他认为自然界是对称的，包括电磁现象在内的一切物理现象和力学现象一样，都应 满足相对性原理，即在所有的惯性系中物理定律及其数学表达式都是相同的，因而用任 何方法都不能确定特殊的参考系；此外，他还指出，许多实验都已表明，在所有的惯性系 中测量，真空中的光速都是相同的.于是爱因斯坦提出了两个基本
8、假设，并在此基础上建 立了新的理论一一狭义相对论. 14.2狭义相对论的基本原理一、狭义相对论的两个基本假设爱因斯坦在对实验结果和前人工作进行仔细分析研究的基础上，提出了狭义相对 论的如下两个基本假设1) 相对性原理：基本物理定律在所有惯性系中都保持相同形式的数学表达式，即 一切惯性系都是等价的.它是力学相对性原理的推广和发展.2) 光速不变原理：在一切惯性系中，光在真空中沿各个方向传播的速率都等于同 一个恒量c,且与光源的运动状态无关.狭义相对论的这两个基本假设虽然非常简单，但却与人们已经习以为常的经典时 空观及经典力学体系不相容.确认两个基本假设，就必须彻底摒弃绝对时空观念,修改伽 利略坐
9、标变换关系和牛顿力学定律等,使之符合狭义相对论两个基本原理的要求.另一 方面应注意到，伽利略变换关系和牛顿力学定律是在长期的实践中证明是正确的，因此 它们应该是新的坐标变换式和新的力学定律在一定条件下的近似.即狭义相对论应包 含牛顿力学理论在内，牛顿的经典力学理论是狭义相对论在一定条件(低速运动情况) 下的近似.尽管狭义相对论的某些结论可能会使初学者感到难于理解，但是一百多年来大量 实验事实表明，依据上述两个基本假设建立起来的狭义相对论，确实比经典理论更真 实、更全面、更深刻地反映了客观世界的规律性.二、洛伦兹变换为简单起见，如图14.1所示，设惯性系S (O xy z)以速度u相对于惯性系S
10、 (O xy z)沿x(x)轴正向作匀速直线运动，x轴与x轴重合，y和z轴分别与y和z轴平行,S系原点O与S 系原点O 重合时两惯性坐标系在原点处的时钟都指示零点.设P为观察的某一事件，在S系 观察者看来,它是在t时刻 发生在(x,y, z)处的，而在 S系观察者看来，它却在t 时刻发生在(x,y, z)处. 下面我们就来推导这同一 事件在这两惯性系之间的 时空坐标变换关系.在y (y)方向和z(z)方 向上,S系和S 系没有相对运动,则有：y =y, z=z，下面仅考察(x、t)和(x、t)之间的变换.由于时间和空间的均匀 性，变换应是线性的,在考虑t=t=0时两个坐标系的原点重合，则x和(
11、x +ut)只能相差一个常数因子，即x = y( x+u?)(14.1)由相对性原理知，所有惯性系都是等价的，对S系来说,S系是以速度u沿x的负方向运 动，因此,x和(x -ut)也只能相差一个常数因子,且应该是相同的常数，即有x=y(x - u t)(14.2)为确定常数y,考虑在两惯性系原点重合时(t=t=0),在共同的原点处有一点光源发出一 光脉冲，在S系和S系都观察到光脉冲以速率c向各个方向传播.所以有(14.3)将式(14.3)代入式(14.1)和式(14.2)并消去t和t后得(14.5)(14.6)1y=,y1 一 U 2 / C 2将上式中的丫代入式(14.2 )得, x - u
12、 t x =,x,tt,u u一z = z逆变换t 一 * c 2、J1 -u2 / c2z=zt +ux/c 2 t =,:1 -u2 / c2(14.7)这种新的坐标变换关系称为洛伦兹(H.A.Lorentz,18531928)变换.显然，讨论：1)从洛伦兹变换中可以看出，不仅x是x、t的函数，而且t也是x、t的 函数,并且还都与两个惯性系之间的相对运动速度有关，这样洛伦兹变换就集中的反映 了相对论关于时间、空间和物体运动三者紧密联系的新观念.这是与牛顿理论的时间、 空间与物体运动无关的绝对时空观截然不同的.2) 在u c的情况下,洛伦兹变换就过渡到伽利略变换.3) 洛伦兹变换中,x和t都
13、必须是实数，所以速率u必须满足u c.于是我们就得到 了一个十分重要的结论：一切物体的运动速度都不能超过真空中的光速c，或者说真空中的光速c是物体运动的极限速度.4) 时钟和尺子。例题14.1北京与上海直线相距1000km，在某一时刻从两地同时各开出一列火车. 现有一艘飞船沿从北京到上海的方向在高空掠过，速率恒为u = 9km/s .求宇航员测得 的两列火车开出时刻的间隔，哪一列先开出？解：取地面为S系，坐标原点在北京，以北京到上海的方向为x轴正方向，北京和上 海的位置坐标分别为x1和x2.取飞船为S 系.现已知在S系，两地距离为心=x -x = 106m而两列火车开出时刻的间隔是t = t
14、t = 0由洛伦兹变换可得(t t ) (x x ) t2-t1 = 2 ：1-：2/=9 X103(3 X108)2X106.1 (9 X103 )2 /(3 X108 )2总107S这一负的结果表示：宇航员发现从上海发车的时刻比从北京发车的时刻早10-7S .三、洛伦兹速度变换关系洛伦兹速度变换关系讨论的是同一运动质点在S系和S系中速度的变换关系.在S 系的观察者测得该物体速度的三个分量为(14.9)_ dx _ dy dzx dt y dt 9 z dt在S系的观察者测得该物体速度的三个分量为(14.10),_ dx , _ dy_ dZx dt y dt z dt为了求得上列不同惯性系
15、速度各分量之间的变化关系，我们对洛伦兹变换式中各 式求微分，得,. dx u dtdx=1 u 2 / c 2dy= dy ,(14.11)dz = dz,.dt udx / c2dt =,、寸1 U2 / C2由上式中的第一、第二和第三各式分别除以第四式便可得到从S惯性系到S惯性系的 速度变换公式为u =Lx 1 U / c2 u 寸1 -U2 / c2广 ICT5)x,u J1 -02 / c2u=x1 - OU / C2V X这便是洛伦兹速度变换关系.据相对性原理，在式(14.12)中将带撇的量与不带撇的量互 换，并将u换成-u，就得到速度变换的逆变换U +Ox 1 + UU* / C
16、2X(14.13)带撇量与不带撇量对调U J1 - 02 /c2V U yO -Oy1 +Ox / c2u V 1 -U2 / c22.603 x10-8V1 - (0.9200)2=6.642 x10-8s在衰变前可以通过的路程为L = uAt = 0.9200c x 6.642 x 10-8 = 18.32m 17m所以兀土介子在衰变前可以通过17m的路程.解法二：利用长度收缩效应.在兀土介子参考系(S系)观测,介子在固有寿命期间 实验室运动的距离为l =ut = 0.9200c x 2.603 x10-8 = 7.179m但由长度收缩效应得空间路程要收缩为1l = l V1 -02 /
17、c2 = 6.663 m0实验室运动的距离l (=7.179m)大于6.663m,所以介子在衰变前可以通过17m的路程, 与解法一的结论一致.从上述讨论可见，相对论时间延缓总是与长度收缩密切联系在一起的.它们都是由 时空的基本属性所决定的，相对论的时间和空间与物体的运动有关，这与牛顿的绝对时 空观是完全不相容的.但在低速情况(u c)下，相对论的时空转变为牛顿的绝对时空. 作业(P187)： 10, 1214.4狭义相对论动力学基础经典力学对伽利略变换来说是协变的，在旧时空概念下，牛顿定律对任意惯性系成 立.由于时空观的发展，洛伦兹变换代替了伽利略变换，经典力学的原有形式不再满足相 对性原理.
18、爱因斯坦认为,应该对经典力学进行改造或修正,以使它满足洛伦兹变换和洛 伦兹变换下的相对性原理.经这种改造的力学就是相对论力学.当然，在低速(u c) 情况下，相对论力学应该合理地过渡到经典力学.一、相对论质量和动量图14.2质速关系用图在经典力学中，根据动能定理，作功会使质点的动能增加，质点的运动速率将增大, 速率增大到多大，原则上没有上限.而实验证明这是错误的.例如，在真空管的两个电极 之间施加电压，用以对其中的电子加速.实验发现，当电子速率越高时加速就越困难，并 且无论施加多大的电压,电子的速度都不能达到光速.这一事实意味着物体的质量不是 绝对不变量,可能是速率的函数,随速率的增加而增大.
19、下面就让我们来探求质量与速率 的具体函数关系.如图14.2所示,S系相对于S系以速度 u沿x轴正向运动，在S系有一静止在x0 处的粒子，由于内力的作用而分裂为质量相 等的两部分(A和B),并且,分裂后MA以速 度u沿x轴正向运动，而MB以速度-u沿x 轴负向运动.在S系看来,MA是静止不动的，工 而MB相对于S系的运动速度可由洛伦兹 速度变换公式求得(14.17), -d-d- 2du=B 1 - (-d)d / c21 + D2 / c2从S系看,粒子分裂后其质心仍在x0处不动，但从S系看,质心是以速率-u沿x轴负 向运动.根据质心定义则有-D=吃七 + M 七d/Mb dMa + MbaM
20、a + MbbM -dd +d(14.18)MA(14.19)由式(14.17)解出u后代入(14.18)得M =1 n MMa(1-(吼 / c) 2B由上式可以看到，在S系观测，粒子分裂后的两部分以相同的速率运动，质量相等，但从S系观测，由于它们运动速率不同，质量也不相等.MA静止,可看作静质量，用m0表示；Mb以速率db运动，可视为运动质量,称为相对论性质量用m表示.去掉db的上下标, 于是就得到运动物体的质量与它的静质量的一般关系m = , mo(14.20)寸 1 -U 2 / C 2上式便是相对论质速关系，这个关系改变了人们在经典力学中认为质量是不变量的观 念.从上式还可以看出，当
21、物体的运动速率无限接近光速时，其相对论性质量将无限增大, 其惯性也将无限增大.所以，施以任何有限大的力都不可能将静质量不为零的物体加速 到光速.可见，用任何动力学手段都无法获得超光速运动.这就从另一个角度说明了在相 对论中光速是物体运动的极限速度.1966年在美国斯坦福投入运行的电子直线加速器，全长3x 103 m,加速电势差为 7x 106Vm-1,可将电子加速到0.9999999997c，接近光速但不能超过光速.这有力的证明了相对论质速关系的正确性.有了上面的相对论质量，可以证明，若定义动量wP = m糙 ,%U(14.21)1 -U 2 / C 2便可使动量守恒定律在洛伦兹变换下保持数学
22、形式不变.式(14.21)表示的就是相对论 动量，它并不正比于物体运动的速度u，但在低速情况下，相对论动量将过渡到经典力学 中的形式.二、相对论动力学基本方程在经典力学中，质点动量的时间变化率等于作用于质点的合力.在相对论中这一关 系仍然成立，不过其中的动量应是式(14.21)表示的相对论动量，即F =忒=d (一 _吃W )(14.22)dt dt、.1-E/ s这就是相对论动力学基本方程.显然，当质点的运动速度u u2dm + mudu = c2dm 0将此结果代入式(14.23 )得E =j mc 2 dm = mc 2 - m c 2k m00这就是相对论中质点动能的表达式.初看起来，
23、它与经典的动能表达式全然不同，但当 u u逆变换带撇的量(14.30)与不带撇的量交换Ex= ExBx = Bx(14.31)E，E fBB，B +uE / c2yv1 - U2 / c2y 1 02 / c2EE +0BBB -uE / c 2zv1 - U 2 / c 2Z(14.33)Z 4k8 Y 2 x 2 + y 2 + z 2 3 / 2式中丫 =1.由上式可得圮 1 - U 2 / c 2E : E : E = x : y : z(14.34)这表明，运动点电荷q在空间任意点产生的电场强度E的方向与从点电荷的瞬时(t =0)位置到该场点的方向相同.进一步可求得E的大小为E =
24、( E 2 + E 2 + E 2 )1/2x y zq1 -U2 / c 24ks r 2 1 - (02 / c 2 )sin 2 63 / 2(14.35)式中。是矢径r与速度u之间的夹角.上式表明，在S系内电场分布已不具有球对称性,平行于电荷运动方向的场强分量小于电荷静止时的场强，而垂直于运动方向的平面内的场强分量则大于电荷静止时的场强，并且随着 电荷运动速度的增加，电场趋向于集中分布在垂 直于运动方向的平面内.围绕运动电荷的电场线 如图14.3所示.对于磁场在空间的分布情况，我们先将式 (14.33)的磁场部分写为矢量形式为句 1句句 B = ux EEl4.3运动电荷电场跳分布上式
25、表明,磁感应线分布在垂直于运动方向的平面内,是以电荷运动方向为中心线的同 心圆，磁感应线的方向与运动正电荷的运动方向间仍服从右手螺旋法则.其大小分布可 由式(14.35)中E的大小而得日qo(1 -02 / c 2 )sin 0B 94兀r2 1 - (02 / c2 )sin2 03/2(14.36)式中用到s尸0= 1 /c2 .由此可见，在yz平面附近磁场较强，而且电荷的运动速度越大， 磁场越集中于yz平面附近.当点电荷q的运动速度u远小于光速c时,式(14.33)中的场强为2 qr5E =4 718 , 30B = E =C2冬U5 li qoxr 94ti n这正是低速运动电荷产生的电磁场.
