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1、3.1晶体中原子的微振动 声子,一、微振动方程及其解,以位移矢量作为考察量：,晶体的振动动能：,第三章 晶格振动,质量加权坐标,晶体振动势能,平衡位置处势能为极小值,略去高阶项（简谐近似）,晶体的振动势能：,3.1晶体中原子的微振动 声子,拉格朗日函数（概括整个系统动力状态的函数）,代入拉格朗日方程,由3N个线性齐次方程组成的方程组,其特解为,所有原子在每个方向上都作同频率,同相位,不同振幅的振动,称为简谐振动。,每一个简谐振动并不表示某一个原子的振动，而是表示整个晶体所有原子都参与的振动，称为一个振动模式。,有N个原子组成的晶体，一共有3N个振动模式,3.1晶体中原子的微振动 声子,方程的一
2、般解可表示为特解的线性叠加,共有3N种叠加方式，表示在3N个方向上的振动。,对某一个原子而言，实际振动是由许多振动模式引起的振动的叠加，形式极为复杂。,所以，实际晶体中每一种微振动都是3N个简谐振动的叠加，是一种极为复杂的运动。,3.1晶体中原子的微振动 声子,晶体的振动势能：,3.1晶体中原子的微振动 声子,其中势能公式中用到的力常数可以用矩阵的形式表示出来：,简正坐标和谐振子：,A 为正交矩阵,正交变换,令D为由所有质量加权坐标构成的列矩阵,Q的每一个矩阵元都是所有质量加权坐标的线性组合,这些矩阵元就是简正坐标,运用线性变换的方法，引入简正坐标，,总能量：,用Q表达T和U，消除势能交叉项（
3、即消去相互作用），组成拉氏函数，带入拉氏方程，求解系统运动方程：,将N个相互作用着的原子系统简化为3N个独立的谐振子,谐振子运动方程,3.1晶体中原子的微振动 声子,其中：,系统的总能量：,二、声子,系统由3N个谐振子组成，每一个谐振子的能量是量子化的，能量单位即为声子。,3.1晶体中原子的微振动 声子,3.1晶体中原子的微振动 声子,质量加权坐标下：,简正坐标下：,能量量子化,一、简谐近似,则原子间相互作用力,近似1：原子间作用力简化为弹性力。,近似2：只考虑最近邻原子间作用力,3.2 一维布拉菲格子的晶格振动,第n+1个原子对第n个原子的作用力,第n-1个原子对第n个原子的作用力,一维无限
4、长单原子链,3.2 一维布拉菲格子的晶格振动,每一个原子对应一个方程，n个原子对应n个联立的线性齐次方程组,第n个原子的牛顿运动方程：,第n个原子受到的合力为（仅考虑最近邻作用）,3.2 一维布拉菲格子的晶格振动,试解：,试解代入运动方程：,3.2 一维布拉菲格子的晶格振动,波矢(k)与格波频率()间的函数关系称为色散关系,即声子谱。能直接地反映原子间相互作用,是晶格动力学的基础,以其为起点可进一步求得声子态密度、晶格摩尔热容、德拜温度、热膨胀系数等一系列晶体热力学性质。,3.2 一维布拉菲格子的晶格振动,格波的色散关系,由公式和色散关系谱看出，色散关系具有明显的周期性，周期为n2/a。,对于
5、波矢为k1和k2k1n2/a的两个格波具有相同的角频率，相同的能量，相同的位移。,称为第一布里渊区的范围。,3.2 一维布拉菲格子的晶格振动,色散关系具有周期性，常将k 限制在:,3.2 一维布拉菲格子的晶格振动,邻近原子反向运动(位相相反)，所以恢复力和频率取极大值。,二、周期性边界条件,考虑有限长的一维原子链，由N个原子组成；另有无穷多个相同的一维原子链与之联结而形成无限长的一维原子链，各段相应原子运动情况同。,有N种均匀分布的分立取值,3.2 一维布拉菲格子的晶格振动,波矢空间中，晶格振动模式（代表点）均匀分布。,晶格的独立振动模式数等于N，等于晶体的自由度数。,一组（k，）对应一种振动
6、模式。,3.2 一维布拉菲格子的晶格振动,波矢相差倒格矢，晶格振动相同,一、运动方程,试解,代入运动方程,一维双原子链（N个原胞，2N个原子）,3.3 一维复式格子的晶格振动,线性齐次方程非平凡解条件：,色散关系具有周期性，将k限制在：,称为一维双原子链的第一布里渊区,如mM，色散关系中存在频隙,3.3 一维复式格子的晶格振动,由边界条件：一维双原子链由N个原胞组成，每个原胞中含有两个不同的基，将若干个相同的一维双原子链首尾相接，形成无限长的一维链。则有：,波矢的取值数=晶格原胞数N,对每一个波矢k，有两类独立的振动,其中，共有N种取值,振动模式数=总自由度数 2N,3.3 一维复式格子的晶格
7、振动,二、声频支和光频支,称为光频支，相应的格波称为光学波,称为声频支，相应的格波称为声学波,频率较高,频率较低,光学波,相邻原子振动方向相反,声学波,相邻原子振动方向相同,3.3 一维复式格子的晶格振动,考虑长波极限,表明光频支在长波极限下，相邻原子反向振动，基质心保持静止。若是离子晶体，在电场作用下异号离子受力相反，可用光波来激发离子晶体中的这种长波振动。,3.3 一维复式格子的晶格振动,长声学波与声波的性质类似，可近似连续介质的弹性波。,3.3 一维复式格子的晶格振动,考虑长波极限,3.3 一维复式格子的晶格振动,弹性介质的色散关系,光波的色散关系,对于实际三维的晶体，上述的分析方法和结
8、论是普适的。,三维情形下，若基由n个原子组成，原胞内的原子共有3n个自由度，因而存在3n种色散关系。,其中3支为声频支；3(n-1)支为光频支。,三、三维晶格,金刚石【100】方向的色散关系,3.3 一维复式格子的晶格振动,格波数与晶体的维数及晶胞内原子数的关系,3.3 一维复式格子的晶格振动,3.4 晶格热容及其理论模型,热容：一定质量的物质在一定条件下，温度升高/降低一度所需要的热量，定容热容，定压热容，摩尔热容等。,温度T时的热力学平均能量,经典的困难：,能量均分定理,每个简谐振动的平均能量为:,N原子系统,杜隆珀替定律,与温度和材料性质无关,低温下，随温度下降很快，当T0时，Cv0,3
9、.4 晶格热容及其理论模型,一、晶格热容的量子理论,1）根据量子统计理论，声子是玻色子，由B-E分布知，温度为T时，角频率为、波矢k的振动的声子数为：,N个原子的热振动可归结为能量量子化了的3N个相互独立的简谐振动模，其总能量为：,2）频率为的谐振子能量为：,3.4 晶格热容及其理论模型,称为频率分布函数，表示单位频率间隔内的振动模式数。,3）整个晶格振动对应的内能为：,3.4 晶格热容及其理论模型,为波矢k相对应的第s频支模式的声子数,4）忽略零点能/2：,3.4 晶格热容及其理论模型,5）与原子的晶格振动对应的热容,晶格振动的定容热容只与频率有关。,二、爱因斯坦模型,假设：晶格包含N个原胞
10、、每个原胞内包含n个原子，每个原子进行相互独立的振动，则共有3nN种振动模式，每个振动模式都具有相同的振动频率：,内能：,热容：,3.4 晶格热容及其理论模型(爱因斯坦模型),高温区,与经典的实验结论相符,低温区,讨论：,与实验定性相符,但是下降很陡，与实验不符。,3.4 晶格热容及其理论模型(爱因斯坦模型),爱因斯坦模型理论与实验比较（圆点为金刚石实验值）,三、德拜模型,假设：晶格振动的频率与波矢成正比,(c为常数：声速),即将晶体看成是各向同性的连续介质，把格波看成是连续介质中传播的弹性波。,3.4 晶格热容及其理论模型(德拜模型),（N,V）三维系统，k（2）3/V,密度V/（2）3,振
11、动模在k空间分布,3.4 晶格热容及其理论模型(德拜模型),k具有周期性，那么在德拜的假设中不能无限大，对应k的重复区域第一布里渊区，应该满足：,带入晶格振动热容公式：,德拜温度:,3.4 晶格热容及其理论模型(德拜模型),在德拜模型中，k的周期性，导致的取值在大于D时不存在,因此，积分上限为D：,德拜模型的局限性：没有对D的短波部分讨论，在短波部分与实验结果不符,与温度无关的性质和实验结果不符。,讨论：,高温区,与经典的实验结论相符,3.4 晶格热容及其理论模型(德拜模型),德拜T3定律，很好的描述固体的低温热容。,四、频率分布函数（模式密度）,在波矢 空间，晶格振动模式是均匀分布的,对于三
12、维情形，分布密度为,二维晶格模式的分布密度为：,一维晶格模式分布密度为：,3.4 晶格热容及其理论模型,dk表示两等频面间的垂直距离,又因为,令 为对k的梯度,ds 为面积元,两等频面间的体积,频率在 的模式数,3.4 晶格热容及其理论模型,(三维),(二维),(一维),对k空间的等频面进行积分。,3.4 晶格热容及其理论模型,因子2来源于（k）的中心反演对称性,例：德拜模型中假设ck(c为大于0常数),k空间中等频面为球面，半径为/c,3.4 晶格热容及其理论模型,各向同性弹性介质波，一个k对应一个横波，两个纵波。,晶体铜的实际模式密度与德拜近似模式密度的比较,3.4 晶格热容及其理论模型,除了极低频限外，德拜密度和实际密度之间有一定的区别，低温下低能的布里渊区附近的声学声子被激发，对热容贡献,在三维情形，空间中等频率面为球面，半径为:,3.4 晶格热容及其理论模型,作业：,概念解释：声子、格波、色散关系、第一布里渊区填写26页表格。什么是频率分布函数（模式密度）？分别对ck和ck2求解三维N个粒子构成的单原子晶体（基含有一个原子）的模式密度。,
