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1、第七章 静电场中的导体和电介质一、基本要求1 .掌握导体静电平衡的条件及静电平衡时导体电荷的分布规律；2. 学会计算电容器的电容；3. 了解介质的极化现象及其微观解释；4. 了解各向同性介质中D和E的关系和区别；5. 了解介质中电场的高斯定理；6. 理解电场能量密度的概念。二、基本内容1 .导体静电平衡(1) 静电平衡条件：导体任一点的电场强度为零(2) 导体处于静电平衡时：导体是等势体，其表面是等势面；导体表面的 场强垂直于导体表面。(3) 导体处于静电平衡时，导体内部处处没有净电荷存在，电荷只能分布在导 体的表面上。2 .电容(1) 孤立导体的电容C = qV电容的物理意义是使导体电势升高
2、单位电势所需的电量。电容是导体的重要属性 之一，它反映导体本身具有储存电荷和储存电能的能力。它的大小仅由导体的几何形 状、大小和周围介质决定，与导体是否带电无关。(2) 电容器的电容q为构成电容器两极板上所带等量异号电荷的绝对值。匕-匕为A、B两极间电 势差。电容器电容与电容器形状、大小及两极间介质有关，与电容器是否带电无关。（3）电容器的串并联串联的特点：各电容器的极板上所带电量相等，总电势差为各电容器上电势差之 和。等效电容由C = C + C + + ?进行计算。12n 并联的特点：电容器两极板间的电势差相等，不同电容器的电量不等，电容大者 电量多。等效电容为C = C1 + C2 +
3、+ C。（4） 计算电容的一般步骤 设两极带电分别为+ q和- q，由电荷分布求出两极间电场分布。 由V - V =J B E dl求两极板间的电势差。A B A 根据电容定义求C=。V - VA B3 .电位移矢量D人为引入的辅助物理量，定义D = e0E + P , D既与E有关，又与P有关。说明D 不是单纯描述电场，也不是单纯描述电介质的极化，而是同时描述场和电介质的。定 义式无论对各向同性介质，还是各向异性介质都适用。对于各向同性电介质，因为P =爵E，所以D =爵E =eE。e 00 r4.D，E，P之间的关系D = 8 0 E + P对各向同性电介质D = 8E。D的高斯定理：D-
4、dS = SqD线起于正自由电荷，止于负自由电荷。5 .电场能量w = 2 D - EW =皿 dV = JJ! 2d - EdVVV三、习题选解7-1 如图所示，在一不带电的金属球旁有一点电荷+ q，金属球半径为R，己知+ q与金属球心间距离为r。试求：（1）二金属球上感应电荷在球心处产生的电场=强度E及此时球心处的电势V ；（2）若题7-1图将金属球接地，球上的净电荷为多少?解：（1）由于导体内部的电场强度为零，金属球上感应的电荷在球心处产生的电 场强度E与点电荷+ q在球心处产生的电场强度E大小相等，方向相反。E的方向由O指向+ q点电荷+ q在球心处的电势为金属球表面感应电荷在球心的电
5、势为vr，由于球表面感应电荷量总和为零，；4 =法R 向=000故球心电势为V和VR的代数和V = Vq +VR瘢 r0（2）若将金属球接地，金属球是一个等势体，球心的电势V = 0。设球上净电荷为qf。球面上的电荷在球心处的电势为点电荷+ q在球心的电势为由电势叠加原理-j dq4双R 4双R s00Vq4ns r0V = VR + V = 0，Rq = qr7-2 如图所示，把一块原来不带电的金属板B移近一块已带有正电荷+Q的金属板A，平行放置。设两板面积都是S，板间距是d，忽略边缘效应。求:（1）B板不接地时，两板间的电势差;题7-2图（2）B板接地时，两板间电势差。解：（1）如图，设A
6、、B两金属板各表面的面电荷密度分别为。、。2、。3、。4。由静电平衡条件可知b b b b0000解得又。+。 =0故bbbb+ + 卜 一一= 0 2s2s2s2s0000b =b14b = b23b 1S +b 2 S = Q2S两板间为匀强电场，电场强度两板间的电势差（2）若B板接地两板间的电场强度两板间的电势差b b b b QE = I + 当3 A =2e2e2e2e2e S00000U = Ed = 2e S 0则有b =b = 0b =b - Q23p b b QE = 2 J =2e 02e e S0U = Ed =业e 0S7-3A、B为靠得很近的两块平行的大金属平板板的面
7、积为S，板间距离为d，使A、B板带电分别为q、q，且q q。求:A BA B（1）A板内侧的带电量;（2）两板间的电势差。解：（1）如图，设A、B两板各表面的电荷面密度分别为b 、b2b 3、由题意b S +b S = qb 3 S +b 4 S = q题7-3图又由静电平衡条件（参考题7-2）b =bb =-b 2qA + qB由、解得4*2S q - qb =-b =&232S故A板内侧的带电量（2）两板间为匀强电场，电场强度旧二珏+笔 一土 一*=qL28 28 28 28 28 S00000两板间电势差7-4 如图所示，半径为R的导体球带有电荷q，球外有一个内半径为R的同心 导体球壳，
8、壳上有电荷Q。（1）求球与壳的电势差U12 ；（2）用导线把球和壳连接在解：（1）导体球与球壳之间的电场强度为题7-4图起后，其电势为多少?e=-q-4兀8 r 2球与壳的电势差0J R EdrRR 0 r 2（2）用导线把球与球壳连接在一起后，导体球和导体球壳的电荷重新分布。静 电平衡时，球与球壳为等势体，匕=匕=匕2。所有电荷（q + Q）均匀分布在球壳外表面。球壳外电场强度为球与球壳的电势V =Edr =Qq攵=00RR 4兀8 r 2 4兀8 R2200 27-5如图所示，同轴传输线由圆柱形长直导体和套在它外面的同轴导体管构 成。设圆柱体的电势为V，半径为R，圆管的电势为V，内半径为R
9、，求它们之间1122离轴线为r处（R r R ）的电势。题7-5图解：设圆柱体表面沿轴线单位长度所带电量为人，在距轴线为r的任意一点P的场强为E = -R r =1-1 1 - 密度分别为。和-。略去边缘效应。求电介质中三一/00$的电场强度、极化强度P、电位移O,介质表面的题7-7图极化电荷面密度b。解：对于平行板电容器，两板间的电场强度为bE =9-no8其中/I。为沿极板法线方向的单位矢量，方向从。极板指向2 极板。两极板电 00介质中的电位移为。=sE =o no0极化强度P = D-& E =j no-cj j| o=(l-)(j n。0080 o由于极化电荷都在介质的上下两表面，故
10、极化电荷体密度p = 0。两极板间介质中的电场E为板上自由电荷产生的电场E和介质表面束缚电荷产生的电场E的叠加。 0设介质表面极化电荷面密度为S。Eo(JE = o- = E - EE 0对于靠近带正电荷极板的介质表面，极化电荷面密度为f。靠近带负电荷极板的介质表面，极化电荷面密度为。7-8 如图所示，平行板电容器两极板相距为d，接到电压为U伏的电源上，在其间插入厚为x、相对电容率为8r的玻璃平板。略去边缘效应，求空隙中和玻璃中的电场强题7-8图度。解：设电容器极板上电荷面密度为a ，则两极板间空气间隙中的场强为aE = 0-080玻璃平板中的场强为两极板间的电位差U = E （d - x）
11、+ Ex0由、两式可得E =8U0 8 （d 一 x） + xrE =8 （d 一 x） + xr7-9在相对电容率为8、半径为R的均匀电介质球的中心有一点电荷q，介质r1球外的空间充满相对电容率为8 r2的均匀电介质。求距q为r (r R )处的场强及电势(选无穷远处为电势零点)。解：介质球中心的点电荷q产生的电场具有球对称性。由高斯定理，介质球内外 的场强分别为Ei=Wh;（ r R）0 r 2选无穷远处为电势零点，距q为尸（r R ）处的电势V = f REdr + 屁 dr =q (- - -) + qr 1 R 24双 & r R4双 8 R7-10 有一面积为S、间距为d的平行板电
12、容器。（1）在板间平行于极板面插入厚度为d，面积3也为S的相对电容率为8 r的均匀电介质板，计算其电容；（2）若插入的是同样尺寸的导体板，+临求其电容；（3）上下平移介质板或导体板对电容有无影响?题7-10图解：设电容器极板所带电荷面密度为。（1）两极间电势差V -V Ed + E dA(d + d ) +00T,2bdbd-V +b3838 8电容C V - V竺严.+1)(28 + 1)dA B38 8r（2）若插入导体板，则E2= 0V -V Ed + Ed d + dA B 1 13 38183电容=：(+d3)= ： (d - 3)=00bS3 & S=0 2bd2d3s- 0（3）
13、上下移动介质板或导体板对电容无影响。2b d 3& 07-11如图所示，一无限大平行板电容器，设A、B两板相距5.0cm，板上各带电荷b = 3.3 x 10 -6 C - m -2，A板带正电，B板带负电并接地（地的电势为零），求:（1）在两板之间距A板1.0cm处P点的电势；（2）A板的电势。解：（1）平板电容器两板间场强P点电势bE =Vp = E (d - r) + VB = (d - r) = 1.49 x 104 V0(2)A板的电势d*1P题7-11图Va = Ed + Vb = d = 1.86 x 104 V07-12 面积是2.0m2的两平行导体板放在空气中相距5.0mm，
14、两板电势差为1000V，略去边缘效应。试求：（1）电容C ；（2）各板上的电量Q、电荷的面密度和板间电场强度E的值。解：（1）平板电容器电容C =孕=3.54 x 10 -9 F = 3.54 x 10-3 pF（2）各板上的电量板上电荷的面密度板间电场强度E的值Q = CU B = 3.54 x 10 -6 Cq = Q = 1.77 x 10-6 C -m - 2SqE = = 2.0 x 105 N - C-i&7-13 如图所示，电容器由三片面积都是6.0cm2的锡箔构成，相邻两箔间距离都是0.10mm，外边箔片联在一起成为一极，中间箔片作为另一极，题7-13图（1）求电容C ； （2
15、）若在这电容器上加220V电压，问三箔上电荷的面密度各是多少?解：（1）三片锡箔组成的电容器，其电容相当两个电容器的并联。C = C + C =尝 + 尝=1.06 x 10-10 F = 1.06 x 102 pF 12 d d（2）总电量Q = CU = 2.34x 10-8C对于中间一片锡箔，总电量Q均匀分布在箔的两面，故锡箔面电荷密度q = Q = 1.95 x 10 -5 C -m-22 S7-14如图所示，同心球电容器内外半径分别为气和气，两球间充满相对电容率为,的均匀介质，内球带电量Q，试求：（1）电容器内外各处电场强度E和两球的电势差U ；（2）电介质中电极化强度P和极化电荷面
16、密度。；（3）电容C。解：（1）内球所带电荷Q，在外球壳内外两表面感应出电荷-Q和+Q，两球间及球外电场具有球对称性，由高斯定理气=一Q一 r 0（ R r R2）题7-14图(2)电介质中的极化强度P = D _80气=（8-8 0） E = %；）。r 0r极化电荷分布在靠近内外球表面的球面上，极化电荷面密度分别为b ； = P cos 0 =（1 -8r）Q （靠近内球表面 0 =K ）r 1(8 -1 )Q一一r(靠近内球表面0 = 0)2(3)由两球的电势差U =电容器电容为C=Q QIU （-）4兀8 8 RR7-15电容率为的无限大均匀介质中，有一个半径为R的导体球，带电荷Q。求
17、电场的能量。E1 = 0解：导体球的电荷均匀分布在外表面，球内不存在电场，电场只存在于球体外， 其空间分布为此时，电场的能量为W = 1 E2dV = 1 （）24兀r2dr = 空= R 2。2 R 2 o 4兀 r 28兀 R r 2 8兀 R0007-16 一空气球形电容器内外球壳的半径分别为R1和R2，分别带有等量异号电荷，电势差为。试求：（1）电势能；（2）电场的能量。解：（1）介质为空气的球形电容器的电容为4脱RRC = 012R2 - R1电势能为4兀 RRU2R -R 221（2）球形电容器介质层中的电场强度为E = 4兀 r 20其中Q = CU =女 oR RUAB R -
18、 R1E=14 兀 RRU= RRU=4 兀。r2R- R1= (R- R1)r2由于内球壳中场强为零，外球壳外场强也为零，故电场能量储存在内外球壳之间。在两球壳间取体积元dV = 4兀尸2dr，其电场能量dW=2。E2dV = 1 E24兀r2dr =2k E2 r2dr0全部电场中的能量W = J dW = J R2 2双R1RRU12(R2 - R)r 2小=2兀。R：RU 2 JR dr=(R； - R：)2r： T2双 R2R2U2 11、 2双 RRU2=0_1_2（）=012（R2 - R）2 R1 R2R2 - R17-17 半径为R1的导体球，外套有同心的导体球壳，壳的内、外
19、半径分别为R2、R3，球与壳之间是空气，壳外也是空气，当内球带电荷Q1，球壳带电荷Q2时，问：（1）这个系统储藏了多少电能？ （2）如果用导线将球与壳连在一起，结果如何？解：（1）这个由导体球和同心导体球壳的系统将空间分为4个部分，分别为导体球内（0 r R ；球与壳之间（R r R ；球壳之间（R r R）。12233由于球体与球壳均为导体，所以导体球内与球壳之间的电场强度为零。由高斯定理易(% r R)得此时全空间场强的表达式为Q14兀8 r 20Q, + Q” 124兀8 r 2 0系统储藏电能为W = j dWe v e=jRR11 82 0 4兀8 r 2、21R 72 /L 0 7
20、)+版+ Q2 I -18兀8R0314兀r2dr + j 一 8r 2 0 4兀8 r 2)24 兀 r2 dr（2）如果用导线将球与壳连在一起，此时电荷只分布在球壳外表面上。由高斯 定理知：球壳外表面以内电场强度为0，球壳外表面以外电场强度表达式为系统储藏电能为W，= j dW =卜18 e v e R32 0 4兀8 r2)2m a(Q + Q )24 兀 r 2 dr = 12一8兀8 R0 37-18如图所示，两平行导体板面积为S、间距为d，在它们中间平行地插入一 层厚为，、电容率8的电介质，求下列两种情况下，插入介质后能量改变的值。（1）维持两极板电荷Q不变时插入介质;（2）维持两
21、极板电压U不变时插入介质。解：未插入介质极前，平板电容器的电容为插入介质后，平板电容器的电容变为IT7/X7771题7-18图8 ES08 (d - t) + 8 t（1）维持两极板电荷2不变时插入介质板插入前后电场的能量分别为Q 2W =， 2C能量改变的值8 (d - t) + 8 t88 S_&8 S_ 18 (d - t) + 8J-8d、_ (8 -8 )tQ 2=2 Q28 8S_ 28 8S00（2）维持两极板电压U不变时插入介质板，插入前后电场的能量分别为能量改变的值AW = W-W = 1U 2 (一斐-受)28 (d -1) + 8 t d=1 U 2 d808S - 80
22、8Sd + 808St_- 82St = 80(8 - 80)StU 22d 8(d -1) + 8 t 2dsd - (8-8 )t 7-19平行板电容器，板的面积为S、极板间距离为d，把它充电到两极板电势差为U时去掉电源，然后把两极板拉开到距离为2d。略去边缘效应，试求: （1）分开两极板所需的功；（2）两极板的电势差；（3）电容器所储存的能量。解：当极板间距为d时，电容器电容为C=I2i d当极板间距为2d时，电容器电容为2d（1）由于在拉开极板前电池已撤去，所以板上电荷量不变，匕SU0d分开两极板所需的功为电容器储存能量的增加量1 Q 2 1 Q 22 C 22 C11 2d d 0SU 2 _ 0SU 2 2( 80S T0S Qd 2 _ 2d（2）两极板的电势差（3）两极板拉开后电容器所储存的能量w _ 1C U 2 _ 1 0S X 4U 2 _ 80SU 22 2 AB 2 2dd
