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1、1.了解导数概念的实际背景.2.理解导数的几何意义.(理)能根据导数定义，求函数yc(c为常数)，y x，yx2，yx3，y，y 的导数.,(理)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数 的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单 的复合函数(仅限于形如f(axb)的复合函数)的 导数.,1.导数的概念(1)函数f(x)从x1到x2的平均变化率 函数f(x)从x1到x2的平均变化率为，若xx2x1，yf(x2)f(x1)，则平均变化率可表示 为.,(2)f(x)在xx0处的导数 函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是，称其为函数yf(x)在xx0处的导数，记作 f(x0)或，即f(x0),(3)
2、导函数 当x变化时，f(x)称为f(x)的导函数，则f(x)y,2.导数的几何意义 函数yf(x)在xx0处的导数的几何意义，就是曲 线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线的，过点P 的切线方程为：,斜率,yy0f(x0)(xx0),3.基本初等函数的导数公式,f(x)0,f(x)ex,f(x)nxn1,f(x)cosx,f(x)(a0且a1),f(x)axIna(a且a a1),f(x),f(x)-sinx,4.导数运算法则(1)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)(3).,f(x)g(x),f(x)g(x)f(x)g(x),(g(x)0),5.复合函数的导数(理)复合函数yf(g(x
3、)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间 的关系为yx，即y对x的导数等于y对u的导 数与u对x的导数的积.,f(u)ux,1.若f(x)2x2图象上一点(1,2)及附近一点(1x,2 y)，则 等于()A.32xB.4x C.42x D.3x,解析：yf(1x)f(1)4x2(x)2，42x.,答案：C,2.函数yxcosxsinx的导数为()A.xsinxB.xsinx C.xcosx D.xcosx,解析：y(xcosxsinx)(xcosx)(sinx)cosxxsinxcosxxsinx.,答案：B,3.曲线yx32x4在点(1,3)处的切线的倾斜角为()A.30 B.45 C.
4、60 D.120,解析：设倾斜角为.y3x22，y|x131221，45.,答案：B,4.设f(x)，则f(x).,解析：f(x)()()()(),答案：,5.已知点P在曲线f(x)x4x上，曲线在点P处的切线平行 于直线3xy0，则点P的坐标为.,解析：由题意知，函数f(x)x4x在点P处的切线的斜率等于3，即f(x0)13，x01，将其代入f(x)中可得P(1，0).,答案：(1,0),根据导数的定义求函数yf(x)在点x0处导数的方法：1.求函数的增量yf(x0 x)f(x0)；2.求平均变化率；3.得导数f(x0).上述过程可简化为：一差、二比、三极限.,利用导数的定义求函数y 的导数
5、.,思路点拨按照一差、二比、三极限.,课堂笔记y，即y.,若将“y”改为“y”呢？,解：y，,1.运用可导函数求导法则和导数公式，求函数yf(x)在开区 间(a，b)内的导数的基本步骤：(1)分析函数yf(x)的结构和特征；(2)选择恰当的求导法则和导数公式求导；(3)整理得结果.2.对较复杂的函数求导时，应先化简再求导，特别是对数函 数真数是根式或分式时，可用对数的性质转化真数为有理 式或整式求解更为方便.,求下列函数的导数：(1)y(3x34x)(2x1)；(2)y3xex2xe；(3)Y；(4)(理)yln(3x2)e2x1.,思路点拨化简变形后结合求导法则和求导公式进行求解.,课堂笔记
6、(1)y(3x34x)(2x1)6x43x38x24x，y24x39x216x4或y(3x34x)(2x1)(3x34x)(2x1)(9x24)(2x1)(3x34x)224x39x216x4；(2)y(3xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x)3x(ln3)ex3xex2xln2(ln31)(3e)x2xln2；,(3)y；(4)(理)yln(3x2)e2x1ln(3x2)(e2x1)(3x2)e2x1(2x1)2e2x1.,1.函数yf(x)在点P(x0，y0)处的导数f(x0)表示函数y f(x)在xx0处的瞬时变化率，导数f(x0)的几何意义就是函数 yf(x)在P(x0，y
7、0)处的切线的斜率，其切线方程为yy0 f(x0)(xx0).2.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤：(1)求出函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程 yy0f(x0)(xx0).,特别警示求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.,已知曲线y.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求满足斜率为1的曲线的切线方程.,思路点拨,课堂笔记(1)yx2，在点P(2,4)处的切线的斜率ky|x
8、24.曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.(2)设曲线y 与过点P(2,4)的切线相切于点A()，则切线的斜率ky|.切线方程为y()(xx0)，即y.,点P(2,4)在切线上，4，即 40，40，(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得x01或x02，故所求的切线方程为4xy40或xy20.,(3)设切点为(x0，y0)，故切线的斜率为k 1，解得x01，故切点为(1，)，(1,1).故所求切线方程为y x1和y1x1，即3x3y20和xy20.,高考对本节内容的传统考法是以选择题、填空题或在解答题的某一问中考查导数几何意义的应用，很少直
9、接考查函数求导运算.但09年天津高考则直接考查了导数的概念及运算，是一个新的考查方向.,考题印证(2009天津高考)设函数f(x)在R上的导函数为f(x)，且2f(x)xf(x)x2.下面的不等式在R上恒成立的是()A.f(x)0B.f(x)0 C.f(x)x D.f(x)x,【解析】选 用排除法，设x0，则f(0)0，排除B、D；设f(x)x2，符合题目条件，但C不恒成立.,A,自主体验已知f(x)4x，则f(1).,解析：因为f(x)4x，所以f(x)4，因此f(1)4，解得f(1)2.,答案：2,1.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s t3 t22t，那么速率为零的时刻是
10、()A.0秒B.1秒末 C.2秒末 D.1秒末和2秒末,解析：st23t2令s0，则t1或t2.,答案：D,2.(文)yx2cosx的导数是()A.2xcosxx2sinx B.2xcosxx2sinx C.2xcosx D.x2sinx,解析：y2xcosxx2sinx.,答案：B,(理)已知y sin2xsinx，则y是()A.仅有最小值的奇函数B.既有最大值又有最小值的偶函数C.仅有最大值的偶函数D.非奇非偶函数,解析：y cos2x2cosxcos2xcosx2cos2x1cosx2(cosx)2,答案：B,3.(2010威海模拟)设曲线yax2在点(1，a)处的切线 与直线2xy60
11、平行，则a()A.1 B.C.D.1,解析：y2ax，y|x12a.即yax2在点(1，a)处的切线斜率为2a.直线2xy60的斜率为2.这两直线平行，它们的斜率相等，即2a2，解得a1.,答案：A,4.(2009江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲 线C：yx310 x3上，且在第二象限内，已知曲线 C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为.,解析：yx310 x3，y3x210.由题意，设切点P的横坐标为x0，且x00，即 102，4，x02，y0 10 x0315.故点P的坐标为(2,15).,答案：(2,15),5.如图所示，函数yf(x)的图象在点P处的切 线方程是yx8，
12、则f(5)，f(5).,解析：切线方程与yf(x)交于点P(5，y0)，y0583.由切线的意义知f(5)1.,答案：31,6.已知函数f(x)x33x及yf(x)上一点P(1，2)，过点P 作直线l.(1)求使直线l和yf(x)相切且以P为切点的直线方程；(2)求使直线l和yf(x)相切且切点异于P的直线方程.,解：(1)由f(x)x33x得f(x)3x23，过点P且以P(1，2)为切点的直线的斜率f(1)0，所求的直线方程为y-2,(2)设过P(1，2)的直线l与yf(x)切于另一点(x0，y0)，则f(x0)3.又直线过(x0，y0)，P(1，2)，故其斜率可表示为，又 3，即 3x02，解得x01(舍去)或x0，故所求直线的斜率为k3(1)，y(2)(x1)，即9x4y10.,
