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1、Mathematical Analysis,数学分析,反常积分习题课,第十一章,基本问题：反常积分的敛散性判别及其计算,无穷积分与暇积分的概念及其敛散性，绝对收敛性敛散性判别：Cauchy准则，比较判据（Cauchy），Dirichlet判据，Able判据无穷积分与暇积分的计算（极限）,统一思想：转化思想，极端原理,由熟悉（有界闭区间有界函数的性质）认识（极限性质）陌生；极端原理（抓主要矛盾、控制思想）。同号函数，越小越好。,变号函数，分解为二，一单调，二震荡，二者相辅相成。,基本要求：理解思想，牢记法则,理解Cauchy收敛准则的科学依据；理解比较判别法、Dirichlet及Able判别法的
2、科学依据；牢记两个特殊函数类的积分敛散性；牢记三种判别法：比较判别法、Dirichlet及Able判别法。,主要知识点,一、反常积分及其敛散性概念,无穷积分=无界区间上（有界函数）的积分三种情况：a,)；(,b；(,)暇积分=（有界区间上）无界函数的积分三种情况：(a,b;a,b);a,c)(c,b,在任何有限区间a,u上可积，且存在极限,1.无穷积分的收敛性,归结为变上限积分函数的极限问题计算无穷积分的依据,在任何内闭区间u,b(a,b上可积且存在极限,2.暇积分的收敛性,归结为变下限积分函数的极限问题计算暇积分的依据,3.两类重要的反常积分,当且仅当p 1时收敛。,当且仅当q 1时收敛。,
3、典型的控制函数,二、无穷积分的性质与收敛判别,任给 0,存在G a,只要u1,u2G,便有,1.Cauchy收敛准则,无穷远片段无限小,起点无关性,2.基本性质,区间可加性,线性可加性,与,同敛散.,绝对收敛性,若 f 在任何有限区间a,u上可积,且有,绝对收敛者一定收敛，反之未必.,收敛而不绝对收敛者称为条件收敛.,3.非负函数比较法则,设定义在a,)上的两个函数，f 和g都在任何,有限区间a,u上可积,且存在M a 使得,非负函数 大的收敛 小的收敛 小的发散 大的发散,比较判别法的极限形式,若 f 和 g 都在a,u上可积,g(x)0,且,则有:,也发散.,Cauchy判别法,设 f 定
4、义于a,)(a0),且在,任何有限区间a,u上可积,则,(i)当,(ii)当,其中M是某正实数。,Cauchy判别法极限形式,设 f 定义于a,),在任何,有限区间a,u上可积,且,则有,Dirichlet判别法 若,原理：Cauchy判别准则，积分第二中值定理。,(2)g(x)在a,)当x时单调趋于0.,3.非负函数比较法则,f(x)的原函数是有界函数,Abel判别法 若,原理：Cauchy判别准则，积分第二中值定理。,(1),(2)g(x)在a,)上单调有界.,收敛,重要例子,与,在p0时收敛.,收敛(绝对收敛)的无穷积分的被积函数(即使连续)未必趋于0，甚至可能是无界的。,若无穷积分收敛
5、且被积函数f(x)收敛或一致连续或单调，则被积函数 f(x)趋于0。,三、瑕积分的性质与收敛判别,1.Cauchy收敛准则,任给 0,存在 0,只要u1,u2(a,a),总有,瑕积分(瑕点为a)收敛的充要条件是:,线性可加性,2.基本性质,区间可加性,终点无关性(a为瑕点),与,同敛散.,绝对收敛性,设 f 的瑕点为a,f 在(a,b的任一内闭区间u,b上可,积.则当 收敛时,也必收敛,并有,绝对收敛者一定收敛，反之未必.,当 收敛时,称 绝对收敛；收敛而非绝对收敛者称条件收敛,比较法则,设定义在(a,b上的两个函数 f 和g,瑕点同为xa,在任何u,b(a,b上都可积,且满足,3.非负函数比
6、较判别法,比较判别法渐近性态,若g(x)0,且,则有:,Cauchy判别法,上可积,则,(i)当,设 f 定义于(a,b,a为其瑕点,且在任何u,b(a,b,(ii)当,Cauchy判别法渐近性态,则有:,上可积.如果,设 f 定义于(a,b,a为其瑕点,且在任何u,b(a,b,Dirichlet判别法,(2)g(x)在(a,b当x a+时单调趋于0.,原理：Cauchy判别准则，积分第二中值定理。,若,4.变号函数判别法,f(x)的原函数是有界函数,Abel判别法,若,(2)g(x)在(a,b上单调有界.,习题释疑及例题选讲,习题解题思路,课本各节习题(略),课后作业,习 题,看1例3-6；2例1-4；3例1-2.各原布置习题,做1习题1(1,5),2(3,5,7)；2习题4(3,5),5(1,2,3,4),6,8,9；3习题3(2,4,6,8),4(2).总练习题1,4,6.,Thank You!,
