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5-2定积分在几何上的应用,制作人：,一、定积分的元素法求平面图形的面积,图中阴影称为面积元素，记为,即：,因为：,，所以,1、利用面积元素来计算较复杂的平面图形面积。,例1：求由曲线,与,所围成的图形的面积。,例2：求由抛物线,与直线,所围成的图形面积。,2、结论：选择积分变量的原则,无论是利用上减下（纵坐标相减），x为积分变量.还是利用右减左（横坐标相减），y为积分变量.都必须保证起点为同一个函数，终点为同一个函数，不能出现自己减自己的情况。（回顾前两个例题的变量选择是必然的）,3、求平面图形的一般步骤：,（1）作曲线图形，确定积分变量和积分区间（2）求面积元素（3）计算定积分,一般地，如图由曲线,，,与直线,和,所围成的平面图形的面积为,这种方法成为定积分的元素法。,4、练习,利用两种积分变量求,与,平面图形的面积。,所围成的,二、旋转体的体积,例1：验证底面半径为r,高为 h的圆锥的体积,例2：求圆,绕,轴旋转所形成的球的体积。,例3：求由曲线,，,所围成的图形绕x,轴旋转而成的旋转体的体积。,总结：,由曲线,，直线,，,轴围成的曲边梯形绕 x,和x,轴旋转而成的旋转体,的体积为,（半径相当于y，自变量为x）,同理，绕 y轴旋转自变量为y，,
