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1、2023/6/4,第三章 导数及其应用复习小结,2023/6/4,本章知识结构,导数,导数概念,导数运算,导数应用,函数的瞬时变化率,运动的瞬时速度,曲线的切线斜率,基本初等函数求导,导数的四则运算法则,简单复合函数的导数,函数单调性研究,函数的极值、最值,曲线的切线,变速运动的速度,最优化问题,2023/6/4,曲线的切线,以曲线的切线为例，在一条曲线C：y=f(x)上取一点P(x0，y0)，点Q(x0+x，y0+y)是曲线C上与点P临近的一点，做割线PQ，当点Q沿曲线C无限地趋近点P时，割线PQ便无限地趋近于某一极限位置PT，我们就把直线PT叫做曲线C的在点P处的切线。,一知识串讲,202
2、3/6/4,2023/6/4,（一）导数的概念：,1导数的定义：对函数y=f(x)，在点x=x0处给自变量x以增量x，函数y相应有增量y=f(x0+x)f(x0)，若极限 存在，则此极限称为f(x)在点x=x0处的导数，记为f(x0)，或y|；,2023/6/4,2导函数：如果函数y=f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，就说y=f(x)在区间(a，b)内可导即对于开区间(a，b)内每一个确定的x0值，都相对应着一个确定的导数f(x0)，这样在开区间(a，b)内构成一个新函数，把这一新函数叫做f(x)在(a，b)内的导函数简称导数记作f(x)或y.即f(x)=y=,2023/6/4,3导数的
3、几何意义：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在P(x0，f(x0)处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0)处的切线斜率为kf(x0)所以曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线方程为 yy0=f(x0)(xx0),4导数的物理意义：物体作直线运动时，路程s关于时间t的函数为：s=s(t)，那么瞬时速度 v 就是路程 s 对于时间t的导数，即v(t)=s(t).,2023/6/4,返回,2023/6/4,导数的运算法则:,法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:,法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导
4、数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即:,法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数,再除以第二个函数的平方.即:,返回,2023/6/4,当点Q沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PQ如果有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.,设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.,即:,返回,2023/6/4,1)如果恒有 f(x)0，那么 y=f（x)在这个区间（a,b)内单调递增；,2)如果恒有 f(x)0，那么 y=f（x）在这个区间(a,b)内单调递减。,一般地，函数yf（
5、x）在某个区间(a,b)内,定理,f(x)0,f(x)0,如果在某个区间内恒有,则 为常数.,返回,2023/6/4,2)如果a是f(x)=0的一个根，并且在a 的左侧附近f(x)0，那么是f(a)函数f(x)的一个极小值.,函数的极值,1)如果b是f(x)=0的一个根，并且在b左侧附近f(x)0，在b右侧附近f(x)0，那么f(b)是函数f(x)的一个极大值,注：导数等于零的点不一定是极值点,2)在闭区间a,b上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,则它必有最大值和最小值.,函数的最大（小）值与导数,返回,2023/6/4,2023/6/4,2023/6/4,2023/6/4,202
6、3/6/4,（五）函数的最大值与最小值：,1定义：最值是一个整体性概念，是指函数在给定区间(或定义域)内所有函数值中最大的值或最小的值，最大数值叫最大值，最小的值叫最小值，通常最大值记为M，最小值记为m.,2023/6/4,2存在性：在闭区间a，b上连续函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值 3求最大（小）值的方法：函数f(x)在闭区间a，b上最值求法：求出f(x)在(a，b)内的极值；将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中较大的一个是最大值，较小的一个是最小值.,2023/6/4,2023/6/4,2023/6/4,2023/6/4,例已经曲线C：y=x3-x+2和点A(1,2
7、)。求在点A处的切线方程？,解：f/(x)=3x21，k=f/(1)=2 所求的切线方程为：y2=2(x1),即 y=2x,2023/6/4,变式1：求过点A的切线方程？,例已经曲线C：y=x3-x+2和点A(1,2)求在点A处的切线方程？,解：变1：设切点为P（x0，x03x0+2），,切线方程为y(x03x0+2)=(3 x021)(xx0),又切线过点A(1,2),2(x03x0+2)=(3 x021)(1x0)化简得(x01)2(2 x0+1)=0，,当x0=1时，所求的切线方程为：y2=2(x1),即y=2x,解得x0=1或x0=,k=f/(x0)=3 x021，,当x0=时，所求的切线方程为：y2=(x1),即x+4y9=0,2023/6/4,（1）正确理解导数的概念和意义，导数是一个函数的改变量与自变量的改变量的比值的极限，它反映的是函数的变化率，即函数值在x=x0点附近的变化快慢；所以只有与变化率有关的问题都可以用导数来解决；（2）掌握求导数的方法，特别是在求复合函数的导数时，一定要把握层次，把每一层的复合关系都看清楚；（3）利用导数来研究函数。主要是研究函数的增减性、函数的极大（小）值、函数的最大（小）值以及一 些与实际相关的问题。,三 小结:,
