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1、第十四节 反常积分与含参变量的积分习题课,一.含参变量的积分,1.连续性质,定理若函数 在矩形域,连续，则函数,在区间也连续,定理2 设 在,上连续，且无穷积分,在 上一致收敛，则一元函数,在 上连续。,(一).利用连续性 极限和积分可交换顺序,1.,2计算极限,定理3 若函数与 在矩形域,连续，则函数,在区间 可导，且,，有,或,二.可微性质,定理 若函数 与 在矩形域,连续，而函数 与,在区间 可导，且,，有,则函数 在区间 可导,且,定理5 若函数 与 在区域,上连续，且无穷积分,在区间 上收敛，,而无穷积分 在区间,一致收敛,则函数 在区间 可导,且,(二)利用可微性 求导与积分可交换
2、顺序,1.计算积分,2.设,其中 是连续函数,求,3.证明:若函数 在区间 连续,则,有,定理6 若函数 在矩形域,连续，则函数,在区间 可积，且,三.可积性质,定理7 设 在区域,上连续，且无穷积分,在 上一致收敛，则一元函数,在 可积,且,积分号下可积分.,(三)利用可积性 积分可交换顺序,1.计算积分,四.无穷积分一致收敛的判别方法,定理8 若,且无穷积分 收敛,则无穷积分,在区间 一致收敛.,定理9 狄利克雷判别法,若 满足：,）当 时,积分 对,一致有界；,）是的单调函数，且,时，关于 一致趋于,则无穷积分在,上一致收敛,定理10 阿贝耳判别法,若 满足：,则无穷积分 在,上一致收敛
3、,1)关于 一致收敛;,2)函数 关于 单调,且关于 在,上一致有界.,(四)证明下列各题,在R上一致收敛,在上不一致收敛,其中是常数,一致收敛,定理11 设,有,c是正常数。,收敛，则无穷积分,若无穷积分,也收敛.,发散，则无穷积分,2.若无穷积分,也发散.,五.积分收敛的判别方法,定理12 设有,c是正常数。,若瑕积分 收敛（是瑕点），,也收敛,则瑕积分,2.若瑕积分 发散（是瑕点），,则瑕积分 也发散。,推论1,函数,且极限,1.若,则无穷积分,收敛；,则无穷积分,发散。,2.若,推论2设 若函数,是瑕点，且极限,）若，则瑕积分,收敛,）若，则瑕积分,发散,注:关键是找到合适的.,(五)判断下列积分的收敛性,(六)判别下列积分是绝对收敛还是条件收敛.,
