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1、空间向量证明立体几何问题,空间向量,空间向量的运算,空间向量基本定理,空间向量的坐标运算,加减和数乘运算,共线向量共面向量,空间向量的数量积,知识结构,夹角和距离平行和垂直,1、空间直角坐标系,以单位正方体 的顶点O为原点，分别以射线OA，OC，的方向 为正方向，以线段OA，OC，的长为单位长，建立三条数轴：x轴,y轴,z轴,这时我们建立了一个空间直角坐标系,B,O为坐标原点，x轴,y轴,z轴叫坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面,一、基本概念,右手直角坐标系,横轴,纵轴,竖轴,2、空间直角坐标系中点的坐标,有序实数组（x,y,z）叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M（x,y,z）其
2、中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标,如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面,称这个向量垂直于平面,记作n,这时向量n叫做平面的法向量.,4、平面的法向量,3、直线的方向向量,1、假设平面法向量的坐标为n=(x,y,z).2、根据na=0且nb=0可列出方程组,3、取某一个变量为常数(当然取得越简单越好),便得到平面法向量n的坐标.,5、平面法向量的求法,设a=(x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若na且nb,则n.换句话说,若na=0且nb=0,则n.可按如下步骤求出平面的法向量的坐标,例、
3、已知A(2,1,1),B(-2,7,0),C(6,4,-1).求平面ABC的法向量,解：平面ABC的法向量为:,例、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.,解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图），则O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2），设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z),由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）得,解得,取z=1得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1),5、两法向量所成的角与二面角的关系,设n1、n2分别是二面角两个半平面、的法向量，由几何知识可知，二面角-L-的大小
4、与法向量n1、n2夹角相等或互补，于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角.,二、基本公式：,1、两点间的距离公式（线段的长度）,2、向量的长度公式（向量的模）,3、向量的坐标运算公式,4、两个向量平行的条件,5、两个向量垂直的条件,或,7、重心坐标公式,6、中点坐标公式,9、直线与平面所成角公式,8、直线与直线所成角公式,10、平面与平面所成角公式,(为二面角两个半平面的法向量）,11、点到平面的距离公式,（PM为平面 的斜线,为平面 的法向量）,12、异面直线的距离公式,（A,B为异面直线上两点,为公垂线的方向向量）,利用向量求角,直线与直线所成的角,直线与平面所成的角,平面与平面
5、所成的角（二面角）,利用向量求距离,点到直线的距离,点到平面的距离,直线到平面的距离,平行到平面的距离,直线到直线的距离,三、基本应用,利用向量证平行,利用向量证垂直,直线与直线垂直,直线与平面垂直,平面与平面垂直,直线与直线平行,直线与平面平行,平面与平面平行,、垂直问题,四、基本方法,1、平行问题,、角度问题,、距离问题,（）点到点的距离、点到平面的距离、直线到直线的距离直接用公式求解。,（）点到直线的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离转化为点到平面的距离求解。,例：,五、典型例题,所以：,解：以点C 为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，不妨设 则,C,所以 与 所成角的余弦值为
6、,N,解：如图建立坐标系A-xyz,则,N,又,例.在正方体AC1中，E为DD1的中点，求证：DB1/面A1C1E,E,F,E,X,Y,Z,或先求平面BDE的法向量 再证明,设平面,X,Y,Z,例：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：面A1BD面CB1D1,或先求两平面的法向量 再证明,例、在正方体AC1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：面AED面A1FD1,A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,E,F,或证明两平面的法向量垂直,练习,练习,练习,练习,练习,A,B,C,C1,取x=1,z则y=-1,z=1,所以,E,A1,B1,A,B,C,D,E,F,G,X,Y,Z,练习,练习,练习,练习,已知正方形ABCD的边长为1，PD 平面ABCD，且PD=1，E、F分别为AB、BC的中点。求证：PE AF；求点D到平面PEF的距离；求直线AC到平面PEF的距离；求直线PA与EF的距离；求直线PA与EF所成的角；求PA与平面PEF所成的角；求二面角A-PE-F的大小。,练习,
