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1、,第八章 定积分,8.1 定积分8.2 可积准则8.3 定积分的性质8.4 定积分的计算8.5 定积分的应用,8.1 定积分,一、曲边梯形的面积二、定积分的概念三、定积分的几何意义,一、曲边梯形的面积,平面图形称为曲边梯形，下面讨论曲边梯形的面积。,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时
2、，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,这一越来越逼近曲边梯形面积的过程可以分三步进行：,1.分割：把曲边梯形 A 分成 n 个小曲边梯形,2.近似:,3.逼近：不管分割多么细，小曲边梯形终究不是,S 总有差别.当分割越来越细时，和式,就会越来越小.,二、定积分的概念,称为积分和或黎曼和;,若极限,三、定积分的几何意义,曲边梯形面积,曲边梯形面积的负值,各部分面积的代数和,例1.利用定义计算定积分,解,将 0,1 n 等分,分点为,取,定理1(可积必有界）,若函数 在 上可积，则 在 上必有界.,例如，狄利克雷函数,8.2 可积准则,一、大和与小和二、可积准则三、三类可积函数,称为 f 关于分割 T 的大和,其中,称为 f 关于分割 T 的小和,其中,一、大和与小和,二、可积准则,定理 1（可积准则）函数 f 在a,b上可积的充要,条件是：,记,定理 2（连续必可积）,三、三类可积函数,定理 3（有限个间断点的有界函数必可积）,f 在 a,b 上可积.,定理 4（单调必可积）,注：单调函数即使有无限多个间断点，仍不失其可积性.,8.3 定积分的性质,例1,
