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1、微分方程的基本概念 与可分离变量方程,基本内容与基本要求,基本内容,基本要求,1.微分方程的基本概念,2.可分离变量方程及其解法,1.了解微分方程的基本概念,2.掌握可分离变量方程的解法,解,一、问题的提出,解,代入条件后知,故,开始制动到列车完全停住共需,微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.,例,实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.,二、微分方程的定义,微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数.,分类1:常微分方程(单个变量）,偏微分方程（多个变量）.,常微分,偏微分,一阶微分方程,高阶(n)微分方程,分类2:,分类3:线
2、性与非线性微分方程.,分类4:单个微分方程与微分方程组.,微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.,微分方程的解的分类：,(1)通解:微分方程的解中含有独立的任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,三、微分方程的解,(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.,解的图象:微分方程的积分曲线.,通解的图象:积分曲线族.,初始条件:用来确定任意常数的条件.,过定点的积分曲线;,一阶:,二阶:,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.,初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.,例如,解,所求特解为,补充:,微分方程的初等解法:初等积分法.,求解微分方程,求积分,(通解可用
3、初等函数或积分表示出来),可分离变量的微分方程.,解法,为微分方程的解.,分离变量法,四、可分离变量的微分方程,则,例1 求解微分方程,解,分离变量,两端积分,通解为,解,解,由题设条件,衰变规律,解,设鼓风机开动后 时刻 的含量为,在 内,的通入量,的排出量,例4 某车间体积为12000立方米,开始时空气中含有 的,为了降低车间内空气中 的含量,用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含 的 的新鲜空气,同时以同样的风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动6分钟后,车间内 的百分比降低到多少?,6分钟后,车间内 的百分比降低到,微分方程;,微分方程的阶;,微分方程的解;,通解;,初始条件;,特解;,初值问题;,积分曲线;,五、小结,分离变量法步骤:,1.分离变量;,2.两端积分-隐式通解.,思考题1,思考题1解答,中不含任意常数,故为微分方程的特解.,思考题2,求解微分方程,思考题2解答,为所求解.,练 习 题1,练 习 题1,练习题1答案,练 习 题2,练 习 题2,练习题2答案,
